Kombinatorik – Übungen

Lösung:

$$5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$

Erklärung:
Bei einer Permutation von $n$ verschiedenartigen Objekten ist die Anzahl der Anordnungen
$$ n! = n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot2\cdot1. $$ Hier ist $n=5$, also $5! = 120$.

Lösung:

$$4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24$$

Erklärung:
Wieder gilt $n!$ für $n$ Plätze und $n$ verschiedener Personen. Mit $n=4$ ergibt sich ${4! = 24}$.

Lösung:

$$ \frac{6!}{2!\,2!} = \frac{720}{2\cdot2} = 180 $$

Erklärung:
Wenn Elemente mehrfach vorkommen, teilt man durch die Fakultäten der entsprechenden Häufigkeiten: $$ \frac{n!}{k_1!\,k_2!\,\dots}. $$ Hier ist $n=6$, A kommt zweimal vor ($2!$) und N kommt zweimal vor ($2!$), also ${\frac{6!}{2!\,2!} = 180}$.

Lösung:

$$ \frac{8!}{3!\,3!\,2!} = \frac{40\,320}{6\cdot6\cdot2} =560 $$

Erklärung:
Wir haben insgesamt $n=8$ Masken, davon $k_1=3$ rote, $k_2=3$ blaue und $k_3=2$ grüne. Wir gehen davon aus, dass gleichfarbige Masken nicht unterscheidbar sind. Die Anzahl der Anordnungen ist dann $$ \frac{n!}{k_1!\,k_2!\,k_3!} =\frac{8!}{3!\,3!\,2!}=560 $$

Lösung:

$$ \frac{10!}{4!\,3!\,3!} = \frac{3\,628\,800}{24\cdot6\cdot6} =1\,680 $$

Erklärung:
Hier ist $n=10$, mit Häufigkeiten $k_1=4$, $k_2=3$, $k_3=3$. Die Anzahl der Permutationen berechnet sich zu
$$ \frac{n!}{k_1!\,k_2!\,k_3!} =\frac{10!}{4!\,3!\,3!}=1\,680 $$

Lösung:

$$ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{5\cdot4}{2\cdot1} = 10 $$

Erklärung:
Da beide Kugeln unterschiedliche Sorten sein sollen, ist Wiederholung ausgeschlossen. Wir verwenden die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung: $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} $$ mit $n=5$ Sorten und $k=2$ Kugeln.

Lösung:

$$ \binom{5 + 2 - 1}{2} = \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!\,4!} = 15 $$

Erklärung:
Da Wiederholung erlaubt ist (zwei Kugeln derselben Sorte möglich), nutzen wir die Formel für Kombinationen mit Wiederholung: $$ \binom{n + k - 1}{k} $$ mit $n=5$ Sorten und $k=2$ Kugeln.

Lösung:

$$ \binom{8 + 3 - 1}{3} = \binom{10}{3} = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} = 120 $$

Erklärung:
Dieselbe Sorte ist hier erlaubt, es handelt sich also um eine Kombination mit Wiederholung: $$ \binom{n + k - 1}{k} $$ mit $n=8$, $k=3$. Zur Berechnung kannst du die Fakultäten direkt kürzen: $$ \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120. $$

Lösung:

$$ \binom{15}{6} = \frac{15!}{6!\,9!} = 5005 $$

Erklärung:
Jeder Spieler kann nur einmal ausgewählt werden, also Kombination ohne Wiederholung: $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} $$ mit $n=15$, $k=6$.

Lösung:

$$ \binom{12 + 5 - 1}{5} = \binom{16}{5} = \frac{16!}{5!\,9!} = 4368 $$

Erklärung:
Da Wiederholung erlaubt ist, verwenden wir erneut die Formel $$ \binom{n + k - 1}{k} $$ mit $n=12$ Sorten und $k=5$ Donuts.

Lösung:

$$ \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1} =5\cdot4 =20 $$

Erklärung:
Da kein Foto mehrfach eingesetzt wird, verwenden wir für $n=5$ und $k=2$
$$ \frac{n!}{(n-k)!} $$ Das entspricht $5\cdot4=20$ Reihenfolgen.

Lösung:

$$ \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1} =6\cdot5\cdot4 =120 $$

Erklärung:
Wieder ohne Wiederholung: mit $n=6$, $k=3$ ergibt sich
$$ \frac{n!}{(n-k)!} =6\cdot5\cdot4=120 $$

Lösung:

$$ 10^4 = 10\,000 $$

Erklärung:
Da jede Ziffer wiederholt werden darf, wählt man für jede der $4$ Stellen aus $10$ Möglichkeiten. Die Gesamtzahl ist
$$ n^k $$ mit $n=10$, $k=4$, also $10^4 = 10\,000$

Lösung:

$$ \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!} =8\cdot7\cdot6\cdot5 =1680 $$

Erklärung:
Hier wieder ohne Wiederholung: $n=8$, $k=4$, daher
$$ \frac{n!}{(n-k)!} =8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 $$

Lösung:

$$ 5^3 = 125 $$

Erklärung:
Wiederholung ist erlaubt und die Reihenfolge zählt. Für jede der $3$ Positionen gibt es $5$ Möglichkeiten, insgesamt
$$ n^k $$ mit $n=5$, $k=3$, also $5^3=125$

Frage 1: Sind alle Elemente der Grundmenge relevant?

  Ja: Es handelt sich um eine Permutation.
  Frage 2a: Sind alle Elemente unterscheidbar?
   Ja: Permutation ohne Wiederholung
   Nein: Permutation mit Wiederholung

  Nein: Es handelt sich um eine Variation oder Kombination.
  Frage 2b: Ist die Reihenfolge der Elemente relevant?

   Ja: Es handelt sich um eine Variation.
   Frage 3: Sind alle Elemente unterscheidbar (ohne oder mit Wiederholung/Zurücklegen)?
    Ja: Variation ohne Wiederholung
    Nein: Variation mit Wiederholung

   Nein: Es handelt sich um eine Kombination.
   Frage 3: Sind alle Elemente unterscheidbar (ohne oder mit Wiederholung/Zurücklegen)?
    Ja: Kombination ohne Wiederholung
    Nein: Kombination mit Wiederholung

Lösung:

$$ 6! = 720 $$

Erklärung:

• Stichprobe oder Gesamtheit?:
  Alle 6 Personen sind relevant $~\rightarrow~$ Permutation
• Mit oder ohne Wiederholung?:
  Alle Personen sind unterscheidbar $~\rightarrow~$ Permutation ohne Wiederholung
• Formel: $n!$ mit $n=6$
  $\Rightarrow 6! = 720$

Lösung:

$$ \frac{8!}{(8-3)!} =8\cdot7\cdot6 =336 $$

Erklärung:

• Stichprobe oder Gesamtheit?:
  Nicht alle 8 Bücher werden verwendet $~\rightarrow~$ Variation oder Kombination
• Mit oder ohne Reihenfolge?:
  Reihenfolge ist wichtig $~\rightarrow~$ Variation
• Mit oder ohne Wiederholung?:
  Kein Buch doppelt $~\rightarrow~$ Variation ohne Wiederholung
• Formel: $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ mit $n=8$, $k=3$
  $\Rightarrow 8\cdot7\cdot6=336$

Lösung:

$$ \binom{6}{4} = 15 $$

Erklärung:

• Stichprobe oder Gesamtheit?:
  Nicht alle fünf Hashtags werden verwendet $~\rightarrow~$ Variation oder Kombination
• Mit oder ohne Reihenfolge?:
  Reihenfolge der Hashtags spielt im Post keine Rolle $~\rightarrow~$ Kombination
• Mit oder ohne Wiederholung?:
  Wiederholung ist nicht erlaubt (im Post kommt jeder Hashtag nur einmal vor) $~\rightarrow~$ Kombination ohne Wiederholung
• Formel: $\binom{n}{k}$ mit $n=6$ Hashtags, $k=4$ Plätze
  $\Rightarrow \binom{6}{4}=15$ mögliche Sets

Lösung:

$$ \frac{6!}{3!\,2!\,1!} = \frac{720}{6\cdot2\cdot1} = 60 $$

Erklärung:

• Stichprobe oder Gesamtheit?:
  Alle sechs Vasen werden verwendet $~\rightarrow~$ Permutation
• Mit oder ohne Wiederholung?:
  Vasen sind nicht alle unterscheidbar (gleichfarbige identisch) $~\rightarrow~$ Permutation mit Wiederholung
• Formel: $\dfrac{n!}{k_1!\,k_2!\,\dots}$ mit $n=6$, $k_1=3$, $k_2=2$, $k_3=1$
  $\Rightarrow \dfrac{6!}{3!2!1!}=60$

Lösung:

$$ \binom{12}{5} = 792 $$

Erklärung:

• Stichprobe oder Gesamtheit?:
  Nicht alle zwölf Früchte werden verwendet $~\rightarrow~$ Variation oder Kombination
• Mit oder ohne Reihenfolge?:
  Reihenfolge unwichtig $~\rightarrow~$ Kombination
• Mit oder ohne Wiederholung?:
  Wiederholung nicht möglich, da alle Früchte verschieden sind $~\rightarrow~$ Kombination ohne Wiederholung

• Formel: $\binom{n}{k}$ mit $n=12$, $k=5$
  $\Rightarrow \binom{12}{5}=792$

Lösung:

$$ 6^5 = 7776 $$

Erklärung:

• Stichprobe oder Gesamtheit?:
  Nicht alle sechs Buchstaben werden zwingend genutzt $~\rightarrow~$ Variation oder Kombination
• Mit oder ohne Reihenfolge?:
  Reihenfolge ist wichtig $~\rightarrow~$ Variation
• Mit oder ohne Wiederholung?:
  Wiederholung erlaubt $~\rightarrow~$ Variation mit Wiederholung
• Formel: $n^k$ mit $n=6$, $k=5$
  $\Rightarrow 6^5 = 7776$