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Koordinatenform einer Ebene

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Koordinatenform einer Ebene
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Grundlagen zum Thema Koordinatenform einer Ebene

Umwandlung von der Parameterform in die Koordinatenform

In diesem Text wird erklärt, wie man die Parameterform einer Ebene in die Koordinatenform umwandelt.

Verfahren: Umwandlung von der Parameterform in die Koordinatenform

  1. Bestimme einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren verläuft.

  2. Multipliziere die Parametergleichung mit dem gefundenen Normalenvektor, um die Koordinatenform zu erhalten.

Der wichtigste Schritt bei der Umwandlung in die Koordinatenform ist das Aufstellen eines Normalenvektors. Dafür gibt es zwei Verfahren, die mit jeweils einem Beispiel und dem vollständigen Rechenweg erklärt werden.

Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt finden

Ein Normalenvektor kann gefunden werden, indem das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren gebildet wird.

n=u×v\vec n= \vec u \times \vec v

Beispielaufgabe: Finde eine Koordinatenform der gegebenen Ebene in Parameterform.

E:x=(101)+r(213)+s(431)E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}

Wir benötigen einen Vektor, der auf den beiden Spannvektoren senkrecht steht, und bilden daher das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt:

n=(213)×(431)=(81410)\vec n= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 \\ -14 \\ 10 \end{pmatrix}

Der erhaltene Vektor steht senkrecht auf den beiden Spannvektoren. Um handlichere Zahlen zu erhalten, kann man eine skalare Multiplikation durchführen – dadurch ändert sich nur die Länge des Vektors, aber die Richtung bleibt erhalten. In diesem Fall sind alle Komponenten durch 22 teilbar, daher multiplizieren wir mit 0,50,5:

12(81410)=(475)\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -14 \\ 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}

Damit haben wir einen Normalenvektor n\vec n gefunden:

n=(475)\vec n=\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}

Als Nächstes multiplizieren wir die Parametergleichung mit dem Normalenvektor. Achte dabei darauf, dass beide Seiten der Gleichung mit n\vec n multipliziert werden und dass auf der rechten Seite der Gleichung jeder Summand mit n\vec n multipliziert wird, da das Distributivgesetz gilt.

x(475)=(101)(475)+r(213)(475)+s(431)(475)\vec x \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}

Zuletzt multiplizieren wir die Vektoren nach den Regeln des Skalarprodukts:

Linke Seite:

x(475)=(x1x2x3)(475)=4x17x2+5x3\vec x \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} =4x_1-7x_2+5x_3

Rechte Seite:

(101)(475)+r(213)(475)+s(431)(475)=(14+0(7)+15)+r(24+(1)(7)+(3)5)+s(44+3(7)+15)=9+r0+s0=9 \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \\ =(1\cdot 4 + 0 \cdot (-7)+1\cdot 5) + r\cdot (2\cdot 4 + (-1)\cdot (-7)+(-3)\cdot 5)\\+s \cdot (4\cdot 4+3\cdot (-7)+1\cdot 5) \\ = 9 + r\cdot 0 + s\cdot 0 \\ =9

Es ist kein Zufall, dass die letzten beiden Skalarprodukte null werden, da der n \vec n-Vektor senkrecht auf der Ebene und damit auf den beiden Spannvektoren steht und das Skalarprodukt von zwei zueinander senkrechten Vektoren null ist. Du kannst diesen Schritt als Probe durchführen, um eventuelle Rechenfehler aufzuspüren.

Nachdem wir die linke und rechte Seite der Gleichung vereinfacht haben, erhalten wir nun also die Koordinatenform der Ebene:

E:x1x2+x3=9E: x_1-x_2+x_3=9

Normalenvektor mit einem linearen Gleichungssystem finden

Ein Normalenvektor kann gefunden werden, indem zwei Bedingungen für das Skalarprodukt formuliert werden und das dadurch entstandene lineare Gleichungssystem gelöst wird:

un=0vn=0\vec u \cdot \vec n= 0\newline \vec v \cdot \vec n= 0

Beispielaufgabe: Finde eine Koordinatenform der gegebenen Ebene in Parameterform.

E:x=(215)+r(142)+s(333)E: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix}

(142)n=0    1n1+4n2+2n3=0\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \vec n=0 \implies 1 n_1+4 n_2+2 n_3=0

(333)n=0    3n13n2+3n3=0\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix}\cdot \vec n=0\implies 3 n_1-3 n_2 +3 n_3=0

Damit erhalten wir das lineare Gleichungssystem:

1n1+4n2+2n3=03n13n2+3n3=01 n_1+4 n_2+2 n_3=0\\ 3 n_1-3 n_2 +3 n_3=0

Es handelt sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem aus zwei Gleichungen und drei Variablen, das keine eindeutige Lösung hat. Zunächst eliminieren wir eine Variable, in diesem Fall bietet es sich an, von der zweiten Gleichung das Dreifache der ersten Gleichung zu subtrahieren, um n1n_1 zu eliminieren:

15n23n3=0-15n_2-3n_3=0

Es können keine weiteren Variablen eliminiert werden. Wir vereinfachen die Gleichung, indem wir sie durch 33 dividieren: 5n2n3=0    5n2=n3-5n_2-n_3=0\implies -5n_2=n_3

Anschließend wählen wir eine Variable frei aus, setzen diese auf einen Zahlenwert fest und können dann die Werte der anderen beiden Variablen berechnen.

Setze n2=1n_2=1.

Aus n3=5n2n_3=-5n_2 folgt dann n3=5n_3=-5.

Die beiden Werte setzen wir in die erste Gleichung 1n1+4n2+2n3=01 n_1+4 n_2+2 n_3=0 ein und erhalten:

1n1+41+2(5)=0    n16=0    n1=61 n_1+4 \cdot 1+2 \cdot (-5)=0\implies n_1-6=0\implies n_1=6

Somit haben wir einen Normalenvektor gefunden:

n=(615)\vec n=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}

Wenn n2n_2 auf einen anderen Zahlenwert gesetzt wird oder eine andere Variable ausgewählt wird, erhält man einen anderen Normalenvektor. Die möglichen Ergebnisse sind aber alle Vielfache voneinander und somit zueinander parallele Vektoren, die senkrecht zu den beiden Spannvektoren verlaufen.

Jetzt gehen wir wie beim ersten Beispiel vor und multiplizieren die Parametergleichung mit dem Normalenvektor.

x(615)=(215)(615)+r(142)(615)+s(333)(615)\vec x \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}

Zuletzt wenden wir wieder das Skalarprodukt an:

Linke Seite:

x(615)=6x1+x25x3\vec x \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}=6 x_1+x_2-5 x_3

Rechte Seite:

(215)(615)+r(142)(615)+s(333)(615)=26+11+(5)(5)+r0+s0=38 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}\\ =2\cdot 6+1\cdot 1+(-5)\cdot (-5)+r\cdot 0 + s\cdot 0=38

Auch hier geht die Probe auf und die letzten beiden Skalarprodukte werden null. Nachdem wir die linke und rechte Seite der Gleichung vereinfacht haben, erhalten wir nun für die Koordinatenform der Ebene:

E:6x1+x25x3=38E: 6x_1+x_2-5x_3=38

Umwandlung von der Parameterform in die Normalenform

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Wir haben an zwei Beispielen gesehen, wie anhand einer Parameterform die Koordinatenform gefunden werden kann. Die Umwandlung in die Normalenform ist darin eigentlich schon enthalten. Wenn du statt der Koordinatenform die Normalenform benötigst, musst du alle Summanden auf eine Seite der Gleichung bringen und das Skalarprodukt nicht ausrechnen, sondern in Vektorschreibweise stehen lassen und den Normalenvektor ausklammern. Wir führen die Schritte anhand der vorangegangenen Beispielaufgabe durch.

x(615)=(215)(615)+r(142)(615)+s(333)(615)\vec x \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}

Die letzten beiden Produkte werden null, daher fallen die letzten beiden Summanden weg. Den anderen subtrahieren wir, um auf der rechten Seite null zu erhalten:

x(615)(215)(615)=0\vec x \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = 0

Nun können wir den Normalenvektor faktorisieren bzw. ausklammern und erhalten die Normalenform:

[x(215)](615)=0\left[\vec x -\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = 0

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