Komplementärregel – Aufgabe

Komplementärregel – Aufgabe Übung

• Nenne die Komplementärregel.

  Tipps

  Eine Menge und ihre Komplementärmenge ergänzen sich zu der Grundmenge.

  Die Laplace-Formel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ gegeben ist durch den Quotienten aus der Anzahl aller für $E$ günstigen Ergebnisse und die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

  Mache dir die Aussage zum Beispiel an Flächen klar.

  Lösung

  Sei $E$ ein Ereignis und $\bar E$ das zugehörige Komplementärereignis, dann gilt

  • $E\cap \bar E=\emptyset$, nämlich, dass in $E$ und $\bar E$ keine gemeinsamen Elemente sind, sowie
  • $E\cup \bar E=G$, nämlich, dass $E$ und $\bar E$ vereinigt die Grundmenge $G$ ergeben.

  Das bedeutet $|E|+|\bar E|=|G|$.

  Dabei ist $|E|$ die Menge aller Elemente in $E$.

  Nun können nach der Formel nach Laplace die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

  $P(E)=\frac{|E|}{|G|}$ und $P(\bar E)=\frac{|\bar E|}{|G|}$.

  Wenn man die beiden Wahrscheinlichkeiten addiert, erhält man $1$:

  $\begin{align*} P(E)+P(\bar E)&=\frac{|E|}{|G|}+\frac{|\bar E|}{|G|}\\ &=\frac{|E|+|\bar E|}{|G|}\\ &=\frac{|G|}{|G|}\\ &=1. \end{align*}$

  $P(E)+P(\bar E)=1$.

  Diese Regel kann oft angewendet werden, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses schwerer zu berechnen ist als die des Komplementärereignisses.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse und prüfe die Komplementärregel.

  Tipps

  Eine Menge und ihre Komplementärmenge ergänzen sich zu der Grundmenge.

  Nach der Laplace-Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wie folgt berechnen:

  $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$.

  Dabei gibt der Betrag einer Menge die Anzahl der Elemente in dieser Menge an.

  Es gibt keine Elemente der Grundmenge, welche sich sowohl in einer Menge als auch in der Komplementärmenge befinden.

  Lösung

  Um die Komplementärregel an diesem Beispiel zu überprüfen, muss zunächst die Komplementärmenge zu $E$ bestimmt werden. Diese ist

  $\bar E=\{\text{Ass};2;4;6;8;10\}$.

  In $E$ befinden sich $4$ Elemente, in $\bar E$ $6$ Elemente und in $\Omega$ $10$Elemente. Mit der Laplace-Formel lassen sich die Wahrscheinlichkeiten

  • $P(E)=\frac4{10}$ und
  • $P(\bar E)=\frac6{10}$

  berechnen. Somit ist

  $P(E)+P(\bar E)=\frac4{10}+\frac6{10}=\frac{10}{10}=1$.

• Ordne dem Ereignis das Komplementärereignis zu.

  Tipps

  Jedes Element, welches sich in einer Menge befindet, befindet sich nicht in der Komplementärmenge.

  Nimm dir $10$ Zettel und schreibe die Zahlen von $1$ bis $10$ darauf. Nimm die Zettel mit den Zahlen der Menge weg: Die übrigen Zahlen bilden die Komplementärmenge.

  Lösung

  Das Komplementärereignis oder die Komplementärmenge hängt

  • von der Menge und
  • von der Grundmenge ab.

  Sei

  • $E=\{2;4;6;8;10\}$, so ist $\bar E=\{1;3;5;7;9\}$,
  • $F=\{2;3;4;5;6\}$, so ist $\bar F=\{1;7;8;9;10\}$,
  • $G=\{1;2;3,4;5\}$, so ist $\bar G=\{6;7;8;9;10\}$ und
  • $H=\{3;4;7;8;9\}$, so ist $\bar H=\{1;2;5;6;10\}$.

• Prüfe die Komplementärregel an einem Beispiel.

  Tipps

  Die Komplementärregel lautet: $P(E)+P(\bar E)=1$.

  Schreibe sowohl $E$ als auch $\bar E$ als Teilmengen der Grundmenge $\Omega=\{1;2;...;99;100\}$.

  Sei $E\subseteq\Omega$, so ist

  $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$.

  Dies ist die Formel nach Laplace.

  Lösung

  Die Grundmenge $\Omega=\{1;2;...;99;100\}$.

  Das Ereignis $E$ kann ebenfalls als Menge geschrieben werden:

  $E=\{1;2;...;88;89\}$.

  Es befinden sich $89$ Elemente in $E$.

  $\bar E=\{90;91;...;99;100\}$,

  in dieser Menge befinden sich $11$ Elemente.

  Somit ist $P(E)=\frac{89}{100}$ sowie $P(\bar E)=\frac{11}{100}$. Hier wurde jeweils die Laplace-Regel angewendet.

  Nun kann man die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren:

  $P(E)+P(\bar E)=\frac{89}{100}+\frac{11}{100}=\frac{100}{100}=1$.

  Dies ist gerade die Aussage der Komplementärregel.

• Ergänze die Erklärung zur Komplementärmenge.

  Tipps

  „Komplementär“ steht für sich ergänzende Eigenschaften.

  Wenn du alle Elemente aus $E$ und $\bar E$ zusammenfügst, erhältst du die Grundmenge $G$.

  Zum Beispiel sind „rot“ und „nicht rot“ komplementär.

  Lösung

  Was ist ein Komplementärereignis?

  Dies kann man sich am Beispiel einer Menge klarmachen, also an der Komplementärmenge.

  In $\bar E$ befinden sich alle Elemente aus der Grundmenge, welche sich nicht in $E$ befinden.

  Wichtig ist also die zugrundeliegende Grundmenge.

  Am Beispiel einer Menge, welche die Elemente Schnecke, Quadrat, Dreieck, Trapez, Kreis und Stern enthält, bedeutet dies:

  • Wenn $E$ die Menge mit den Elementen Schnecke und Quadrat ist,
  • dann befinden sich in $\bar E$ die Elemente Dreieck, Trapez, Kreis und Stern.

  Das Komplementärereignis wird auch als Gegenereignis bezeichnet.

• Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Kopf.

  Tipps

  Verwende die Komplementärregel.

  Die Wahrscheinlichkeiten für „Kopf“ oder „Zahl“ sind jeweils $\frac12$.

  Du könntest diese Aufgabe auch mit einem Baumdiagramm lösen. Dafür müsstest du $2^5=32$ Äste zeichnen. Es würde auch einer reichen.

  Lösung

  Das Ereignis $E$: „mindestens einmal Zahl“ bedeutet:

  • „einmal Zahl“,
  • „zweimal Zahl“,
  • ...
  • „fünfmal Zahl“.

  Wie lautet das Gegenereignis?

  $\bar E$: „keinmal Zahl“.

  Die Wahrscheinlichkeit ist durch die Produktregel gegeben durch

  $P(\bar E)=\left(\frac12\right)^5=\frac1{32}$.

  Mit der Komplementärregel kann die Wahrscheinlichkeit von $E$ berechnet werden:

  $\begin{align*} P(E)+P(\bar E)&=1\\ P(E)+\frac1{32}&=1&|&-\frac1{32}\\ P(E)&=\frac{31}{32}. \end{align*}$