Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – Zusammenfassung

Ich heiße alle Zuschauer herzlich willkommen zum Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, der uns nun endlich sagt, wie man denn so ein Integral ausrechnet. Die Ober- und Untersummen jedes Mal auszurechnen ist nämlich viel zu aufwendig. Wir nehmen wieder unsere Funktion f(x) im Intervall a bis b und wollen die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse bestimmen. Dazu bestimmen wir erst einmal die Funktion F(x)=Integral(von a bis x)f(t)dt Okay, ich weiß schon, diese Funktion sieht ein wenig merkwürdig aus. Wir schauen uns mal an, was die eigentlich macht. Die rechnet für eine Stelle x0 im Intervall a,b die Fläche von a bis x0 aus. Denn der Funktionswert an der Stelle x0 ist ja gerade das Integral über f von a bis x0. Wenn ich jetzt die Stelle x1 einsetze, dann ist x1 die obere Integrationsgrenze, also ist die Fläche zwischen a und x1 der Funktionswert. Dann ist die Behauptung des Satzes: Wenn die Funktion f:[a,b] -> R stetig ist, dann ist die F:[a,b] auf dem Intervall differenzierbar und die Ableitung von F'(x)=f(x) also der Integrand. Das wollen wir versuchen zu beweisen. Wir wollen also die Ableitung von der Funktion F(x) bestimmen. Die Ableitung, wir erinnern uns, ist definiert als lim(h gegen 0)=F(x0+h)-F(x0)/h Das wäre dann die Ableitung an der Stelle x0. Jetzt vergessen wir den Grenzwert erst einmal kurz,und dann setzen wir einmal für F(x0+h)-F(x0)/h die Terme ein, wir haben die Werte ja oben gegeben, Das ist also das 1/h×(Integral(von a bis x0+h)f(t)dt-Integral(von a bis x0)f(t)dt) Das erste Integral bezeichnet also die rote Fläche, und das zweite Integral die grüne. Diese Flächen werden voneinander abgezogen, also kann ich das Integral ersetzen durch 1/h×(Integral(von a bis x0+h)f(t)dt, also die rote Fläche, die rechts über steht. Diese Fläche schauen wir uns jetzt einmal noch genauer an, denn die ist auf jeden Fall kleiner als das Rechteck, das als Höhe den rechten Funktionswert in dem Intervall hat. Den x-Wert, der dazugehört nenne wir einfach mal xM, und diese Fläche ist auf jeden Fall größer als das Rechteck, das als Höhe den kleinsten Funktionswert in dem Intervall hat. Das x was dazugehört, nennen wir einfach mal xm. Dann ist dieser Term also kleiner gleich 1/h mal das äußere Rechteck, das hat die Höhe h und die Breite f(xM) und größer gleich 1/h mal das kleine Rechteck, also die Hohe h mal f(xm).Das 1/h mal h kürzt sich jeweils schön raus, so das f(xm) kleiner ist als unsere gesuchte Ableitung, und f (xM) ist größer. Jetzt schauen wir uns den Grenzprozess an: Wenn das h gegen 0 geht, wird diese Fläche hier immer enger und das xm geht irgendwann einmal gegen 0, und das xM auch. Weil f aber stetig ist, und f(x0) kleiner gleich, als unser Grenzwert ist und der wiederum kleiner als f(x0), muss der im Grenzübergang selber f(x0) sein. Und das war ja genau das, was wir zeigen wollten: F'(x0)=f(x0). Wenn F'(x)=f(x) dann heißt f(x) Ableitung von F'(x) , und F'(x) heißt Stammfunktion von f(x). Zum Beispiel ist x² eine Stammfunktion von 2x, weil 2x die Ableitung von x² ist. Wenn f(x) stetig ist auf dem Intervall [a,b] und F'(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann gilt Folgendes: Integral(a bis b)f(t)dt=Integral(a bis b)f(t)dt-Integral(a bis a)f(t)dt (denn das ist ja 0), das ist laut unserer Definition F(b)-F(a). Jetzt habe ich etwas unsauber argumentiert, denn ich habe bei der Voraussetzung einer Stammfunktion unsere Stammfunktion eingesetzt, von der wir jetzt eben gezeigt haben, dass es eine Stammfunktion ist. Und es soll ja eigentlich für alle Stammfunktionen von f(x) gelten. Dass das aber auch gilt, zeigen wir gleich noch. Um so ein Integral(a bis b)f(t)dt zu berechnen, müssen wir nur eine Funktion F'(x) finden, deren Ableitung f(x) ist. Also F'(x)=f(x). Und wenn wir die gefunden haben, brauchen wir nur noch die Intervallgrenzen einzusetzen und die dann voneinander abziehen. Und jetzt komm ich noch mal zu dem Problem von gerade zurück. Zur Funktion 2x haben wie wir die Stammfunktion x², das haben wir ja schon gesehen, und die Stammfunktion x²+3, denn wenn ich die ableite, komme da ja auch 2x raus. Und kommt denn dann bei G(b)-G(a) wirklich das Gleiche raus? F(b)-F(a)=b²-a² und G(b)-G(a)=b²+3-(a²+3) und das ist b²-a, also kommt wirklich das Gleiche raus. Die allgemeine Stammfunktion von f(x)=2x  ist F(x)=x²+c, wobei c eine Konstante ist. Denn die würde ja beim Ableiten jedes Mal wegfallen. Also würde jedes Mal 2x rauskommen. Auf jeden Fall gilt die Formel, die wir verwendet haben für alle Stammfunktionen, weil sich die Konstante jedes Mal wieder weghebt. Das heißt, unser Satz von eben gilt wirklich für alle Stammfunktionen von f(x). In der Praxis wird es dann so ablaufen, dass man um integrale auszurechnen sich hauptsächlich damit beschäftigt, Funktionen zu finden, die Stammfunktionen sind, von den Funktionen, die man integrieren will. Und dafür gibt es dann ganz viele Metoden, und diese lernen wir in den nächsten Videos kennen. Also bis dahin!