Kommutativgesetz der Addition – Begründung

Kommutativgesetz der Addition – Begründung Übung

• Ergänze die Aussagen zum Kommutativgesetz der Addition.

  Tipps

  Erinnerst du dich an die Bezeichnungen bei der Addition und Subtraktion?

  • Addition: Summand plus Summand gleich Summe
  • Subtraktion: Minuend minus Subtrahend gleich Differenz

  Das Kommutativgesetz wird auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz, oder auch Vertauschungsgesetz, der Addition besagt, dass du bei der Addition die Reihenfolge der Summanden vertauschen darfst. Mathematisch drückt man das so aus:

  $a+b=b+a$.

  Übrigens gilt das auch für die Multiplikation $a\cdot b=b\cdot a$, allerdings nicht für die Subtraktion oder Division.

  Deswegen heißen die Terme bei der Addition und Multiplikation auch jeweils gleich.

  • Addition: Summand plus Summand gleich Summe
  • Multiplikation: Faktor mal Faktor gleich Produkt

  Das Kommutativgesetz sagt also aus, egal, welche Zahl du für $a$ und $b$ einsetzt, du erhältst auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens den gleichen Wert. Das hat Paul ja auch bereits für $a=2$ und $b=5$ festgestellt.

  Nun kannst du sicher nicht alle möglichen Zahlen für $a$ und $b$ einsetzen, da es unendlich viele Zahlen gibt.

  Wie man die Gültigkeit des Gesetzes dennoch begründen kann, wirst du in anderen Aufgaben sehen.

• Gib an, welche Darstellungen das Kommutativgesetz der Addition beschreiben.

  Tipps

  In den korrekten Bildern hat der orange Streifen die Länge $3$ und der blaue die Länge $2$.

  Übrigens: Du kannst auch das Kommutativgesetz der Multiplikation in den Bildern erkennen, denn $2\cdot 3=3\cdot 2=6$.

  In diesen Bildern wurden also $3$ blaue Streifen bzw. $2$ orange Streifen aneinander gelegt.

  Das jeweilige Ergebnis muss $5$ sein.

  Lösung

  Hier siehst du das Kommutativgesetz an dem Beispiel $2+3=5=3+2$ veranschaulicht.

  Wenn du zuerst einen Streifen der Länge $2$ an der $0$ anlegst und hinter diesen Streifen einen weiteren der Länge $3$ anlegst, kannst du am Ende des rechten Streifens die $5$ ablesen.

  Du kannst die Streifen auch umgekehrt hinlegen. Auch so kommst du zur $5$.

  Wenn du zwei Streifen hintereinander legst, ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Streifen hinlegst. Die Gesamtlänge ist jedes Mal gleich.

  Das ist eine anschauliche Begründung für das Kommutativgesetz der Addition.

  Zusatz: Auch das Kommutativgesetz der Multiplikation lässt sich so begründen. Du kannst ja einmal beispielsweise $7$ Streifen der Länge $3$ und darunter $3$ Streifen der Länge $7$ hintereinander legen. Du wirst sehen, dass die Gesamtlänge gleich lang, nämlich $21$, ist.

• Wende jeweils das Kommutativgesetz der Addition an.

  Tipps

  Präge dir das Kommutativgesetz der Addition gut ein. Du wirst es sicher sehr oft anwenden:

  $a+b=b+a$

  Egal, welche Zahlen du für $a$ und $b$ einsetzt, du erhältst auf beiden Seiten der Gleichung den gleichen Wert.

  Beachte, dass in beiden Rechnungen jeweils das Pluszeichen vorkommt. Du musst nur die Reihenfolge der Summanden vertauschen.

  Schaue dir hier noch einmal ein Zahlenbeispiel an:

  $5+14=19=14+5$.

  Lösung

  Bei der Addition ist die Reihenfolge der Summanden egal. Deswegen heißen beide (oder alle) auch gleich, nämlich Summanden.

  Mathematisch schreibt man das Kommutativgesetz der Addition so:

  $a+b=b+a$.

  Dies üben wir nun an einigen Beispielen.

  • $3+8=11=8+3$
  • $7+8=15=8+7$
  • $1+15=16=15+1$
  • $6+13=19=13+6$

• Prüfe, ob das Kommutativgesetz der Addition auch gilt, wenn negative Zahlen eingesetzt werden.

  Tipps

  Die Richtung eines Pfeils drückt das Vorzeichen der Zahl, für die er steht, aus.

  • Pfeilspitze nach links $\rightarrow$ negative Zahl
  • Pfeilspitze nach rechts $\rightarrow$ positive Zahl

  Die Pfeile symbolisieren immer eine Rechnung. Ein Pfeil mit der Länge $4$, der nach rechts zeigt, steht beispielsweise für $+4$. Wenn an dessen Spitze ein weiterer Pfeil mit der Länge $2$ nach rechts zeigt, steht das insgesamt für die Rechnung $4+2$.

  Lösung

  Mit Papierstreifen lassen sich negative Zahlen nicht so gut darstellen. Mit Pfeilen ist dies jedoch möglich.

  • Zeigt der Pfeil nach rechts, liegt eine positive Zahl vor.
  • Zeigt er nach links, eine negative.

  Die Länge des Pfeiles gibt die entsprechende Zahl an.

  So steht in diesem Bild...

  • der orange Pfeil für $+3$.
  • der grüne für $-2$.

  Oberhalb des Zahlenstrahls ist, ausgehend von $0$, die Rechnung $-2+3$ zu erkennen. Das Ergebnis ist $1$, was man an der Pfeilspitze des orangen Pfeils abliest.

  Unterhalb des Zahlenstrahls siehst du $3-2$. Das Ergebnis ist ebenfalls $1$.

  Natürlich gilt das Kommutativgesetz der Addition auch, wenn beide Zahlen negativ sind. Dies ist der zweite Teil der Aufgabe. Beide Pfeile zeigen nach links, stehen also für negative Zahlen.

  Oberhalb des Zahlenstrahls ist, wieder ausgehend von $0$, die Rechnung $-2-3$ zu erkennen. Das Ergebnis ist $-5$.

  Unterhalb des Zahlenstrahls ist die Rechnung $-3-2$ dargestellt. Auch hier ist das Ergebnis $-5$.

  Wichtiger Zusatz:

  In dieser Aufgabe wird nicht behauptet, dass das Kommutativgesetz auch für die Subtraktion gilt. Dies ist nämlich nicht der Fall, wie das folgende Beispiel zeigt.

  $3-2=1\neq -1=2-3$

• Gib an, ob das Kommutativgesetz der Addition korrekt angewendet worden ist.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz lautet $a+b=b+a$.

  Dabei stehen die Buchstaben $a$ und $b$ jeweils für eine Zahl.

  Rechne jeweils die linke Seite aus und dann die rechte. Es muss Gleichheit gelten.

  Lösung

  Hier siehst du eine Tabelle, in welcher die Summen der Zahlen von $1$ bis $9$ abzulesen sind. Zum Beispiel findest du auf der grün gekennzeichneten Diagonalen jeweils die Summe einer Zahl und der gleichen Zahl noch einmal, also das Doppelte der Zahl.

  An dieser Diagonalen kannst du die Tabelle spiegeln. Sie ist sozusagen symmetrisch zu dieser Diagonalen. Dies ist gerade die Aussage des Kommutativgesetzes der Addition:

  $a+b=b+a$.

  Schauen wir uns das mal an einigen Beispielen an:

  • $5+6=11=6+5$
  • $2+6=8=6+2$

  Wenn du zwei Zahlen schriftlich addieren willst, schreibst du diese übereinander. Die Addition beliebig großer Zahlen lässt sich also durch die Addition der einzelnen Ziffern $1$ bis $9$ ausdrücken. Die Addition mit der $0$ ergibt für jede Ziffer die Ziffer selbst.

  Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir wollen $25$ und $87$ addieren. Die beiden Zahlen kommen nicht in der Tabelle vor, die einzelnen Additionsschritte der Ziffern allerdings schon.

  $\begin{array}{llll} && 2 & 5 \\ +&_1& 8_1 & 7 \\ \hline &1 & 1 & 2 \end{array}$

• Wende das Kommutativgesetz der Addition an, um den Term zu vereinfachen.

  Tipps

  Du kannst das Kommutativgesetz verwenden, um den Term $3x+12-x+8+x-3x+12$ so zu sortieren, dass immer nur gleichartige Terme direkt hintereinander stehen.

  Schau dir das Beispiel $x+5+3x+7$ an. Hier kannst du z.B. so umsortieren, dass du $x+3x+5+7$ erhältst.

  Achte beim Vertauschen von negativen Zahlen oder Termen mit einem Minuszeichen darauf, dass du dieses Minuszeichen auch mit tauschst.

  Das Kommutativgesetz gilt nämlich nicht für die Subtraktion.

  • Es gilt $4-7=-7+4$.
  • Es gilt nicht $4-7=7-4$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe kannst du erkennen, welchen Nutzen das Kommutativgesetz der Addition haben kann.

  Durch geschicktes Umsortieren von Termen kannst du gleichartige Terme nebeneinander schieben. Dadurch erkennst du leichter, was du miteinander verrechnen kannst.

  Dr. Evil geht Schritt für Schritt vor:

  1. Er vertauscht zunächst den dritten und vierten Summanden, also $-x$ und $+8$: $3x+12-x+8+x-3x+12=3x+12+8-x+x-3x+12$
  2. Nun addiert er $12+8=20$ und $-x+x=0$. So erhält er $3x+20-3x+12$.
  3. Jetzt vertauscht er den zweiten und dritten Summanden, also $+20$ und $-3x$ und erhält $3x-3x+20+12$.
  4. Nun fasst er wieder zusammen: $3x-3x=0$ und $20+12=32$

  Insgesamt erhält er:

  $3x+12-x+8+x-3x+12=32$.