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Höhensatz 04:28 min

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Transkript Höhensatz

Hansgünter ist Vermesser. Das ist normalerweise ein unkomplizierter und bodenständiger Beruf. Wenn man nicht eine Schlucht vermessen soll, in der ein Magmastrom fließt, radioaktives Material herumschwimmt und Lavamutanten leben. Ah, da drüben ist ja Kollege Klausdieter. Der hat seine Fahne schon gesetzt. Sehr gut. Denn so kann Hansgünter den Höhensatz anwenden, um die Breite dieser Schlucht zu bestimmen. Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras und gilt wie alle dazugehörigen Sätze nur in rechtwinkligen Dreiecken. In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite Hypotenuse. Hier verläuft die Höhe des Dreiecks auf der Hypotenuse. Ihr Fußpunkt teilt die Hypotenuse in zwei Strecken, die Hypotenusenabschnitte q und p. Der Höhensatz besagt dann folgendes: Das Quadrat dieser Höhe ist genauso groß wie das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte p und q. Dieses Rechteck ist also genauso groß wie dieses Quadrat. Also gilt: 'h Quadrat' ist 'p mal q'. Zurück zu Hansgünter. Er und Klausdieter haben ihre Positionen jeweils mit einer Fahne markiert. Die Strecke zwischen den Fahnen entspricht genau der Breite der Schlucht. Nun geht Hansgünter am Graben entlang genau 12 Meter. Hier stellt er eine weitere Fahne auf und misst so einen Winkel von 90 Grad ab. Entlang der entstandenen Richtung läuft er ein Stück weiter, bis diese beiden Fahnen in einer Richtung stehen. Dort setzt er seine letzte Fahne ein. Entstanden ist ein rechtwinkliges Dreieck, wobei hier die Höhe mit der Länge 12 Meter verläuft. Sie teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte, wobei die Länge des einen Abschnitts genau der Breite der Schlucht entspricht. Den anderen Hypotenusenabschnitt kann er einfach ausmessen. Es sind 6 Meter. Die Breite der Schlucht kann er nun über den Höhensatz ausrechnen. Setzt er die Werte für h und p ein kommt er auf 24 Meter. So breit ist die Schlucht also. Gute Arbeit, Hansgünter! Aber warum gilt der Höhensatz eigentlich? Dazu schauen wir uns ein beliebiges, rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten p und q an. Es wird durch die Höhe in zwei kleinere Dreiecke geteilt, wobei eines die Seitenlängen h und p, das andere die Seitenlängen h und q besitzt. Klappen wir das kleine Dreieck so nach oben, können wir die zwei Dreiecke, indem wir hier eine Fläche hinzufügen, zu einem großen Dreieck ergänzen. Bei dieser Fläche handelt es sich um ein Quadrat mit der Fläche 'h Quadrat'. Ordnen wir die zwei kleinen Dreiecke andersherum an, bilden sie zusammen mit einem Rechteck wiederum ein Dreieck, das genauso groß ist, wie das erste große Dreieck. Das Rechteck hat eine Fläche von p mal q. Weil die großen Dreiecke gleich groß sind und beide jeweils diese Dreiecke enthalten muss die Fläche dieses Quadrats genauso groß sein, wie die Fläche dieses Rechtecks. Und daraus folgt: 'h Quadrat' ist gleich 'p mal q'. Fassen wir das noch einmal zusammen: Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Wie alle zugehörigen Sätze gilt er nur in rechtwinkligen Dreiecken. Er besagt, dass die Höhe auf der Hypotenuse zum Quadrat genauso groß ist, wie das Produkt aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q. Sind also von den drei Strecken p, q und h zwei Größen gegeben, kann die dritte mit dem Höhensatz ausgerechnet werden. Hansgünter ist längst wieder zu Hause. Das war wirklich ein Tag ohne besondere Vorkommnisse.

Höhensatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Höhensatz kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Länge des Hypotenusenabschnitts.

    Tipps

    Der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe $h$ ist genauso groß wie derjenige des Rechtecks aus den beiden Hypotenusenabschnitten $p$ und $q$.

    Löse die Formel $h^2 =p \cdot q$ nach dem unbekannten Hypotenusenabschnitt auf.

    Ist $p=4$ und $h=8$, so ist $q=\frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} =16$.

    Lösung

    Der Höhensatz besagt, dass die Flächeninhalte des Quadrates über der Höhe $h$ und des aus den Hypotenusenabschnitten $p$ und $q$ gebildeten Rechtecks übereinstimmen. Als Formel ausgedrückt ist der Höhensatz die Gleichung:

    $h^2 = p \cdot q$

    Sind die Höhe $h=12~\text m$ und ein Hypotenusenabschnitt $p=6~\text m$ bekannt, so kannst du die Gleichung nach dem zweiten Hypotenusenabschnitt $q$ auflösen und erhältst:

    $q= \frac{h^2}{p} = \frac{(12~\text m)^2}{6~\text m} = \frac{144~\text m^2}{6~\text m} = 24~\text m$

  • Überprüfe, ob die Aussage und die Skizze korrekt sind.

    Tipps

    Der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe ist $h^2$.

    Jedes Dreieck, in dem der Höhensatz gilt, ist rechtwinklig.

    Den Höhensatz kannst du mit der Formel $h^2 = p \cdot q$ ausdrücken.

    Lösung

    Der Höhensatz gilt für die Höhe der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Er besagt, dass das Quadrat der Höhe $h$ dem Produkt $p \cdot q$ der Hypotenusenabschnitte gleicht. Du kannst den Höhensatz durch Drehen und Verschieben der beiden Teildreiecke beweisen. Dabei musst du aber beachten, welche Größe jeweils die Höhe des ursprünglichen Dreiecks ist.

    Im Bild siehst du vier Dreiecke mit falschen Bezeichnungen oder falschen Formeln.

    $1.$ Bei diesem Dreieck ist die Formel aus dem Höhensatz falsch. Korrekt wäre $h^2 = p \cdot q$.

    $3.$ Das zusammengesetzte Dreieck zeigt die Beweisidee des Höhensatzes. Die horizontale Kathete des zusammengesetzten Dreiecks entspricht aber nicht der Höhe des ursprünglichen Dreiecks, sondern der Hypotenuse.

    $4.$ Das Dreieck zeigt korrekt die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ und die Höhe $h$, aber die Formel ist unvollständig. Korrekt wäre die Formel $h^2 =p \cdot q$.

    $6.$ Dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig. Daher gilt der Höhensatz in diesem Dreieck nicht.

  • Bestimme die Länge des Hypotenusenabschnitts.

    Tipps

    Du kannst die Gleichung $h^2 = p \cdot q$ wahlweise nach $p$ oder $q$ auflösen, um den fehlenden Hypotenusenabschnitt zu bestimmen.

    Die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ können nicht beide länger oder beide kürzer als die Höhe $h$ sein.

    Ist $h = 70$ und $p = 20$ ist $q= \frac{h^2}{p} = \frac{4.900}{20} = 245$

    Lösung

    Die Höhe $h$ der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$. Nach dem Höhensatz gilt für die Größen $h$, $p$ und $q$ die Gleichung:

    $h^2 = p \cdot q$

    Du kannst die Gleichung nach dem Hypotenusenabschnitt $q$ auflösen:

    $q=\frac{h^2}{p}$

    Jetzt kannst du die vorgegebenen Werte für $h$ und $p$ einsetzen und den zugehörigen Wert $q$ ausrechnen:

    • Für $p=4$ und $h=8$ erhältst du $q=\frac{64}{4} =16$.
    • Für $p=3$ und $h=9$ ergibt sich $q=\frac{81}{3} =27$.
    • Zu $h=6$ und $q=9$ gehört der Wert $q=\frac{36}{9}=4$.
    • Bei $ h=24 $ und $p=18$ findest du $q=\frac{576}{18}=32$.
    • Für $h=15$ und $p=9$ ergibt sich schließlich $q=\frac{225}{9} = 25$.
  • Bestimme die Hypotenusenabschnitte und die Höhe.

    Tipps

    Für den Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe gilt $A= h^2$.

    Der Höhensatz besagt $h^2 = p \cdot q$.

    Lösung

    Nach dem Höhensatz gilt für die Höhe $h$ der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und die beiden Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ die Gleichung:

    $h^2 = p \cdot q$

    Hierbei ist die linke Seite der Flächeninhalt $A=h^2$ des Quadrates über der Hypotenuse. Die rechte Seite der Gleichung ist der Flächeninhalt $A=p \cdot q$ des aus den beiden Hypotenusenabschnitten gebildeten Rechtecks.

    In der Aufgabe sind die Flächeninhalte vorgegeben. Die Höhe $h$ ist jeweils die Wurzel aus dem Flächeninhalt, also $h =\sqrt{A} $. Das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ ist ebenfalls gleich dem vorgegebenen Wert $A=p \cdot q $. Da $p \cdot q = h^2$ ist, können nicht beide Werte $p$ und $q$ größer als $h$ sein. Ebenso können nicht beide Werte kleiner als $h$ sein.

    So erhältst du folgende Zuordnung:

    $A=625$:

    • $h=25$
    • $p=125$
    • $q=5$
    Denn $A=625=25^2 =5\cdot125$.

    $\, $

    $A=900$:

    • $h=30$
    • $p=20$
    • $q=45$
    Hier ist nämlich $A=900=30^2 =20\cdot 45$.

    $\, $

    $A=100$:

    • $h=10$
    • $p=1$
    • $q=100$
    Diese Werte passen zueinander, denn $A=100=10^2 =1\cdot 100$.

    $\, $

    $A=400$:

    • $h=20$
    • $p=16$
    • $q=25$
    Für diese Werte ist nämlich $A=400 =20^2 =16\cdot 25$.

  • Beschrifte das Dreieck.

    Tipps

    Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse.

    Der Beweis des Höhensatzes ergibt sich aus der Gleichsetzung der Flächeninhalte der beiden grauen Flächen.

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt zweier nicht paralleler Seiten.

    Lösung

    Der Höhensatz ist ein Satz über rechtwinklige Dreiecke. Er gehört zur Satzgruppe des Satzes von Pythagoras. Der Höhensatz gilt für genau eine Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, nämlich für die Höhe über der Hypotenuse. In dem ersten Bild oben heißt diese Höhe $h$. Sie teilt die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$. Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat über der Höhe denselben Flächeninhalt hat wie das aus den beiden Hypotenusenabschnitten gebildete Rechteck. Dies lässt sich durch folgende Formel ausdrücken:

    $h^2 =p \cdot q$

    Denn auf der linken Seite der Formel steht der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe, und rechts steht der Flächeninhalt des Rechtecks aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

    Zum Beweis des Höhensatzes kannst du die beiden durch die Höhe gebildeten Teildreiecke geschickt neu zusammensetzen. Dazu drehst du das rechte Teildreieck aus dem ersten Bild gegen den Uhrzeigersinn um $90^\circ$. So erhältst du das zweite Bild: das gedrehte Teildreieck ist hier das grüne Dreieck. Die horizontale Seite dieses grünen Dreiecks ist $h$. Denn die horizontale Seite des grünen Dreiecks ist die vertikale Seite des rechten Teildreiecks aus dem ersten Bild. Die graue Fläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $h$. Dieses Quadrat hat also den Flächeninhalt $h^2$.

    Im dritten Bild siehst du den zweiten Schritt im Beweis: Hier setzt du das grüne und das orange Dreieck aus dem vorigen Bild anders zusammen. Das so entstehende dreifarbige Dreieck ist kongruent zu dem aus dem zweiten Bild. Die vertikale Seite des orangen Dreiecks ist $h$. Die graue Fläche ist hier ein Rechteck mit den Seiten $p$ und $q$. Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt zweier nicht paralleler Seiten. Der Flächeninhalt des weißen Rechtecks ist daher $p \cdot q$.

    Da die beiden zusammengesetzten Dreiecke aus dem zweiten und dritten Bild kongruent sind, haben sie denselben Flächeninhalt. Die beiden grünen bzw. orangen Teildreiecke sind ebenfalls kongruent. Also müssen auch die beiden grauen Flächen denselben Flächeninhalt haben. Es gilt also:

    $h^2 = p \cdot q$

  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Benutze zur Berechnung des Flächeninhaltes über der Hypotenuse $c=p+q$ die binomische Formel.

    Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Mit dem Höhensatz kannst du jede der drei Größen $h$, $p$ und $q$ eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn die beiden anderen vorgegeben sind.“ Du kannst die Gleichung $h^2 =p\cdot q $ nach $p$ oder $q$ auflösen. Sind die beiden Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ gegeben, so kannst du die Höhe berechnen mit der Formel $h=\sqrt{p \cdot q} $.
    • „Den Höhensatz kannst du auch durch eine Rechnung mit dem Satz des Pythagoras beweisen.“ Dazu verwendest du den Satz des Pythagoras in drei verschiedenen Dreiecken: In dem ursprünglichen Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c=p+q$ sowie in dem Dreieck mit den Katheten $p$ und $h$ und der Hypotenuse $a$ und schließlich in dem Dreieck mit Katheten $q$ und $h$ und Hypotenuse $b$. Dann ist nämlich einerseits $(p+q)^2 = c^2 = a^2 +b^2$. Anderseits ist $a^2 = p^2 +h^2$ und $b^2 = h^2 +q^2$. Gleichsetzen ergibt schließlich $2pq = 2h^2$.
    • „Gilt in einem Dreieck der Höhensatz, so ist das Dreieck rechtwinklig.“ Denn rechtwinklige Dreiecke sind dadurch charakterisiert, dass genau in diesen der Satz des Pythagoras bzw. der Höhensatz gilt.
    • „Sind die beiden Hypotenusenabschnitte gleich lang, so haben sie dieselbe Länge wie die Höhe.“ Dies folgt aus der Formel $h^2 = p \cdot q $. Ist nämlich $p=q$, so folgt daraus $h^2 = p^2$ und daher $h=p=q$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Der Höhensatz gilt für jede Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck.“ Tatsächlich gilt der Höhensatz nur für die Höhe über der Hypotenuse.
    • „Der Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse $c = p+q$ ist nach dem Höhensatz gleich der Summe der Quadrate über den Hypotenusenabschnitten und dem Höhenquadrat.“ Die Aussage würde bedeuten, dass $c^2 = p^2 +q^2 +h^2$. Tatsächlich gilt wegen der binomischen Formel und dem Höhensatz aber $c^2 =(p+q)^2 = p^2 +2pq+q^2 = p^2 +2h^2 +q^2$.
    • „Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck, in dem beide Hypotenusenabschnitte länger als die Höhe sind.“ Wegen der Formel $h^2 =p\cdot q$ kann nur entweder $p$ oder $q$ kleiner als $h$ sein.