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Höhensatz

Erfahre alles über den Höhensatz: Er gehört zur Satzgruppe des Pythagoras und gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Hier wird erklärt, dass das Quadrat der Höhe zur Hypotenuse gleich dem Produkt der Hypotenusenabschnitte ist. Finde heraus, wie man den Höhensatz anwenden kann! Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

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Was besagt der Höhensatz?

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Höhensatz
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Grundlagen zum Thema Höhensatz

Der Höhensatz des Euklid – Erklärung und Anwendung

Neben dem Kathetensatz und dem Satz des Pythagoras gehört der sogenannte Höhensatz zur Satzgruppe des Pythagoras. Somit gilt er für rechtwinklige Dreiecke. Im Folgenden schauen wir uns genauer an, was es mit dem Höhensatz auf sich hat.

Höhensatz – Definition

Zunächst betrachten wir wichtige Größen in einem rechtwinkligen Dreieck: Die längste Seite eines solchen Dreiecks ist die Hypotenuse. Die Höhe hh, die senkrecht auf der Hypotenuse steht, teilt diese in die zwei Abschnitte qq und pp. Der Höhensatz besagt nun, dass das Quadrat der Höhe hh genauso groß ist wie das Produkt der Hypotenusenabschnitte qq und pp. Wir können den Höhensatz also mithilfe der folgenden Formel ausdrücken:

h2=qph^{2} = q \cdot p

Das können wir auch grafisch veranschaulichen, indem wir die Flächen des Quadrats und des Rechtecks einzeichnen.

Höhensatz Erklärung

Höhensatz – Anwendung

Um den Höhensatz anzuwenden, schauen wir uns ein Dreieck an, bei dem der Hypotenusenabschnitt qq gesucht ist.

Höhensatz Mathe

Die Größen hh und pp sind gegeben. Den Höhensatz müssen wir nach qq umstellen und die Werte für hh und pp einsetzen. Dazu teilen wir zunächst auf beiden Seiten durch pp:

h2=qp   :ph^{2} = q \cdot p ~ ~ ~ |:p

h2p=q\Leftrightarrow \frac{h^{2}}{p} = q

Dann setzen wir die Werte h=12 mh = 12~\pu{m} und p=6 mp=6~\pu{m} ein und berechnen das Ergebnis:

q=(12 m)26 m=24 mq = \frac{(12~\pu{m})^{2}}{6~\pu{m}} = 24~\pu{m}

Die Größe qq beträgt also 2424 Meter.

Aber warum gilt der Höhensatz eigentlich?

Höhensatz – Beweis

Um den Höhensatz zu beweisen, schauen wir uns ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck an. Die Höhe über der Hypotenuse bezeichnen wir wieder mit hh und die Hypotenusenabschnitte mit qq und pp. Die Höhe hh teilt das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten hh und qq beziehungsweise hh und pp. Die beiden Dreiecke können wir auf zwei unterschiedliche Weisen zu einem großen Dreieck zusammenfügen.

Herleitung Höhensatz

Setzen wir das kleinere Dreieck an das obere, wie links gezeigt, ergibt sich ein Dreieck, wenn wir die Fläche h2h^{2} des weißen Quadrats hinzufügen. Wenn wir die Dreiecke genau umgekehrt aneinandersetzen, entsteht ein Dreieck, wenn wir die Fläche pqp \cdot q des weißen Rechtecks hinzufügen. Da aber die beiden so entstehenden rechtwinkligen Dreiecke jeweils die Katheten q+hq+h und p+hp + h haben, sind sie zueinander kongruent und haben insbesondere denselben Flächeninhalt. Also muss die Fläche des Quadrats und des Rechtecks genau gleich groß sein:

h2=pqh^{2} = p \cdot q

Und das ist genau der Höhensatz.

Zusammenfassung zum Höhensatz

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Vorschaubild einer Übung

Wir fassen die wichtigsten Punkte zum Höhensatz noch einmal stichpunktartig zusammen:

  • Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras.
  • Der Höhensatz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.
  • Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe der Hypotenuse so groß wie das Produkt der Hypotenusenabschnitte.
  • Der Höhensatz lässt sich durch die Zerlegung des Dreiecks beweisen

In diesem Video wird dir der Höhensatz einfach erklärt. Du erfährst, wie du fehlende Größen im Dreieck mit dem Höhensatz berechnen kannst. Text und Video werden durch interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt mit Aufgaben ergänzt.

Transkript Höhensatz

Hansgünter ist Vermesser. Das ist normalerweise ein unkomplizierter und bodenständiger Beruf. Wenn man nicht eine Schlucht vermessen soll, in der ein Magmastrom fließt, radioaktives Material herumschwimmt und Lavamutanten leben. Ah, da drüben ist ja Kollege Klausdieter. Der hat seine Fahne schon gesetzt. Sehr gut. Denn so kann Hansgünter den Höhensatz anwenden, um die Breite dieser Schlucht zu bestimmen. Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras und gilt wie alle dazugehörigen Sätze nur in rechtwinkligen Dreiecken. In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite Hypotenuse. Hier verläuft die Höhe des Dreiecks auf der Hypotenuse. Ihr Fußpunkt teilt die Hypotenuse in zwei Strecken, die Hypotenusenabschnitte q und p. Der Höhensatz besagt dann folgendes: Das Quadrat dieser Höhe ist genauso groß wie das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte p und q. Dieses Rechteck ist also genauso groß wie dieses Quadrat. Also gilt: 'h Quadrat' ist 'p mal q'. Zurück zu Hansgünter. Er und Klausdieter haben ihre Positionen jeweils mit einer Fahne markiert. Die Strecke zwischen den Fahnen entspricht genau der Breite der Schlucht. Nun geht Hansgünter am Graben entlang genau 12 Meter. Hier stellt er eine weitere Fahne auf und misst so einen Winkel von 90 Grad ab. Entlang der entstandenen Richtung läuft er ein Stück weiter, bis diese beiden Fahnen in einer Richtung stehen. Dort setzt er seine letzte Fahne ein. Entstanden ist ein rechtwinkliges Dreieck, wobei hier die Höhe mit der Länge 12 Meter verläuft. Sie teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte, wobei die Länge des einen Abschnitts genau der Breite der Schlucht entspricht. Den anderen Hypotenusenabschnitt kann er einfach ausmessen. Es sind 6 Meter. Die Breite der Schlucht kann er nun über den Höhensatz ausrechnen. Setzt er die Werte für h und p ein kommt er auf 24 Meter. So breit ist die Schlucht also. Gute Arbeit, Hansgünter! Aber warum gilt der Höhensatz eigentlich? Dazu schauen wir uns ein beliebiges, rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten p und q an. Es wird durch die Höhe in zwei kleinere Dreiecke geteilt, wobei eines die Seitenlängen h und p, das andere die Seitenlängen h und q besitzt. Klappen wir das kleine Dreieck so nach oben, können wir die zwei Dreiecke, indem wir hier eine Fläche hinzufügen, zu einem großen Dreieck ergänzen. Bei dieser Fläche handelt es sich um ein Quadrat mit der Fläche 'h Quadrat'. Ordnen wir die zwei kleinen Dreiecke andersherum an, bilden sie zusammen mit einem Rechteck wiederum ein Dreieck, das genauso groß ist, wie das erste große Dreieck. Das Rechteck hat eine Fläche von p mal q. Weil die großen Dreiecke gleich groß sind und beide jeweils diese Dreiecke enthalten muss die Fläche dieses Quadrats genauso groß sein, wie die Fläche dieses Rechtecks. Und daraus folgt: 'h Quadrat' ist gleich 'p mal q'. Fassen wir das noch einmal zusammen: Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Wie alle zugehörigen Sätze gilt er nur in rechtwinkligen Dreiecken. Er besagt, dass die Höhe auf der Hypotenuse zum Quadrat genauso groß ist, wie das Produkt aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q. Sind also von den drei Strecken p, q und h zwei Größen gegeben, kann die dritte mit dem Höhensatz ausgerechnet werden. Hansgünter ist längst wieder zu Hause. Das war wirklich ein Tag ohne besondere Vorkommnisse.

3 Kommentare
  1. inhalt gut aber nicht sehr motivierend

    Von User1149710358, vor etwa 4 Jahren
  2. gut

    Von Ninio, vor etwa 4 Jahren
  3. Tolles Video!! Es wird gut erklärt ;)

    Von Violeta Gkolosi, vor mehr als 4 Jahren

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