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Kombinatorik – Beispiel (4)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Kombinatorik – Beispiel (4)
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Kombinatorik – Beispiel (4)

Hier siehst du eine Aufgabe zur Kombinatorik. Dieses Mal möchte ich mich mit dem Spiel „ Kniffel “ beschäftigen. Ein Kniffelspiel besteht aus fünf Würfeln. Das Spiel funktioniert so, dass man würfelt und versucht bestimmte Ergebnisse zu erhalten. Wie viele Ergebnisse sind denn aber eigentlich möglich? Um uns mit diesem Zufallsexperiment zu beschäftigen müssen wir zuvor folgende Fragen klären: Mit/ ohne Zurücklegen? Mit/ ohne Reihenfolge? Wenn wir das geklärt haben können wir mit die richtige Formel auswählen und die Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen.

Transkript Kombinatorik – Beispiel (4)

Hallo! Eine Aufgabe zur Kombinatorik. Es geht um das Würfelspiel Kniffel. Beim Kniffel würfelt man mit 5 Würfeln und kann dann noch mal beliebig viele Würfel wieder zurücknehmen und noch mal würfeln, und dann kann man das Ganze noch mal machen. Insgesamt 3-mal, dann ist der Nächste dran und dann geht´s reihum und dann muss man so eine Tabelle ausfüllen usw., erkläre ich jetzt nicht alles. Mir geht´s jetzt nur darum, wir haben die 5 Würfel in einem Würfelbecher, würfeln 1-mal und die Frage ist, wie viele unterschiedliche Würfe gibt es auf diese Art und Weise?

Das Ziehen mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Reihenfolge

Ich habe hier wieder die Tabelle vorliegen mit den 4 Möglichkeiten, 4 grundsätzlichen Möglichkeiten in der Kombinatorik. Es gibt natürlich noch mehr Möglichkeiten, nicht nur die 4, aber das sind die 4 Grundsituationen. Wenn wir uns jetzt die Situation hier vorstellen, wir können das, dieses Würfelspiel, dieses würfeln mit 5 Würfeln, übertragen auf das *+Ziehen von Kugeln mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Reihenfolge**. Wir können diese Würfel hier, die möglich sind, dadurch erzeugen, dass wir quasi in einen Behälter hineingreifen, der die Zahlen 1-6 enthält und wir nehmen eine raus. Wir kucken uns die an, schreiben das Ergebnis auf. Ist die Frage: Müssen wir die jetzt wieder zurücklegen oder nicht? Wenn wir die nicht zurücklegen, dann kann der 2. Würfel, also beim 2. Zug, könnten wir dann diese Zahl nicht mehr haben. Ist beim Würfeln hier aber nicht so. Auch wenn der Würfel hier eine 1 zeigt, dann kann der natürlich auch eine 1 zeigen. Das macht dem ja nichts. Das heißt, wir ziehen also mit Zurücklegen. Wenn wir eine 1 gezogen haben, beim 1. mal, wenn wir uns das Ergebnis notieren, wieder zurücklegen und dann noch mal erneut ziehen, wir können wieder eine 1 ziehen, also ist es mit Zurücklegen.

Die Reihenfolge

Nächste Frage: Wie ist es mit Reihenfolge? Beim Kniffel ist es egal, in welcher Reihenfolge die Würfel liegen, ich kann die auch vertauschen, trotzdem hab ich hier 2 Einsen. Es macht ja auch anders keinen Sinn. Wenn man die Würfel in einen Würfelbecher steckt und dann einfach durchmischt und hinschmeißt auf den Tisch, wie soll man da eine Reihenfolge definieren? Also, es geht ohne Reihenfolge. Das bedeutet, beim Ziehen mit Zurücklegen schreibe ich mir die Ergebnisse jeweils auf einen Zettel auf, sag ich mal, und dann ist einfach nur interessant, welche Nummern stehen auf den Zetteln. Und nicht, in welcher Reihenfolge stehen die Nummern auf diesen Zetteln, oder in welcher Reihenfolge befinden sich die Zettel. Das bedeutet also, hier ist es dann Ziehen mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge.

Das ist dieser Fall. Ich erkläre das deshalb so ausführlich, wie das mit dem Ziehen und dem Zurücklegen ist, weil das eine dieser Grundsituationen ist, die man sich vorstellen kann, die klappt sehr,sehr häufig, und wenn man das also draufhat, dass man die konkreten Situationen, die man bekommt, in solchen Aufgaben, übersetzen kann in diese Grundsituationen, in das Ziehen mit oder ohne Zurücklegen, dann hat man schon eine ganze Menge gewonnen. Dann weiß man nämlich zum Beispiel, dass man diesen Fall hier anwenden muss. Hier, beim Ziehen mit und ohne Zurücklegen. Das ist ja der Fall hier. Ziehen mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge. Da geht es um n Kugeln, die man ziehen kann, die sich in dem Behälter befinden.

Bei uns sind das die 6 Möglichkeiten, die ein Würfel anzeigen kann. Und es wird bei uns 5-mal gezogen, weil wir 5 Würfel haben. Also, n+k-1 über k müssen wir rechnen. Und das ist: n habe ich gesagt ist 6, k=5, -1 ist klar, über 5. Und das ist einfach 10 über 5. Wenn ich das jetzt sowieso schon so ausführlich mache, dann rechne ich das eben so komplett aus. Das ist dann 10!/10-5!×5! 10-5=5, wir müssen ja 10-5! rechnen. Also 5!×5! steht hier unten. Und dann kann ich schon mit einmal 5! kürzen. Dann habe ich da oben noch 10×. Du kannst das natürlich auch in den Taschenrechner eingeben, aber ich mache mir den Spaß jetzt mal hier. Bis 6 geht es, geteilt durch 5×4×3×2 und ×1 muss ich nicht hinschreiben. Das darf einen ruhig klar sein, wie das aussieht. 2×3 kann ich kürzen und 6 hier. Und dann hab ich hier eine 4, das kürze ich mit der 8, dann bleibt noch eine 2 stehen. Und eine 5 habe ich auch noch, dann habe ich hier eine 10. Das kann ich auch kürzen, also, 2 muss ich noch hinschreiben. Für die 10 ist jetzt ein bisschen durcheinander, macht nichts. Dann haben wir also 2×2×9=4×9 und das ist 36×7, na ja, 3×7=21, 30×7=210 und dann brauche ich noch 6×7, das ist 240, also 252 kommt raus. Kann man ruhig auch mal so von Hand machen.

252 mögliche Würfe, unterschiedliche Würfe, gibt es beim Kniffel.

Viel Spaß damit, tschüss!

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