Lernen mit Spaß!

Verbessere deine Noten mit sofatutor!

Lernen mit Spaß!

sofatutor kostenlos testen!

14.081+

14.081+ Bewertungen

Variationen – Ziehen mit Reihenfolge

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Lucy lernt 5 Minuten 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Lucy übt 5 Minuten 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    89%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Lucy stellt fragen 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden

Bewertung

Ø 4.0 / 1 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Variationen – Ziehen mit Reihenfolge
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Variationen – Ziehen mit Reihenfolge

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Variationen im Sachkontext zu erkennen.

Variation mit Wiederholung Beispiel Fahrradschloss

Zunächst lernst du, wie sich Variationen von Kombinationen und Permutationen abgrenzen lassen. Anschließend werden wir Aufgabenbeispiele zu Variationen MIT Wiederholung und OHNE Wiederholung anschauen und lösen.

Übersicht Kombinatorik Permutation Kombination Variation

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Variation, Elemente, Menge, Fakultät, Kombinatorik, Permutation und Kombination.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Grundkenntnisse zur Kombinatorik (Permutation und Kombination) haben und wissen, wie man die Fakultät einer Zahl berechnet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mehr zur Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu lernen.

Transkript Variationen – Ziehen mit Reihenfolge

Der jährliche Halbmarathon steht an und du willst den Zieleinlauf sehen. Also rauf aufs Fahrrad und ab gehts! Aber Mist, du hast den Code für das Fahrradschloss vergessen. Na dann viel Spaß dabei, alle „Variationen“ auszuprobieren. Die Bereiche „Permutation“, „Kombination“ und „Variation“ gehören zum mathematischen Teilgebiet der „Kombinatorik“. Bei der Kombinatorik geht es darum, zu ermitteln wie viele Möglichkeiten es für die Anordnung oder Auswahl von Objekten gibt. Geht es dabei um alle Elemente einer Menge, so sprechen wir von einer „Permutation“. Findet allerdings eine Auswahl statt, müssen wir auf Kombination und Variation zurückgreifen. Wenn bei der Situation, die wir untersuchen wollen, die Reihenfolge von Bedeutung ist, handelt es sich um eine „Variation“. Andernfalls um eine Kombination. So, und jetzt kümmern wir uns erstmal um das Fahrradschloss. Wir haben fünf Räder auf denen jeweils zehn Ziffern stehen. Das heißt, an jeder der fünf Stellen können zehn verschiedene Ziffern eingestellt werden. Da dabei die Reihenfolge natürlich eine Rolle spielt, handelt es sich um eine Variation Dadurch haben wir zehn hoch fünf, also einhundert Tausend Möglichkeiten. Von null-null-null-null-null bis neun-neun-neun-neun-neun können alle Variationen in Frage kommen. Da jede Ziffer mehrfach auftreten kann, handelt es sich um eine „Variation mit Wiederholung“. Die Formel, die wir zur Berechnung genutzt haben, ist „n hoch k“. Mit dieser können wir auch berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, dreimal nacheinander mit einem sechsseitigen Würfel zu würfeln. Beim ersten Wurf gibt es sechs Möglichkeiten. Beim zweiten und dritten ebenso, weil ja die gewürfelten Seiten des Würfels weiterhin existieren und nicht gelöscht werden. Außerdem ist hier auch die Reihenfolge entscheidend. Das macht sechs hoch drei also zweihundertsechzehn Variationen. Und falls du dich blind durch eine Quizshow raten möchtest, hast du bei fünfzehn Fragen mit je vier Antwortmöglichkeiten, insgesamt fünfzehn hoch vier Antwortvariationen. Die Chance, beim blinden Raten die Million zu knacken, liegt damit bei weniger als eins zu Fünfzig Tausend. Die Beispiele, die wir uns eben angeschaut haben, beinhalten Elemente, die mehrfach auftreten können. Die Antwort a kann mehrfach die richtige Lösung sein und der Code könnte zum Beispiel aus fünf Fünfen bestehen. Schauen wir uns nun ein Beispiel an, bei dem jedes Element nur einmal vorkommt. Beispielsweise bei Wettkämpfen. Auch hier ist die Reihenfolge nicht unwichtig, es geht schließlich ums Gewinnen. Denn hier kann die Teilnehmerin A nicht gleichzeitig erste und dritte werden. Da jeder Teilnehmer nur einmal über die Ziellinie läuft, sprechen wir hier von einer Variation ohne Wiederholung. Wenn wir die Platzierung mithilfe einer Urne darstellen wollen, legen wir die gezogenen Figuren natürlich nicht mehr zurück, denn sie haben ja schon ihren Platz bekommen. Es entspricht also dem „Ziehen ohne Zurücklegen“. Für die „Variation ohne Wiederholung“ gilt diese Formel. Hier steht im Zähler und im Nenner ein Ausrufezeichen. Das ist das mathematische Zeichen für „Fakultät“. Bei der Fakultät multiplizieren wir alle natürlichen Zahlen von der eins bis zu der Zahl vor dem Fakultätszeichen. So ist drei Fakultät zum Beispiel sechs, und fünf Fakultät ist einhundertzwanzig. Bei größeren Zahlen können wir dann natürlich den Taschenrechner bemühen. Schauen wir uns nun den diesjährigen Halbmarathon mithilfe der „Variation ohne Wiederholung“ genauer an. Acht Personen nehmen teil und davon bekommen die ersten drei natürlich eine Gold-, Silber-, oder Bronzemedaille. Wie viele Varianten gibt es für den Zieleinlauf und damit für die Verteilung der Medaillen? Wir setzen wieder n und k in die Formel ein, und erhalten dreihundert sechsunddreißig Möglichkeiten für den Zieleinlauf der ersten Drei. Unabhängig davon natürlich, wie wahrscheinlich die einzelnen Möglichkeiten aufgrund der individuellen Kondition der Teilnehmenden ist. Alles klar, schauen wir uns die Variationen nochmal auf einen Blick an. In der Kombinatorik sprechen wir von Variation, wenn wir aus einer Grundmenge nacheinander Elemente auswählen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt. Dabei gibt es einerseits die Variation mit Wiederholung, weil beispielsweise Zahlen oder Antwortmöglichkeiten mehrfach ausgewählt oder gewürfelt werden können, und andererseits Variationen ohne Wiederholung, weil es sich bei den Elementen um Menschen oder andere einzigartige Objekte handelt, die nur einmal auftreten. Zusammen mit den Fällen „Permutation“ und „Kombination“, haben wir nun alle drei Bereiche der Kombinatorik behandelt und können jederzeit berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, n Elemente einer Menge anzuordnen oder in einer Reihe aufzulisten. Und du solltest dir in Zukunft eine Methode überlegen, dir den Code fürs Fahrradschloss zu merken, bevor du an den Varianten verzweifelst und zum Bolzenschneider greifen musst.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

2.694

sofaheld-Level

6.290

vorgefertigte
Vokabeln

10.224

Lernvideos

42.166

Übungen

37.254

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden