Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (11)

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (11) Übung

• Ergänze die Äquivalenzumformungen für die Gleichung $x\cdot (x-3)=-(2-x)\cdot x$.

  Tipps

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. Die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Es ist Folgendes zu beachten:

  • Die ersten drei Äquivalenzumformungen müssen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.
  • Es darf nicht mit $0$ multipliziert und nicht durch $0$ dividiert werden.
  • Termumformungen können auf einer oder beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

  Die Anwendung des Distributivgesetzes

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

  ist eine Termumformung.

  Lösung

  Wenn man Gleichungen lösen will, muss man Äquivalenzumformungen durchführen:

  1. Die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  So ist zum Beispiel das Anwenden des Distributivgesetzes in der Gleichung $x\cdot (x-3)=-(2-x)\cdot x$ eine Termumformung:

  • $x(x-3)=x^2-3x$ und
  • $-(2-x)x=-2x+x^2$.

  Ebenso ist die Subtraktion eines Termes auf beiden Seiten der Gleichung eine Termumformung:

  $\begin{align*} x^2-3x&=-2x+x^2&|&-x^2\\ -3x&=-2x. \end{align*}$

• Bestimme die Lösung der angegebenen Gleichung.

  Tipps

  Überlege dir noch einmal, welche Äquivalenzumformungen du kennst.

  Beachte:

  • Wenn du eine Zahl oder Variable addierst oder subtrahierst,
  • mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ multiplizierst oder
  • durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ dividierst,

  so musst du dies auf beiden Seiten der Gleichung tun.

  Lösung

  Hier sind die Umformungen der Gleichung zu sehen. Obwohl diese Gleichung so aussieht, als ob sie nicht linear wäre, kann sie so umgeformt werden, dass man zu einer linearen Gleichung kommt:

  • Auf beiden Seiten wird das Distributivgesetz angewendet. Dies ist eine Termumformung.
  • Durch die Subtraktion von $x^2$ auf beiden Seiten der Gleichung kommt man zu $-3x=-2x$, was eine lineare Gleichung darstellt.
  • Hier könnte man bereits die Lösung $x=0$ erkennen.
  • Durch Addition von $2x$ und anschließendes Dividieren durch $-1$ erhält man diese Lösung rechnerisch.

• Ordne der Gleichung die Lösungsmenge zu.

  Tipps

  Führe Äquivalenzumformungen durch:

  1. Die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Du kannst eine Probe durchführen, ob die gefundene Lösung richtig ist. Setze diese Lösung in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

  Wenn Äquivalenzumformungen zu einer falschen Aussage führen, so ist die Gleichung nicht lösbar. Es gilt also $\mathbb{L}=\{~\}$, die Lösungsmenge ist die leere Menge.

  Subtrahiere in jeder Gleichung auf beiden Seiten $x^2$.

  Lösung

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. Die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Bei allen Gleichungen kann der Term $x^2$ subtrahiert werden:

  • $x^2+3x=3+x^2$ führt zu $3=3x$. Nun kann durch $3$ dividiert werden. Somit ist $x=1$ und $\mathbb{L}=\{1\}$.
  • $x^2+3=x^2+2$ führt zu $3=2$. Dies ist eine falsche Aussage; also ist $\mathbb{L}=\{~\}$.
  • $x^2+3x=x^2+2x$ führt zu $3x=2x$. Nun kann auf beiden Seiten $2x$ subtrahiert werden und man erhält $x=0$. Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0\}$.
  • $x^2-x=-2+x^2$ führt zu $-x=-2$. Die Division durch $-1$ liefert die Lösung $x=2$. Also ist $\mathbb{L}=\{2\}$.

• Bestimme die Lösung der Gleichung.

  Tipps

  Die Anwendung des Distributivgesetzes

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

  ist eine Termumformung.

  Beachte, dass

  • die Addition oder Subtraktion einer Zahl oder Variablen,
  • die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ und
  • die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$

  auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden muss.

  Als Probe kannst du die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen. Diese muss erfüllt sein.

  Lösung

  Die einzelnen Äquivalenzumformungen zur Bestimmung der Lösung dieser Gleichung sind hier zu sehen:

  • Durch das Distributivgesetz können die Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens umgeformt werden.
  • Auf beiden Seiten der Gleichung steht der Term $2x^2$. Dieser wird subtrahiert. Somit erhält man die Gleichung $4x=-4x+8$, was eine lineare Gleichung darstellt.
  • Durch Addition von $4x$ kommt man zu $8x=8$.
  • Die Division durch $8$ führt zu der Lösung $x=1$.
  • Wir führen eine Probe durch: $2\cdot 1\cdot(1+2)=-(4-2\cdot 1)\cdot 1+8~\Leftrightarrow~2\cdot 3=-2+8~\surd$.
  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{1\}$.

• Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

  Tipps

  Achte auf die Schreibweise. Die Lösungsmenge ist eine Menge.

  Die Lösungsmenge ist eine Menge, in welcher sich die Lösungen befinden.

  Lösung

  Die komplette Rechnung zur Bestimmung der Lösung der Gleichung ist hier zu sehen.

  Am Ende der Rechnung kann man eine Probe durchführen: $0\cdot(0-3)=-(2-0)\cdot0~\surd$.

  Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{0\}$.

• Ermittle die Lösungsmenge der angegebenen Gleichung.

  Tipps

  Multipliziere zunächst die Klammern mit dem Distributivgesetz aus.

  Auf beiden Seiten steht der Term $-2x^2$.

  Addiere auf beiden Seiten $2x^2$, sodass du eine lineare Gleichung bekommst.

  Führe eine Probe mit deiner Lösung durch: Setze diese in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

  Lösung

  Wir wollen die Gleichung $(x+2)(-2x)=-2(x+4)x+16$ lösen:

  $\begin{align*} (x+2)(-2x)&=-2(x+4)x+16&|&\text{ T}\\ -2x^2-4x&=-2x^2-8x+16&|&+2x^2\\ -4x&=-8x+16&|&+8x\\ 4x&=16&|&:4\\ x&=4 \end{align*}$

  • Zunächst werden auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die Klammern ausmultipliziert, was zu $-2x^2-4x=-2x^2-8x+16$ führt. Dies ist eine Termumformung.
  • Auf beiden Seiten wird $2x^2$ addiert: $-4x=-8x+16$.
  • Die Addition von $8x$ führt zu $4x=16$.
  • Nun wird durch $4$ dividiert. Die Lösung der Gleichung ist $x=4$.
  • Wir führen eine Probe durch:

  \begin{align} (4+2)(-2\cdot 4)&=-2(4+4)\cdot 4+16 \\ \Leftrightarrow~6\cdot(-8)&=-2\cdot 8\cdot 4+16 \\ \Leftrightarrow~-48&=-64+16~\surd \end{align}

  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{4\}$.