Höhen von Dreiecken berechnen

Höhen von Dreiecken berechnen Übung

• Beschreibe, wie man bei gegebenem Flächeninhalt und einer Dreiecksseite die entsprechende Höhe berechnen kann.

  Tipps

  Die Flächenformel lautet $A=\frac12\cdot b\cdot h_b$.

  Da $h_b$ unbekannt ist, muss du mit $2$ multiplizieren und durch $b$ dividieren.

  Die Höhe $h_a$

  • steht senkrecht auf die Seite $a$, diese liegt dem Punkt $A$ gegenüber, und
  • verläuft durch $A$.

  Die Strecken $\overline{CA}$ sowie $\overline{CB}$ schließen einen rechten Winkel ein, sind also Katheten des rechtwinkligen Dreiecks.

  Lösung

  Bekannt sind die Seite $b=8~cm$ sowie der Flächeninhalt $A=24~cm^2$.

  Unter Verwendung der Formel $A=\frac12\cdot b\cdot h_b$ kann $h_b$ berechnet werden. Hierfür muss die Formel umgeformt werden:

  $\begin{align} A& = \frac12\cdot b\cdot h_b &|&\cdot 2 \\ 2A & = b\cdot h_b &|&:b\\ \frac{2A}b & = h_b \end{align}$

  Nun können die bekannten Werte eingesetzt werden:

  $h_b=\frac{2\cdot 24~cm^2}{8~cm}=6~cm$.

  Die Höhe $h_b$

  • steht senkrecht auf die Seite $b$, diese liegt dem Punkt $B$ gegenüber, und
  • verläuft durch $B$.

  Dies ist gerade die Seite $a$. Ebenso ist $h_a=b=8~cm$.

• Berechne die Höhe $h_c$.

  Tipps

  Forme die obigen Formel um, indem du zunächst mit $2$ multiplizierst und dann durch $c$ dividierst.

  Verwende beim Einsetzen die Maßeinheiten. Wenn du richtig eingesetzt hast, erhältst du die Maßeinheit $\frac{cm^2}{cm}=cm$.

  Du kannst zur Probe die berechnete Länge der Höhe in der Flächenformel einsetzen. Erhältst du $A=\frac12\cdot 10~cm\cdot 4,9~cm=24~cm^2$?

  Lösung

  Hier ist die Umformung der Flächenformel nach $h_c$ zu sehen. Da sowohl die Länge der Seite $c=10~cm$ sowie der Flächeninhalt $A=24~cm^2$ bekannt sind, können sie in dieser Formel eingesetzt werden:

  $h_c=\frac{2\cdot24~cm^2}{10~cm}=4,8~cm$.

  Zur Probe kann die berechnete Länge der Höhe in der Flächenformel eingesetzt werden:

  $A=\frac12\cdot 10~cm\cdot 4,9~cm=24~cm^2$ $\surd$.

• Gib an, welche Formeln verwendet werden können, um die fehlenden Größen zu berechnen.

  Tipps

  Mache dir zunächst klar, welche Größen gesucht sind und überlege dir, ob du Zusammenhänge / Formeln kennst, die du anwenden kannst.

  Du kannst auch Formeln ausschließen, wenn dafür notwendige Voraussetzungen nicht gegeben sind.

  Du kannst dir den Umfang eines Dreiecks so vorstellen:

  Starte bei einem Punkt, zum Beispiel $A$, gehe von dort zu $B$, dann zu $C$ und zurück zu $B$. Wie lang ist die Strecke insgesamt, welche du gegangen bist.

  Der Satz des Pythagoras gilt in rechtwinkligen Dreiecken und besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Lösung

  Gesucht sind in dieser Skizze die Länge der Seite $a$ sowie der Winkel bei $B$, dieser wird mit dem griechischen Buchstaben $\beta$ bezeichnet.

  Zunächst kann man sich die fehlende Länge berechnen: Da der Umfang gegeben ist, kann man die Formel $U=a+b+c$ verwenden. Diese wird nach $a$ umgeformt:

  $a=U-b-c$.

  Nun können die bekannten Größen eingesetzt werden:

  $U=31,5~cm-13,8~cm-10,7~cm=7~cm$.

  In einem beliebigen Dreieck gilt der Winkelsummensatz. Dieser besagt, dass die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ ergibt: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Diese Formel wird ebenfalls nach der gesuchten Größe umgestellt

  $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma$.

  Nun werden die bekannten Winkel eingesetzt:

  $\beta=180^\circ-30^\circ-50^\circ=100^\circ$.

  Da in diesem Dreieck kein rechter Winkel vorliegt, können weder der Satz des Pythagoras noch die Definition des Sinus verwendet werden.

  Ein Flächeninhalt ist hier nicht angegeben. Somit fällt auch die Flächenformel aus.

• Ermittle die fehlenden Höhen, die fehlende Seite und den Umfang des Dreiecks.

  Tipps

  Verwende die Formel für die Flächenberechnung

  $A=\frac12\cdot a\cdot h_a=\frac12\cdot b\cdot h_b=\frac12c\cdot h_c$.

  Forme diese Formel nach der jeweils gesuchten Größe um.

  Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe der einzelnen Seitenlängen.

  Lösung

  Da die Größen unabhängig - bis auf den Umfang - voneinander berechnet werden können, ist es egal, mit welcher man beginnt.

  Für die Seitenlängen benötigt man die Flächenformel $A=\frac12\cdot a\cdot h_a=\frac12\cdot b\cdot h_b=\frac12c\cdot h_c$. Diese wird dann nach der entsprechenden Größen umgeformt.

  1. Berechnen wir zunächst $a$: Die Umformung der Flächenformel führt zu $a=\frac{2A}{h_a}=\frac{2\cdot 36,9~cm^2}{10,5~cm}=7,028...~cm\approx 7~cm$. Jetzt kann bereits der Umfang berechnet werden. Hierzu wird $U=a+b+c$ verwendet. Somit ist $U=7~cm+13,8~cm+10,7~cm=31,5~cm$.
  2. Berechnen wir dann $h_b$: Die Umformung der Flächenformel führt zu $h_b=\frac{2A}{b}=\frac{2\cdot 36,9~cm^2}{13,8~cm}=5,347...~cm\approx 5,3~cm$.
  3. Berechnen wir zuletzt $h_c$: Die Umformung der Flächenformel führt zu $h_c=\frac{2A}{c}=\frac{2\cdot 36,9~cm^2}{10,7~cm}=6,897...~cm\approx 6,9~cm$.

• Vervollständige die Skizze.

  Tipps

  Die Eckpunkte eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben bezeichnet, die diesen Punkten gegenüberliegenden Seiten mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben.

  Die Höhen haben im Index die Seite, auf welcher sie senkrecht stehen.

  Der Punkt zeigt an, dass ein rechter Winkel vorliegt.

  Beachte die Klein- und Großschreibung.

  Lösung

  Grundsätzlich ist es ratsam, sich Skizzen anzufertigen, um klarer zu sehen, was gegeben ist.

  Bei einem Dreieck werden die Eckpunkte mit Großbuchstaben entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet. Die gegenüberliegenden Seiten erhalten die zugehörigen Kleinbuchstaben.

  Wenn man von einem Punkt das Lot, eine Senkrechte, auf die gegenüberliegende Seite fällt, erhält man die entsprechende Höhe. Diese wird mit $h_?$ bezeichnet, wobei der Index die Seite enthält, auf welche das Lot gefällt wird.

  In diesem Dreieck liegt ein besonderer Fall vor:

  • die Seite $b$ ist die Höhe $h_a$ und
  • die Seite $a$ ist die Höhe $h_b$,

  da in $C$ ein rechter Winkel liegt. Dieser wird mit einem Punkt angedeutet.

• Berechne die fehlenden Größen sowie den Flächeninhalt des Dreiecks.

  Tipps

  Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

  Forme die Umfangsformel $U=a+b+c$ bei bekanntem $a$ nach $b$ oder $c$ um.

  Wenn du diesen Wert in dem Satz des Pythagoras einsetzt und eine binomische Formel anwendest, erhältst du eine quadratische Gleichung. Bei dieser Gleichung kannst du durch Subtraktion den quadratischen Term eliminieren.

  Schließlich erhältst du eine lineare Gleichung in der Größe, nach welcher die Umfangsformel umgeformt wurde.

  In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt gegeben als die Hälfte des Produktes der beiden Katheten.

  Lösung

  Hier sind

  • zum einen die Länge einer Kathete $a=8~cm$ sowie
  • zum anderen der Umfang $U=24~cm$ bekannt.

  Die Formel für den Umfang $U=a+b+c$ kann zum Beispiel nach $c$ umgeformt werden:

  $c=U-a-b$.

  Durch Einsetzen der bekannten Werte erhält man $c=24-8-b=16-b$.

  Nun können $a=8$, $c=16-b$ und $b$ in dem Satz des Pythagoras, $a^2+c^2=b^2$, eingesetzt werden:

  $64+(16-b)^2=b^2$.

  Mit der zweiten binomischen Formel erhält man

  $64+256-32b+b^2=b^2$.

  Nun kann $b^2$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert und zusammengefasst werden:

  $320-32b=0$.

  Addition von $32b$ und anschließendes Dividieren durch $32$ führt zu $b=10$.

  Mit diesem $b$ kann $c=16-b=16-10=6$ berechnet werden.

  Die fehlenden Seiten sind somit

  • die Hypotenuse $b=10~cm$ sowie
  • die weitere Kathete $c=6~cm$.

  Weil es sich in diesem Beispiel um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann der Flächeninhalt als die Hälfte des Produktes der beiden Katheten berechnet werden:

  $A=\frac12\cdot (8~cm)\cdot (6~cm)=24~cm^2$.