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Ganze Zahlen vergleichen 04:20 min

Textversion des Videos

Transkript Ganze Zahlen vergleichen

Ob Kamel, Elch, Faultier oder Eisbär – Jeder hat seine bestimmte Wohlfühltemperatur. Um die Wohlfühltemperaturen miteinander vergleichen zu können, werden wir ganze Zahlen vergleichen. Und dabei hilft uns die Zahlengerade. Darauf können wir die ganzen Zahlen abtragen - immer im gleichen Abstand. Rechts von der 0 liegen die positiven Zahlen und links der 0 die negativen Zahlen. Dabei gilt: Je weiter nach rechts wir auf der Zahlengeraden gehen, desto größer werden die Zahlen und je weiter nach links, desto kleiner werden sie. In beide Richtungen gibt es noch unendlich viele weitere ganze Zahlen. Wollen wir links noch kleinere und rechts noch größere Zahlen eintragen, werden meist die Schritte zwischen den Markierungen größer. So entstehen hier zum Beispiel Fünfer-Schritte. Beginnen wir mit dem Vergleich von Kamel und Faultier. Diese beiden lieben Temperaturen von 40 beziehungsweise 20 Grad Celsius. Lassen wir der Einfachheit halber die Einheiten weg. Die 40 können wir auf der Zahlengeraden hier ablesen und die 20 hier. Wir erinnern uns: Je weiter rechts, desto größer sind die Zahlen und je weiter links, desto kleiner. Daran können wir schon sehen, dass 20 kleiner ist als 40. Um das mathematisch auszudrücken, nutzen wir dieses Vergleichszeichen. An der kleinen Spitze steht die kleinere der beiden Zahlen und an der großen Öffnung die größere Zahl. Schreiben wir die Werte genau anders herum, so muss auch das Vergleichszeichen anders herumstehen. Wir lesen: 40 ist größer als 20. Als nächstes vergleichen wir die Wohlfühltemperaturen von Elch und Faultier. Vom Elch liegt sie bei -10 Grad Celsius. Auf der Zahlengeraden befindet sich die -10 hier und die Temperatur vom Faultier hatten wir ja schon. Welche Zahl ist kleiner? -10 steht weiter links, also ist es die kleinere Zahl. Mit dem Vergleichszeichen schreiben wir: -10 ist kleiner als 20. Umgekehrt ist 20 größer als -10. Und was ist mit den Wohlfühltemperaturen vom Eisbären und dem Elch? Diesmal sind beide Werte negative Zahlen. Wir können sie auf der Zahlengeraden markieren und mithilfe der Regel vergleichen: Je weiter rechts, desto größer die Zahlen und je weiter links desto kleiner. So wissen wir, dass -25 kleiner als -10 ist. Nach demselben Prinzip können wir auch mehrere Zahlen auf der Zahlengeraden vergleichen. -25 ist kleiner als -10. Die ist kleiner als 20. Und die ist kleiner als 40. Allgemein sind übrigens negative Zahlen immer kleiner als positive. Lass uns nun die Abstände zu Null miteinander vergleichen. Zuerst nur im positiven Bereich: Im Vergleich zur 20 hat die 40 den größeren Abstand zur Null und 40 ist auch größer als 20. Je größer also der Abstand einer positiven Zahl zur Null ist, desto größer ist die Zahl. Im negativen Bereich ist es genau anders rum. Zum Beispiel beträgt der Abstand von -25 zur Null – 25 und der Abstand von -10 zur Null – nur 10. Klar, der Abstand 25 ist größer als der Abstand 10. Aber -25 steht auf der Zahlengeraden weiter links und ist deshalb kleiner. Wir sehen also: Je größer der Abstand einer negativen Zahl zur Null ist, desto kleiner ist die negative Zahl. Zeit für die Zusammenfassung. Um ganze Zahlen zu vergleichen, hilft es dir zunächst, die Zahlen auf der Zahlengeraden zu markieren. Dort gilt nämlich: Je weiter nach rechts wir auf der Zahlengeraden gehen, desto größer werden die Zahlen. Somit ist 10 größer als -5. Je weiter nach links wir gehen, desto kleiner werden die Zahlen. Deshalb ist -15 kleiner als -5. Und eine negative Zahl ist immer kleiner als eine positive Zahl. Du kannst dir bestimmt vorstellen, dass es vergleichsweise schwierig ist, eine passende Temperatur für alle Tiere zu finden.

Ganze Zahlen vergleichen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ganze Zahlen vergleichen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Zahlen, die auf der Zahlengeraden am nächsten liegen.

    Tipps

    Markiere die Zahlen auf dem Zahlenstrahl und überprüfe, wie weit sie voneinander entfernt sind.

    So sieht ein Zahlenstrahl für diesen Zahlenbereich aus.

    Lösung

    Markiere die Zahlen auf dem Zahlenstrahl und zähle ab, wie weit sie voneinander entfernt sind. Dann kannst du die Zahlen, die am nächsten zueinander liegen, miteinander verbinden:

    • $5 ~\rightarrow 8$: Sie sind nur $3$ Schritte auf dem Zahlenstrahl entfernt.
    Zum Vergleich:

    $5 ~\rightarrow -1$: $~~~6$ Schritte

    $5 ~\rightarrow -4$: $~~~9$ Schritte

    $5 ~\rightarrow 9$: $~~~4$ Schritte

    Der geringste Abstand zu einer der Zahlen der rechten Seite sind $3$ Schritte, weshalb $8$ die Zahl ist, die am nächsten an der $5$ liegt.

    • $-1 \rightarrow 1$: Sie sind zwei Schritte voneinander entfernt. Nur die Null liegt zwischen ihnen.
    Die anderen Zahlen sind weiter von $-1$ entfernt:

    $-1 ~\rightarrow -4$: $~~~3$ Schritte

    $-1 ~\rightarrow 8$: $~~~9$ Schritte

    $-1 ~\rightarrow 9$: $~~~10$ Schritte

    • $-3 \rightarrow -4$: Sie liegen direkt nebeneinander und sind somit nur einen Schritt voneinander entfernt.
    • $13 \rightarrow 9$: Von der $13$ sind es auf dem Zahlenstrahl nur vier Schritte nach links zur $9$.
    Alle anderen Zahlen sind kleiner als $9$ und somit weiter von $13$ entfernt.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Zahlengeraden.

    Tipps

    So kann eine Zahlengerade aussehen.

    Es gibt unendlich große und unendlich kleine Zahlen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Rechts von der Null liegen auf der Zahlengeraden die negativen Zahlen.“

    • Auf der Zahlengeraden liegen die positiven Zahlen rechts von der Null.
    „Nur auf der rechten Seite der Zahlengeraden gibt es unendlich viele Zahlen.“

    • Auf beiden Seiten der Zahlengeraden gibt es unendlich viele Zahlen.
    „Auf der Zahlengeraden kannst du ausschließlich in $5$er-Schritten gehen.“

    • Du kannst beliebig große Schritte auf der Zahlengeraden gehen und einzeichnen. Besonders wenn du große Zahlen vergleichen möchtest, ist das hilfreich.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Je weiter nach links wir auf der Zahlengeraden gehen, desto kleiner werden die Zahlen.“

    „Negative Zahlen sind immer kleiner als positive.“

  • Ermittle, ob hier die richtigen Größenverhältnisse angegeben wurden.

    Tipps

    Möchtest du Brüche vergleichen, bringe sie auf den gleichen Nenner. Dann kannst du die Zähler vergleichen.

    Im negativen Bereich sind Zahlen, die weiter von Null entfernt sind, kleiner.

    Je mehr Nullen direkt auf ein „0,“ (Null-Komma) folgen, desto näher ist die Zahl an der Null.

    Lösung

    Diese Größenordnungen sind falsch:

    „$\frac{1}{2}<\frac{1}{3}$“

    • Möchtest du Brüche vergleichen, bringe sie auf den gleichen Nenner. Dann kannst du die Zähler vergleichen. Also: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}>\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$
    „$\frac{3}{4}<-\frac{1}{3}$“

    • Positive Zahlen sind immer größer als negative.
    „$\frac{15}{2}<\frac{8}{3}$“

    • Hier musst du die Zahlen wieder auf den gleichen Nenner bringen: $\frac{15}{2}=\frac{45}{6}>\frac{8}{3}=\frac{16}{6}$
    Diese Verhältnisse sind richtig:

    „$-12,3<-12,4$“

    $-0,3>-0,03$

    Im negativen Bereich sind Zahlen, die weiter von Null entfernt sind, kleiner.

  • Beschreibe den Vergleich von ganzen Zahlen.

    Tipps

    Positive Zahlen sind immer größer als negative.

    Bei den negativen Zahlen ist die Zahl kleiner, die weiter von der Null entfernt ist.

    Lösung

    Du kannst den Lückentext so vervollständigen:

    „Zuerst vergleichen wir die beiden Lieblingstemperaturen von Faultier und Kamel. Um das übersichtlicher zu gestalten, lassen wir die Einheiten weg. Auf der Zahlengeraden liegt $20$ weiter links als $40$. $20$ ist also kleiner als $40$. Mathematisch kannst du das auch so schreiben:

    $20<40$“

    • $20$ ist näher an der Null als $40$. Also ist diese Zahl kleiner.
    „Anschließend vergleichen wir die Temperaturen von Elch und Faultier. Auf der Zahlengeraden liegt $20$ weiter rechts als $-10$. $20$ ist also größer als $-10$. Mathematisch kannst du das auch so schreiben:

    $20>-10$“

    • Positive Zahlen sind immer größer als negative.
    „Zuletzt vergleichen wir die Tiere mit den negativen Temperaturen. Hier liegt $-25$ weiter links als $-10$. $-25$ ist also kleiner als $-10$. Mathematisch kannst du das auch so schreiben:

    $-25<-10$“

    • Bei den negativen Zahlen ist die Zahl kleiner, die weiter von Null entfernt ist.
    „Wir können auch alle Temperaturen auf einmal vergleichen. Dazu schreiben wir sie der Größe nach geordnet auf.

    $-25<-10<20<40$“

    • Willst du mehrere Zahlen vergleichen, schreibe sie der Größe nach auf und verbinde sie mit einem „Kleiner-als-Zeichen“ $<$.
  • Entscheide die Reihenfolge dieser Zahlen.

    Tipps

    Betrachte einen Zahlenstrahl und sieh nach, wo diese Zahlen stehen.

    Negative Zahlen sind umso kleiner, je weiter entfernt sie von der Null stehen.

    Lösung

    Betrachte einen Zahlenstrahl und sieh nach, wo diese Zahlen stehen. So kannst du herausfinden, welche Zahl am kleinsten ist. Dann kannst du sie so sortieren:

    $-45<-44<-20<-19<-13<-4<-3<0<1<4<14<23<28<33$

  • Erschließe die Größenverhältnisse der Zahlen.

    Tipps

    Positive Zahlen sind immer größer als negative.

    Die geöffnete Seite des Vergleichszeichens (bzw. Größer-als-Zeichen und Kleiner-als-Zeichen) richtet sich immer zur größeren Zahl.

    Lösung

    Die Größe der Zahlen kannst du mit Hilfe des Zahlenstrahls einschätzen. Schreibe dann das entsprechende Zeichen. Beachte, dass die geöffnete Seite des Vergleichszeichens (<, >) sich immer zur größeren Zahl richtet. Dann erhältst du:

    $1.$

    $5>2$

    $3<6$

    $2>-5$

    $2<3$

    $1>-8$

    $2.$

    $-3<2$

    $-2>-5$

    $-5>-8$

    $-1<1$

    $-9>-31$

    $3.$

    $-13<12$

    $-20<-19$

    $123<132$

    $300>32$

    $-30<-7$