Kathetensatz
Der Kathetensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras und beschreibt die Beziehung zwischen den Katheten und den Abschnitten der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Erfahre mehr über die Formel, Anwendung und den Beweis des Kathetensatzes! Interessiert? All das und vieles mehr findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Kathetensatz
Kathetensatz einfach erklärt
Den Satz des Pythagoras kennst du bestimmt schon aus dem Unterricht. Für rechtwinklige Dreiecke gilt aber nicht nur dieser Satz, sondern eine ganze Satzgruppe. Zu dieser gehört auch der sogenannte Kathetensatz. Doch was genau ist der Kathetensatz? Was besagt er, wann gilt er und wie kann er bewiesen werden? Das wollen wir uns im Folgenden anschauen.
Kathetensatz – Formel
Bevor wir uns den Kathetensatz genauer ansehen, müssen wir erst einmal einige Größen im rechtwinkligen Dreieck definieren:
- Die Seiten, die am rechten Winkel anliegen, heißen Katheten.
- Die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse.
- Die Höhe $h$ des Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Strecken.
- Diese beiden Hypotenusenabschnitte werden mit $p$ und $q$ beschriftet.
Der Kathetensatz besagt:
Das Quadrat einer Kathete ist genauso groß wie das Produkt aus der Hypotenuse und dem an diese Kathete angrenzenden Hypotenusenabschnitt.
Es gilt also:
- $a^{2} = c \cdot p$
- $b^{2} = c \cdot q$
Werden beide Sätze miteinander addiert, so erhalten wir den Satz des Pythagoras.
$\begin{array}{rrcl} & a^{2} + b^{2} &=& c \cdot p + c \cdot q \\ \Leftrightarrow & a^{2} + b^{2} &=& c \cdot (p + q) \\ \Leftrightarrow & a^{2} + b^{2} &=& c^{2} \end{array}$
Das gilt, da $p+q = c$.
Kathetensatz – Anwendungsaufgabe
Wir stellen uns folgende Situation vor: Ein Vermesser möchte die Breite einer Schlucht bestimmen. Da er diese nicht direkt überqueren und messen kann, konstruiert er ein Dreieck mit ganz bestimmten Eigenschaften. Das Dreieck hat einen rechten Winkel, wobei die Höhe des Dreiecks die Hypotenuse $c$ so in zwei Abschnitte teilt, dass der Abschnitt $p$ der Breite der Schlucht entspricht. Den Hypotenusenabschnitt $q$ kann er messen: Er beträgt beträgt $\pu{8 m}$. Außerdem kann er die Länge der Kathete $b$ bestimmen, sie beträgt $\pu{16 m}$.
Die Länge der Hypotenuse $c$ kann der Vermesser nun über den Kathetensatz berechnen:
$\begin{array}{lcll} b^{2} &=& c \cdot q & \vert :q \\ \\ c &=& \dfrac{b^{2}}{q} \end{array}$
Setzt er nun die Werte für $b$ und $q$ ein, so erhält er:
$\begin{array}{rcl} c &=& \dfrac{(\pu{16 m})^{2}}{\pu{8 m}} \\ \\ &=& \pu{32 m} \end{array}$
Die Länge der Hypotenuse $c$ beträgt also $32\,\pu{m}$. Zieht er von diesem Wert nun die Länge des Hypotenusenabschnitts $q$ ab, erhält er $p$, also genau die Breite der Schlucht.
$\begin{array}{rcc} p &=& c - q \\ &=& \pu{32 m} -\pu{8 m} \\ &=& \pu{24 m} \end{array}$
Er kommt für die Breite der Schlucht auf $\pu{24 m}$.
Kathetensatz – Beweis
Aber warum gilt der Kathetensatz überhaupt? Dafür schauen wir uns ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und den Hypotenusenabschnitten $p$ und $q$ an. An das Kathetenquadrat mit der Fläche $a^{2}$ grenzen zwei kongruente Dreiecke, erkennbar unten in der linken Grafik.
Bei beiden Dreiecken hat eine Seite die Länge $p$. Das Quadrat über der Seite $a$ hat die Fläche
$A = g \cdot h$
Nun wählen wir die beiden angrenzenden Seiten der Dreiecke als Grundseite $g$ und Höhe $h$.
Verformen wir das Quadrat entlang der blau markierten Strecke, so erhalten wir das Parallelogramm rechts in der Grafik. Die Fläche $a^{2}$ bleibt erhalten, denn weder die Grundseite noch die Höhe des Vierecks haben sich verändert. Wir können nun aber auch die Seite $c$ als Grundseite ansehen. Die Höhe des Parallelogramms ist dann $p$. Daraus folgt, dass für die Fläche gilt:
$A = c \cdot p$
Das Parallelogramm hat aber auch denselben Flächeninhalt wie das Quadrat, aus dem wir es erhalten hatten. Daher gilt:
$a^{2} = c \cdot p$
Dasselbe Argument können wir mit der anderen Kathete durchführen und erhalten die Gleichung
$b^{2} = c \cdot q$.
Insgesamt sind somit die Formeln des Kathetensatzes bestätigt.
Kathetensatz – Zusammenfassung
Der Kathetensatz gehört zu der Satzgruppe des Pythagoras.
Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ sowie den Hypotenusenabschnitten $p$ und $q$ gilt:
$\quad a^{2} =p\cdot q~$ und $~b^{2} = c \cdot q$.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Kathetensatz
Transkript Kathetensatz
Klausdieter ist Vermesser. Das ist normalerweise ein problemloser und grundsolider Beruf. Wenn man nicht eine Schlucht vermessen soll, in der ein Magmastrom fließt, radioaktives Material herumschwimmt und Lavamutanten leben. Ah, da drüben ist ja Kollege Hansgünter. Der hat seine Fahne schon gesetzt. Sehr gut. Denn so kann Klausdieter den Kathetensatz anwenden, um die Breite dieser Schlucht zu bestimmen. Der Kathetensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras und gilt wie alle dazugehörigen Sätze nur in rechtwinkligen Dreiecken. In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die Seiten, die am rechten Winkel anliegen, Katheten. Die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Hier verläuft die Höhe des Dreiecks auf der Hypotenuse. Ihr Fußpunkt teilt die Hypotenuse in zwei Strecken, die Hypotenusenabschnitte p und q. Der Kathetensatz besagt dann folgendes: Das Quadrat einer Kathete ist genauso groß wie das Produkt aus Hypotenuse und dem an diese Kathete angrenzenden Hypotenusenabschnitt. Dieses Rechteck ist also genauso groß wie dieses Quadrat. Für das andere Kathetenquadrat und den anderen Hypotenusenabschnitt gilt das gleiche. a Quadrat ist also gleich 'c mal p' und 'b Quadrat' ist gleich 'c mal q'. Addiert man beide Sätze zusammen, erhält man den Satz des Pythagoras. Zurück zu Klausdieter. Er und Hansgünter haben ihre Positionen jeweils mit einer Fahne markiert. Die Strecke zwischen den Fahnen entspricht genau der Breite der Schlucht. Nun geht Klausdieter am Graben entlang. Hier stellt er eine weitere Fahne auf und misst so einen Winkel von 90 Grad ab. Entlang der entstandenen Richtung läuft er ein Stück weiter, bis diese beiden Fahnen direkt hintereinanderstehen. Dort setzt er seine letzte Fahne ein. Entstanden ist ein rechtwinkliges Dreieck, wobei hier die Höhe verläuft und hier die Hypotenuse c. Die Strecken auf seiner Seite kann Klausdieter einfach ausmessen. Diese Kathete ist 16 Meter lang. Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte, wobei die Länge des einen Abschnitts genau der Breite der Schlucht entspricht. Den anderen Hypotenusenabschnitt kann er einfach ausmessen. Es sind 8 Meter. Die Länge der Hypotenuse kann er nun über den Kathetensatz ausrechnen. Setzt er die Werte für b und q ein kommt er auf 32 Meter. Zieht er von diesem Wert nun noch die Länge des Hypotenusenabschnitts q ab, erhält er p, also genau die Breite der Schlucht. Er kommt auf 24 Meter. So breit ist die Schlucht also. Gute Arbeit, Klausdieter! Aber warum gelten die Kathetensätze eigentlich? Dazu schauen wir uns ein beliebiges, rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und den Hypotenusenabschnitten p und q an. An das Kathetenquadrat mit der Fläche 'a Quadrat' grenzen diese beiden kongruenten Dreiecke. Bei beiden hat eine Seite die Länge 'p'. Das Quadrat über der Kathete a hat die Fläche 'a Quadrat'. Dabei können wir das Quadrat auch als Parallelogramm auffassen. Aus der Flächenformel für ein beliebiges Parallelogramm lesen wir ab, dass dessen Fläche nur von der Grundseite und der Höhe abhängt. Diese Seite soll dann die Grundseite und diese Seite die Höhe sein. Verformen wir das Quadrat entlang diese Strecke so zu einem Parallelogramm dann bleibt die Fläche erhalten, denn weder die Grundseite noch die Höhe des Vierecks haben sich verändert. Wir können nun aber auch die Seite 'c' als Grundseite ansehen. Die Höhe des Parallelogramms ist dann p. Die Fläche beträgt also 'c mal p'. Weil es aber immer noch dieselbe Fläche hat wie das Quadrat, gilt: 'a Quadrat' ist gleich 'c mal p'. Das können wir natürlich genauso mit der anderen Kathete machen. Dann sehen wir, dass auch die Beziehung 'b Quadrat' ist gleich 'c mal q' gilt. Fassen wir das noch einmal zusammen: Der Kathetensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Wie alle zugehörigen Sätze gilt er nur in rechtwinkligen Dreiecken. Er besagt, dass die Länge einer Kathete zum Quadrat genauso groß ist, wie das Produkt aus Hypotenuse und demjenigen Hypotenusenabschnitt, der an diese Kathete angrenzt. Sind also von den drei Strecken a, p und c zwei Größen gegeben, kann die dritte mit dem Kathetensatz ausgerechnet werden. Dasselbe gilt für die Strecken b, q und c. Klausdieter ist längst wieder zu Hause. Was für ein ereignisloser Tag.
Kathetensatz Übung
-
Bestimme die Terme.
TippsJe länger eine Kathete ist, desto länger ist auch der zugehörige Hypotenusenabschnitt.
Den Satz des Pythagoras kannst du mit diesen Bezeichnungen auch wie folgt formulieren:
$a^2+b^2 = c^2 = c \cdot (p+q)$
Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge $c$ ist:
$A=c^2$
LösungDie Höhe der Hypotenuse teilt die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$. Wir bezeichnen mit $p$ den Hypotenusenabschnitt, der der Kathete $a$ anliegt und $q$ den Hypotenusenabschnitt bei der Kathete $b$. Das Quadrat über der Kathete $a$ hat den Flächeninhalt $a^2$, das Quadrat über der Kathete $b$ den Flächeninhalt $b^2$. Der Kathetensatz besagt, dass der Flächeninhalt des Quadrates über eine Kathete dem Flächeninhalt des Rechteckes aus dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt und der gesamten Hypotenuse entspricht. In Formeln ausgedrückt bedeutet dies:
$ \begin{array}{rcl} a^2 &=& c \cdot p \\ b^2 &=& c \cdot q \end{array} $
Im Bild siehst du die korrekt bezeichneten Flächen und die vervollständigten Formeln.
-
Beschrifte die Bilder.
TippsDer Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt der Grundseite mit der Höhe.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner beiden nicht parallelen Seiten.
Nach dem Kathetensatz ist der Flächeninhalt des Quadrates der Hypotenuse:
$A=c\cdot(p+q) $
LösungDiese vier Bilder zeigen verschiedene Flächen, die im Kathetensatz vorkommen. Die Hypotenuse $c$ wird von der Höhe in die zwei Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ geteilt: $c=p+q$
Die beiden oberen Bilder zeigen jeweils das Quadrat über einer Kathete und das Rechteck über dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt. Die längere Seite des Rechtecks entspricht der Länge der Hypotenuse. Der Kathetensatz besagt, dass die beiden gezeigten Flächeninhalte übereinstimmen. In Formeln ausgedrückt:
$a^2 = c \cdot p~$ und $~b^2 =c \cdot q$
Die beiden Rechtecke der beiden oberen Bilder ergeben zusammen das Quadrat über der Hypotenuse. Damit ergibt sich die folgende Formel:
$c^2 =c \cdot c= c \cdot (p+q) =c \cdot p + c\cdot q$
Die unteren beiden Bilder illustrieren die Beweisidee des Kathetensatzes: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist $A = g \cdot h$. Das Bild unten rechts zeigt ein Parallelogramm mit der Grundseite $g=c$ und der Höhe $h=p$. Die zugehörige Formel für den Flächeninhalt lautet:
$g \cdot h = c \cdot p$.
Das Bild unten links zeigt eine Scherung des Parallelogramms aus dem Bild zuvor. Das Parallelogramm hat nach der Scherung denselben Flächeninhalt wie vor der Scherung. Da das Parallelogramm nun ein Quadrat ist, kannst du $g=a$ und $h=a$ wählen. Die passende Formel für den Flächeninhalt lautet in diesem Falle:
$g \cdot h = a^2$.
-
Bestimme den Hypotenusenabschnitt.
TippsDer Kathetensatz besagt für die Kathete $a$:
$a^2 = c \cdot p$
Du kannst die Formel aus dem Kathetensatz nach dem Hypotenusenabschnitt auflösen.
In einem Dreieck mit $a=15$ und $p=9$ ist
$c=\frac{a^2}{p} =\frac{225}{9} =25$
und
$q=c-p=25-9=16$
LösungNach dem Höhensatz gilt für die Kathete $b$ und den zugehörigen Hypotenusenabschnitt $q$ die Formel:
$b^2 = c \cdot q$
Da $b$ und $q$ bekannt sind, kannst du die Formel nach $c$ auflösen:
$c = \frac{b^2}{q}$
Nun kannst du die vorgegebenen Werte für $b$ und $q$ einsetzen und den Wert für $c$ berechnen:
$c= \frac{(30~\text m)^2}{15~\text m} = 60~\text m$
Da die Hypotenuse $c$ die Summe der Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ ist, erhältst du:
$p = c-q = 60~\text m - 15~\text m = 45~\text m$
-
Erschließe die dazugehörigen geometrischen Größen.
TippsNach dem Kathetensatz ist
$a^2=c \cdot p$
Für die Hypotenuse gilt:
$c=p+q$
In einem Dreieck mit der Kathete $a=15$ und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt $p=9$ ist $a^2 = 15^2 = 225$. Daher ist $c = \frac{a^2}{p} = \frac{225}{9} = 25$.
LösungNach dem Kathetensatz gilt für die Katheten $a$ und $b$ und die zugehörigen Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$:
$a^2 = c \cdot p~$ und $~b^2 = c \cdot q$
Für die Hypotenuse und die beiden Hypotenusenabschnitte gelten die beiden Formeln:
$c=p+q~$ und $~c^2 =c \cdot p + c \cdot q$
Da die meisten der vorgegebenen Werte ganzzahlige sind, findest du die passenden Zuordnungen, indem du nach Teilern der Quadrate suchst. So ist z. B. $p=9$ ein Teiler von $a^2=144$. Der Quotient $\frac{a^2}{p} =\frac{144}{9} =16 = c$ ist ebenfalls vorgegeben, und der Wert $q=c-p=7$ passt auch dazu.
So findest du folgende Zuordnungen:
$a^2 = 144$:
- $p= 9$
- $c= 16$
- $q=7$
- $q=8$
- $c=32$
- $p=24$
- $c= 25$
- $p=7,5$
- $q=17,5$
-
Gib die korrekten Definitionen der Begriffe wieder.
TippsKatheten und Hypotenusen gibt es nur bei rechtwinkligen Dreiecken.
Der rechte Winkel liegt der Hypotenuse gegenüber.
Benutze die binomische Formel, um $(a+b)^2$ auszurechnen.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden kürzeren Seiten Katheten.“ Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse.
- „Der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ ist $a^2$.“ Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt zweier nicht paralleler Seiten: $A = a \cdot b$. Bei einem Quadrat sind diese beiden Seiten gleich, also $a = b$. Daher ist der Flächeninhalt $A = a \cdot b = a \cdot a = a^2$.
- „Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks stehen aufeinander senkrecht.“ Die Katheten sind diejenigen Seiten, die den rechten Winkel bilden. Daher stehen sie aufeinander senkrecht.
- „Die Hypotenuse ist die längste Seite eines Dreiecks.“ Katheten und Hypotenusen gibt es nur bei rechtwinkligen Dreiecken. Korrekt wäre die Aussage: Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.
- „Der Satz des Pythagoras besagt $(a+b)^2 = c^2$.“ Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse, also $a^2+b^2=c^2$. Beachte, dass das Quadrat der Summe nicht dasselbe ist wie die Summe der Quadrate: Nach der binomischen Formel ist nämlich $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \neq a^2+b^2$.
- „Eine Höhe in einem Dreieck verläuft durch den Mittelpunkt einer Seite.“ Jede Höhe verläuft von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite und steht senkrecht auf dieser. Nur in einem gleichschenkligen Dreieck verläuft die Höhe der Basis durch den Mittelpunkt der Basis. Nur in einem gleichseitigen Dreieck verläuft jede Höhe durch den Mittelpunkt einer Seite.
-
Prüfe die Aussagen.
TippsSetze für ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck $a=b$ in die Formeln des Kathetensatzes ein.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Den Kathetensatz kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras und des Höhensatzes beweisen.“ In dem gegebenen Dreieck ist nämlich $a^2+b^2 =c^2 =c\cdot(p+q) $. In dem Dreieck mit Hypotenuse $a$ und Katheten $h$ und $p$ ist dann $a^2 = h^2 +p^2$. Und nach dem Höhensatz ist $h^2=p\cdot q$. Eingesetzt ergibt dies: $b^2 =c^2 - a^2 =(p+q)^2 - (pq+p^2) = q^2 +pq = (q+p) \cdot q = cq$. Die Formel $a^2 = cp$ kannst du ganz analog beweisen.
- „Die Formel des Pythagoras folgt aus den Formeln des Kathetensatzes für beide Katheten.“ Denn $a^2 + b^2 = c \cdot p + c\cdot q=c \cdot (p+q) = c^2$.
- „In einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck folgt aus dem Kathetensatz und dem Satz des Pythagoras: $c^2 = 2 \cdot c \cdot p$.“ Denn in einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck gilt für die Katheten $a =b$. Nach dem Kathetensatz ist dann $c \cdot p = a^2 = b^2 = c \cdot q$. Zusammen mit dem Satz des Pythagoras folgt daraus: $c^2 = a^2+b^2 = 2 \cdot c \cdot p$.
- „In einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck besagt der Kathetensatz: $a^2 = \frac{c}{2} \cdot c$.“ Aus $a =b$ folgt auch $p=q$, denn die beiden Teildreiecke sind ähnlich und haben die beiden Seiten $a$ bzw. $b$ sowie $h$ gemeinsam. Daher ist $c = p+q = 2p$ und daher $p=q=\frac{c}{2}$. Daher ist nach dem Kathetensatz $a^2 * c \cdot p = c \cdot \frac{p}{2}$. Die Formel folgt aber auch direkt aus dem Satz des Pythagoras. Denn mit $a=b$ ist $a^2=b^2$, also $c^2=2a^2$ und $a^2 = \frac{c^2}{2}$.
- „Aus dem Kathetensatz und dem Satz des Pythagoras folgt: $p^2+q^2 = c\cdot p+ c \cdot q$.“ Nach dem Kathetensatz ist $a^2 = c\cdot p$ und $b^2=c\cdot q$. Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann: $c^2 =a^2 + b^2=c\cdot p+c\cdot q$. Außerdem gilt: $c^2 = (p+q)^2 = p^2 +2pq +q^2$, wobei im zweiten Schritt die erste binomische Formel angewendet wurde. Zusammengefasst ergibt sich: $c\cdot p+c\cdot q= p^2 +2pq +q^2$. Das stimmt aber nicht mit der behaupteten Formel überein.
- „Gilt für die Katheten $a = 2b$, so gilt nach dem Kathetensatz: $a^2 = c \cdot p = c \cdot (2q) = 2 \cdot c \cdot q = 2 \cdot b^2$.“ Aus $a=2b$ folgt nicht $p=2q$. Die beiden Teildreiecke und das gesamte Dreieck sind ähnlich zueinander, da sie jeweils die gleichen Winkel haben. In den beiden Teildreiecken sind $a$ und $b$ die Hypotenusen. Ist $a$ doppelt so lang wie $b$, so müssen auch die Katheten $p$ und $h$ doppelt so lang sein wie die Katheten $h$ und $q$. Das geht nur, wenn $p=2h$ und $h=2q$ ist. Denn aus $p=2q$ würde ja für die jeweils verbleibenden Katheten $h=2h$ folgen, was offensichtlich falsch ist.
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