Kombinatorik
Die Kombinatorik ist die Kunst, die Anzahl möglicher Anordnungen und Zusammenstellungen zu berechnen. Erfahre mehr über Permutationen, Variationen und Kombinationen. Neugierig? Lies weiter!
- Kombinatorik – Grundlagen und Anwendungen in der Mathematik
- Was ist Kombinatorik?
- Arten von kombinatorischen Problemen
- Kombinatorik – Formel-Tabelle zur Übersicht
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Lerntext zum Thema Kombinatorik
Kombinatorik – Grundlagen und Anwendungen in der Mathematik
Hast du dich schon einmal gefragt, wie viele verschiedene PINs du dir aus vier Ziffern zusammenstellen könntest oder welche Chancen du beim Lotto hast? Dann bist du bereits mitten in der Kombinatorik – einem spannenden Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Anzahl möglicher Zusammenstellungen beschäftigt.
In diesem Lerntext erfährst du, was Kombinatorik ist, wie du mit Kombinatorik-Formeln und -Tabellen arbeiten kannst, und bekommst viele anschauliche Beispiele für typische Kombinatorik-Aufgaben.
Was ist Kombinatorik?
Die Kombinatorik ist ein mathematisches Teilgebiet, das sich mit dem Berechnen der Anzahl möglicher Anordnungen oder Zusammenstellungen von Objekten beschäftigt. Dabei unterscheidet man insbesondere zwischen Permutationen, Variationen und Kombinationen.
In der Kombinatorik beantworten wir also beispielsweise Fragen wie:
- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, sechs Bücher in einem Regal anzuordnen?
- Wie viele unterschiedliche PIN-Codes kannst du aus den Zahlen $0$ bis $9$ erzeugen?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei aus zehn Schülern für ein Team auszuwählen?
Arten von kombinatorischen Problemen
Um die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten zu berechnen, unterscheiden wir in der Kombinatorik sechs Fälle:
- Ohne Auswahl, mit Reihenfolge, mit Wiederholung
- Ohne Auswahl, mit Reihenfolge, ohne Wiederholung
Bei diesen beiden Fällen handelt es sich um Permutationen mit oder ohne Wiederholung. Das Alleinstellungsmerkmal von Permutationen ist, dass hier alle Elemente der Grundmenge ausgewählt werden. Es findet also keine Auswahl statt.
- Mit Auswahl, mit Reihenfolge, mit Wiederholung
- Mit Auswahl, mit Reihenfolge, ohne Wiederholung
Bei diesen beiden Fällen handelt es sich um Variationen mit oder ohne Wiederholung. Es handelt sich also immer dann um Variationen, wenn eine Auswahl stattfindet und die Reihenfolge wichtig ist.
- Mit Auswahl, ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung
- Mit Auswahl, ohne Reihenfolge, mit Wiederholung
Bei diesen beiden Fällen handelt es sich um Kombinationen mit oder ohne Wiederholung. Das Alleinstellungsmerkmal von Kombinationen ist, dass die Reihenfolge hier keine Rolle spielt.
Diese Fälle unterscheiden sich danach, ob eine Auswahl der Elemente getroffen wird oder die gesamte Grundmenge betrachtet wird, ob es wichtig ist, in welcher Reihenfolge Elemente gewählt werden und ob Elemente mehrfach verwendet werden dürfen.
Kombinatorik – Formel-Tabelle zur Übersicht
| Fall | Reihenfolge wichtig? | Wiederholung erlaubt? | Formel | Bezeichnung |
|---|---|---|---|---|
| Permutation ohne Wiederholung | ja | nein | $ n! $ | ( n )-Fakultät |
| Permutation mit Wiederholung | ja | ja | $ \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dotsc \cdot n_r!} $ | Permutation mit Wiederholung |
| Variation ohne Wiederholung | ja | nein | $ \frac{n!}{(n - k)!} $ | Variation ohne Wiederholung |
| Variation mit Wiederholung | ja | ja | $ n^k $ | Variation mit Wiederholung |
| Kombination ohne Wiederholung | nein | nein | |
Binomialkoeffizient |
| Kombination mit Wiederholung | nein | ja | $ \binom{n + k - 1}{k} $ | Kombination mit Wiederholung |
Wichtige Grundlagen der Kombinatorik
Um die Anzahl von Permutationen, Variationen oder Kombinationen berechnen zu können, benötigst du einige wichtige Kombinatorik-Formeln:
- Die Fakultät:
$$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots 2 \cdot 1 $$
Beispiel: $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
- Der Binomialkoeffizient:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$$
Dieser Koeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, $k$ Elemente aus einer Menge von $n$ Elementen auszuwählen. Man spricht ihn n über k aus.
Kombinatorik – Beispiele aus dem Alltag
PIN-Code berechnen – Variation mit Wiederholung
Ein vierstelliger PIN-Code wird aus den Zahlen von $0$ bis $9$ gebildet. Jede Zahl darf mehrfach vorkommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Es handelt sich um einen Zufallsversuch mit Betrachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung, also um eine Variation. Da jede der $4$ Stellen $10$ Möglichkeiten hat, rechnen wir:
$$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000$$
Lotto „$6$ aus $49$“ – Kombination ohne Wiederholung
Beim Lotto „$6$ aus $49$“ ziehst du $6$ Zahlen aus $49$ möglichen Zahlen. Die Reihenfolge der Zahlen spielt keine Rolle. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Hier spielt die Reihenfolge keine Rolle und es gibt auch keine Wiederholung. Wir betrachten daher die möglichen Kombinationen und die Anzahl der Möglichkeiten ist gleich dem Binomialkoeffizient:
$$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot (49 - 6)!} = 13\,983\,816$$
Kombinatorik – Aufgaben zum Üben
Ausblick – das lernst du nach Kombinatorik
Nachdem du nun mit den Grundlagen der Kombinatorik vertraut bist, kannst du dich tiefer mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen. Du kannst dir beispielsweise mal die Binomialverteilung genauer anschauen! Außerdem lohnt es sich, das Thema Kombinatorik mit unseren Übungen ein wenig zu trainieren!
Zusammenfassung zum Thema Kombinatorik
- Kombinatorik ist das Berechnen der Anzahl von Anordnungen oder Zusammenstellungen.
- Wichtige Fälle: Permutation, Variation und Kombination
- Zentrale Formeln: Fakultät $n!$ und Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Kombinatorik
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