Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (6)

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (6) Übung

• Ergänze die Erklärungen zu Äquivalenzumformungen.

  Tipps

  Da $4=4$ gilt, gilt auch

  • $4±1=4±1$,
  • $4\cdot 3=4\cdot 3$ sowie
  • $4:2=4:2$.

  Das Teilen durch $0$ ist nicht erlaubt.

  Es gilt sicherlich nicht $5=9$. Wenn du auf beiden Seiten mit $0$ multiplizierst, steht dann da $0=0$. Dies ist eine wahre Aussage. Wenn dies eine Äquivalenzumformung wäre, dann müsste auch die erste Aussage $5=9$ stimmen.

  Lösung

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Die Multiplikation mit $0$ führt immer zu einer wahren Aussage: $0=0$.

  Das Teilen durch $0$ ist nicht erlaubt.

  Im Gegensatz zu den Äquivalenzumformungen müssen Termumformungen nicht auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

• Berechne die Lösung der Gleichung.

  Tipps

  Auf der linken Seite der Gleichung steht $7\cdot x$. $x$ soll nach der Umformung alleine stehen.

  Das Kürzen von Brüchen ist eine Termumformung.

  Da nur Äquivalenzumformungen durchgeführt werden, löst das gefundene $x$ auch die Ausgangsgleichung.

  Du kannst zur Probe $x=4$ in der Ausgangsgleichung einsetzen:

  $7\cdot 4=28~\surd$.

  Lösung

  Zu lösen ist die Gleichung $7\cdot x=28$.

  • Um den Faktor $7$ auf der linken Seite „wegzubekommen“, wird auf beiden Seiten der Gleichung durch diesen Faktor geteilt:
  • $\frac{7x}7=\frac{28}7$.
  • Nun kann sowohl links als auch rechts des Gleichheitszeichens gekürzt werden. Dies ist eine Termumformung.
  • $x=4$.
  • Die Lösung der Ausgangsgleichung ist gefunden.
  • Dies kann man durch eine Probe überprüfen: $7\cdot4=28~\surd$.

• Entscheide, ob es sich um eine Äquivalenzumformung handelt.

  Tipps

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Durch eine Äquivalenzumformung darf eine Gleichung in ihrer Lösung nicht verändert werden.

  Eine unlösbare Gleichung kann durch eine Äquivalenzumformung nicht lösbar werden.

  Und umgekehrt kann eine lösbare Gleichung durch eine Äquivalenzumformung nicht unlösbar werden.

  Lösung

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  $\begin{align*} 3\cdot x&=9&|&\cdot \frac 13\\ x&=9 \end{align*}$

  Dies ist keine Äquivalenzumformung, da nur auf einer Seite mit $\frac13$ multipliziert wird.

  $\begin{align*} 3\cdot x-2&=9&|&+2\\ 3\cdot x&=11 \end{align*}$

  Dies ist eine Äquivalenzumformung, da auf beiden Seiten eine Zahl, $2$, addiert wird.

  $\begin{align*} 3- x&=9&|&+x\\ 3&=9x \end{align*}$

  Dies ist keine Äquivalenzumformung, da die Variabel $x$ auf der linken Seite addiert, auf der rechten jedoch multipliziert wird. Wenn auf der rechten Seite $9+x$ stehen würde, so würde eine Äquivalenzumformung vorliegen.

  $\begin{align*} 3x&=9&|&:3\\ x&=3 \end{align*}$

  Dies ist eine Äquivalenzumformung, da auf beiden Seiten durch $3$ geteilt wird.

  $\begin{align*} \frac{3x}3&=\frac 93&|&\text{ T }\\ 0&=3 \end{align*}$

  Dies ist keine Äquivalenzumformung. Es werden auf beiden Seiten Termumformungen durchgeführt, jedoch ist die auf der linken Seite nicht korrekt. Es müsste $x$ dort stehen.

• Bestimme die Lösung der Gleichung $3\cdot x+2=11$.

  Tipps

  Achte bei der Lösungsmenge auf die Schreibweise.

  Du kannst durch Einsetzen der Lösung in der Ausgangsgleichung die Probe machen.

  Ist die Ausgangsgleichung erfüllt, so ist die Lösung gefunden.

  Dies gilt natürlich nur unter der Voraussetzung, dass Äquivalenzumformungen durchgeführt worden sind.

  Achte bei Äquivalenzumformungen darauf, dass

  • die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen,
  • die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ und
  • die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ immer auf beiden Seiten der Gleichung erfolgen muss.

  Lösung

  Um die Gleichung $3\cdot x+2=11$ zu lösen, werden Äquivalenzumformungen angewendet:

  • Die Subtraktion der $2$ führt zu $3\cdot x=9$.
  • Nun kann durch $3$ geteilt werden: $\frac{3\cdot x}{3}=\frac93$.
  • Durch Termumformung gelangt man zu $x=3$, der gesuchten Lösung.
  • Probe: $3\cdot 3+2=11~\surd$.
  • Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{3\}$.

• Gib die Lösungsmenge der Gleichung $7\cdot x=28$ an.

  Tipps

  Die Lösungsmenge ist eine Menge. Hierfür wird die Mengenschreibweise verwendet.

  Wenn du eine Lösung gefunden hast, so kannst du diese überprüfen, indem du sie zur Probe in die Ausgangsgleichung einsetzt.

  Achte auf die Schreibweise. Mengen werden in der Mathematik mit einem Doppelstrich gekennzeichnet.

  Lösung

  Die Gleichung $7\cdot x=28$ wird durch Äquivalenzumformungen zu $x=4$ umgeformt. Das bedeutet, dass $x=4$ die Ausgangsgleichung löst.

  Man kann eine Probe durchführen: $7\cdot 4=28~\surd$.

  Die Lösungsmenge wird in der Schreibweise eines großen „L“ mit einem Strich angegeben:

  $\large{\mathbb{L}=\{4\}}$.

• Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung $3x+2+x=x+17$.

  Tipps

  Fasse zunächst, soweit möglich, links und rechts des Gleichheitszeichens die Terme zusammen.

  Wende Äquivalenzumformungen an:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Mache eine Probe. Setze die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

  Lösung

  Es werden Äquivalenzumformungen zur Lösung der Gleichung angewendet - dies ist in dem Bild zu erkennen:

  • Zunächst werden auf der linken Seite die Variablen zusammengefasst. Das $\text{T}$ steht für Termumformung.
  • Da sich auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens noch die Variable befindet, wird diese subtrahiert.
  • Die Addition von $2$ führt zu der Gleichung $3x=15$.
  • Nun wird durch $3$ dividiert und man erhält die Lösung $x=5$.
  • Probe $3\cdot5+2+5=5+17~\Leftrightarrow~22=22~\surd$.
  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{5\}$.