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Hypothesentest - Fehler erster und zweiter Art 03:34 min

Hypothesentest - Fehler erster und zweiter Art Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Hypothesentest - Fehler erster und zweiter Art kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige auf, welche Aussagen zum Hypothesentest stimmen.

    Tipps

    Bei einem Hypothesentest wird eine Hypothese überprüft, also mit einer zufällig ausgewählten Stichprobe getestet.

    Nachdem wir unsere Stichprobe betrachtet haben, können wir zum Beispiel sagen, dass wir nicht mehr an unsere Hypothese glauben.

    Lösung

    Bei einem Hypothesentest wird eine Hypothese überprüft, also mit einer zufällig ausgewählten Stichprobe getestet.

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    „Ein Fehler erster Art wird auch $\alpha$-Fehler genannt.“

    • Dieser besagt, dass die Hypothese richtig ist, aber verworfen wird.
    „Der $\beta$-Fehler besagt, dass eine Hypothese angenommen wurde, aber falsch ist.“

    „Mit einem Hypothesentest können wir eine Hypothese verwerfen.“

    Dahingegen falsch sind die folgenden Aussagen:

    „Der $\alpha$-Fehler besagt, dass eine Hypothese angenommen wurde, aber falsch ist.“

    • Der $\alpha$-Fehler, auch Fehler erster Art genannt, besagt, dass die Hypothese richtig ist, aber verworfen wird.
    „Mit einem Hypothesentest können wir eine Hypothese bestätigen.“

    • Mit einem Hypothesentest können wir eine Hypothese annehmen oder verwerfen, aber wir können sie nicht bestätigen.
  • Beschreibe, was bei einem Hypothesentest passiert.

    Tipps

    Man könnte zum Beispiel auch behaupten, dass $28 \%$ der Schüler/-innen in Deutschland am liebsten Spaghetti essen und diese Aussage anhand einer Stichprobe prüfen. Das wäre auch ein Hypothesentest.

    In diesem Zusammenhang ist ein Fehler, wenn man entweder etwas Korrektes nicht glaubt oder etwas Falsches glaubt.

    Lösung

    Bei einem Hypothesentest wird eine Hypothese überprüft, also getestet.

    Dazu stellen wir uns vor, dass wir uns in einer statistischen Situation befinden.

    • Wir betrachten zum Beispiel ein Bällebad und behaupten: „Ein Drittel der Bälle sind gelb!“ und überprüfen dies mittels einer zufällig gewählten Stichprobe.
    Für den Hypothesentest benötigt man also immer:
    • eine Hypothese
    • und eine Stichprobe.
    Wir stellen also die Hypothese auf: „In einem Bällebad sind $\frac14$ der Bälle rot.“

    Diese Hypothese können wir nun anhand unserer zufällig gewählten Stichprobe überprüfen und dann entweder annehmen oder verwerfen.

    Aber Achtung, dabei kannst du zwei Fehler machen:

    Fehler erster Art (auch $\alpha$-Fehler): Die Hypothese ist richtig, wird aber verworfen.

    • Das passiert, wenn in deinem Bällebad tatsächlich ein Viertel der Bälle rot ist, in deiner Stichprobe aber zum Beispiel nur einer von $30$ Bällen rot war und du daher deine Hypothese verwirfst.
    Fehler zweiter Art (auch $\beta$-Fehler): Die Hypothese ist falsch, wird aber angenommen.

    • Das passiert, wenn in deinem Bällebad nicht ein Viertel der Bälle rot ist, in deiner Stichprobe aber zum Beispiel $5$ von $20$ Bällen (also genau ein Viertel) rot war und du deine Hypothese daher annimmst.
  • Prüfe, ob ein Fehler zweiter Art vorliegt.

    Tipps

    Bei einem Fehler erster Art, auch $\alpha$-Fehler genannt, wird eine korrekte Hypothese verworfen.

    Lösung

    Bei einem Hypothesentest wird eine Hypothese überprüft, also mit einer zufällig ausgewählten Stichprobe getestet. Dementsprechend können wir nach der Betrachtung unserer Stichprobe eine Hypothese verwerfen oder annehmen. Dabei können aber auch Fehler passieren:

    1. Der Fehler erster Art, auch $\alpha$-Fehler genannt, besagt, dass eine Hypothese richtig ist, aber verworfen wird.
    2. Der Fehler zweiter Art, auch $\beta$-Fehler genannt, besagt, dass eine Hypothese falsch ist, aber angenommen wird.
    Da in der Tüte $100$ von $500$ Gummibärchen grün sind, entspricht das einem Anteil von $\frac15$. Damit ist folgende Hypothese von Marie falsch:

    • Mindestens die Hälfte aller Gummibärchen ist grün.
    Für einen Fehler zweiter Art, muss sie diese Hypothese nun annehmen. Dies tut sie bei den folgenden beiden Stichproben:

    • $7$ blaue, $8$ grüne und ein gelber
    Hier ist genau die Hälfte der Gummibärchen grün.

    • $9$ grüne, $4$ rosafarbene, $2$ blaue und ein gelber.
    Hier sind mehr als die Hälfte der Gummibärchen grün.

    Da bei den anderen beiden Stichproben der Anteil der grünen Gummibärchen kleiner als $\frac12$ ist, verwirft Marie die Hypothese und macht somit keinen Fehler.

  • Entscheide, ob ein Fehler erster oder zweiter Art gemacht wurde.

    Tipps

    Wenn eine korrekte Hypothese nach Betrachtung der Stichprobe angenommen wird, handelt es sich um keinen Fehler.

    Einen Fehler erster Art nennen wir auch $\alpha$-Fehler und einen Fehler zweiter Art nennen wir auch $\beta$-Fehler.

    Lösung

    Bei einem Hypothesentest wird eine Hypothese überprüft, also mit einer zufällig ausgewählten Stichprobe getestet. Dementsprechend können wir nach der Betrachtung unserer Stichprobe eine Hypothese verwerfen oder annehmen.

    Dabei können natürlich auch Fehler passieren.

    Bällebad:

    • Der Fehler erster Art, auch $\alpha$-Fehler genannt, besagt, dass eine Hypothese richtig ist, aber verworfen wird.
    Es ist korrekt, dass ein Viertel der Bälle rot ist. Die zufällig ausgewählte Stichprobe war nur sehr ungünstig, sodass unsere korrekte Hypothese verworfen wurde.

    Einwohner/-innen einer Stadt:

    • Der Fehler zweiter Art, auch $\beta$-Fehler genannt, besagt, dass eine Hypothese falsch ist, aber angenommen wird.
    Es ist falsch, dass ein Drittel der Einwohner/-innen männlich ist. Es ist nämlich die Hälfte. Die zufällig ausgewählte Stichprobe war nur sehr ungünstig, sodass unsere falsche Hypothese angenommen wurde.

    Vegetarier/-innen in Deutschland:

    Es ist nach Voraussetzung korrekt, dass $10\%$ der Deutschen Vegetarier/-innen sind. Die zufällig ausgewählte Stichprobe zeigte ein ähnliches Ergebnis, sodass die Hypothese korrekterweise angenommen wurde.

  • Bestimme den Fehler beim Hypothesentest.

    Tipps

    Der $\beta$-Fehler besagt, dass eine Hypothese akzeptiert wurde, aber nicht korrekt ist.

    Der $\alpha$-Fehler besagt, dass eine Hypothese verworfen wurde, aber korrekt ist.

    Lösung

    Bei einem Hypothesentest wird eine Hypothese überprüft, also mit einer zufällig ausgewählten Stichprobe getestet. Dementsprechend können wir nach der Betrachtung unserer Stichprobe eine Hypothese verwerfen oder annehmen.

    Wichtig wäre es hierbei, dass wir richtige Hypothesen annehmen und falsche Hypothesen verwerfen. Aber natürlich können dabei auch Fehler passieren:

    1. Der Fehler erster Art, auch $\alpha$-Fehler genannt, besagt, dass eine Hypothese richtig ist, aber verworfen wird.
    2. Der Fehler zweiter Art, auch $\beta$-Fehler genannt, besagt, dass eine Hypothese falsch ist, aber angenommen wird.
  • Prüfe, welcher Fehler bei dem Hypothesentest gemacht wurde.

    Tipps

    Entscheide zunächst ob eine Hypothese richtig oder falsch ist.

    Ist sie zum Beispiel falsch, bleiben dir zwei Möglichkeiten:

    • Wird sie verworfen, entsteht kein Fehler.
    • Wird sie angenommen, handelt es sich um einen Fehler der zweiten Art.
    Lösung

    Beispiel 1

    Kiste mit $18$ viereckigen Bauklötzen und $2$ runden. Hypothese: Die Hälfte ist dreieckig.

    • Da es in der Grundmenge keine dreieckigen Bausteine gibt, ist die Aufstellung dieser Hypothese nicht sinnvoll.

    Beispiel 2

    Kiste mit $5$ viereckigen Bauklötzen und $15$ runden. Hypothese: Drei Viertel sind rund.

    • Diese Hypothese ist richtig. Wird sie angenommen, entsteht kein Fehler. Wird sie verworfen, handelt es sich um einen Fehler der ersten Art, daher gehört folgende Stichprobe dazu:
    Stichprobe: $1$ von $4$ sind rund.

    Hypothese verworfen. (Fehler erster Art)

    Beispiel 3

    Kiste mit $5$ viereckigen Bauklötzen und $15$ runden. Hypothese: Ein Viertel ist rund.

    • Diese Hypothese ist falsch. Wird sie verworfen, entsteht kein Fehler. Wird sie angenommen, handelt es sich um einen Fehler der zweiten Art, daher gehört folgende Stichprobe dazu:
    Stichprobe: $1$ von $4$ sind rund.

    Hypothese angenommen. (Fehler zweiter Art)

    Beispiel 4

    Kiste mit $10$ viereckigen Bauklötzen und $10$ runden. Hypothese: Die Hälfte ist rund.

    • Diese Hypothese ist richtig. Wird sie angenommen, entsteht kein Fehler. Wird sie verworfen, handelt es sich um einen Fehler der ersten Art, daher gehört folgende Stichprobe dazu:
    Stichprobe: $2$ von $4$ sind rund.

    Hypothese angenommen. (Kein Fehler)