Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden
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Grundlagen zum Thema Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden
Einführung: ganze Zahlen auf der Zahlengerade
Im folgenden Text wird das Thema ganze Zahlen auf der Zahlengerade einfach erklärt. Dabei wird zunächst noch einmal auf den Zahlenstrahl eingegangen, bevor wir uns gemeinsam anschauen, wie positive und negative Zahlen auf der Zahlengerade dargestellt werden. Auch wird gezeigt, wie man Zahlen auf der Zahlengerade abtragen und ablesen kann.
Zahlenstrahl – Wiederholung
Ein Zahlenstrahl beginnt an einem bestimmten Punkt und geht dann unendlich nach rechts weiter. Beginnt er mit der $0$, so können die positiven ganzen Zahlen auf ihm abgetragen werden. Positive ganze Zahlen werden auch als natürliche Zahlen bezeichnet. Das Zeichen für die natürlichen Zahlen ist das $\mathbb{N}$. Wir sehen mithilfe des Zahlenstrahls sofort, welche Zahl der Vorgänger und welche Zahl der Nachfolger einer bestimmten Zahl ist. Zwischen den einzelnen Zahlen befindet sich immer der gleiche Abstand.
Der Abstand einer Zahl zur $0$ wird als Betrag bezeichnet. Da der Betrag den Abstand zur $0$ angibt, ist er selbst bei negativen Zahlen positiv. Die Zahlen $-5$ und $5$ haben daher beide den Betrag $5$. Die Zahl $-2$ hat zum Beispiel den Betrag $2$.
Anordnung von Zahlen auf der Zahlengerade
Wird der Zahlenstrahl nach links erweitert, so spricht man von einer Zahlengerade. Auf der Zahlengerade können zusätzlich zu den natürlichen Zahlen auch ihre Gegenzahlen abgetragen werden. Als Gegenzahlen werden die Zahlen bezeichnet, die den gleichen Betrag haben wie die ursprüngliche Zahl, jedoch ein umgekehrtes Vorzeichen besitzen. So hat die Gegenzahl einer positiven Zahl ein negatives Vorzeichen und die Gegenzahl einer negativen Zahl ein positives Vorzeichen. Die Gegenzahl der $5$ ist demnach die $-5$, die Gegenzahl der $3$ die $-3$ und die Gegenzahl der $-2$ ist die $2$.
Auf der Zahlengerade stehen rechts der $0$ die natürlichen Zahlen oder auch positiven ganzen Zahlen und links der $0$ stehen die negativen ganzen Zahlen. Getrennt werden die positiven und negativen Zahlen durch die $0$, sie ist weder positiv noch negativ.
Die $0$, die positiven ganzen Zahlen und die negativen ganzen Zahlen bilden zusammen die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$. Je weiter man auf der Zahlengerade nach rechts geht, umso größer werden die Zahlen. Das gilt für alle positiven und negativen Zahlen auf der Zahlengerade.
Für den positiven Bereich gilt:
- Je größer der Abstand einer Zahl zur $0$ ist, desto größer ist diese Zahl.
Für den negativen Bereich gilt:
- Je größer der Abstand einer Zahl zur $0$ ist, desto kleiner ist diese Zahl.
Beispiel:
Die Zahl $-5$ hat einen größer Abstand zur $0$ als die Zahl $-2$. Daher ist die Zahl $-5$ kleiner als die Zahl $-2$.
Positive und negative Zahlen auf der Zahlengerade ablesen
Betrachten wir nun, wie man ganze Zahlen auf einer Zahlengerade ablesen kann. Dazu schauen wir uns die beiden Markierungen rechts und links des beschrifteten Bereichs an:
Beginnen wir mit der rechten Markierung. Um herauszufinden, um welche Zahl es sich dabei handelt, messen wir zunächst den Abstand zweier Zahlen, die uns gegeben sind. Nehmen wir dafür den Abstand zwischen den Zahlen $0$ und $1$. Diesen tragen wir nun so oft von der $0$ aus ab, bis wir bei der Markierung landen. In diesem Beispiel musste der Abstand $8$-mal abgetragen werden. Bei der Markierung handelt es sich daher um die Zahl $8$. Wir können den gemessenen Abstand auch ab der letzten gegeben Zahl auf der Zahlengerade abtragen. Dann müssen wir die Anzahl zu dieser Zahl addieren, um die gesuchte Zahl zu erhalten. In unserem Beispiel wäre das $5 + 3 = 8$.
Das Gleiche kann nun für die zweite gesuchte Zahl wiederholt werden. Da sie links der $0$ steht, muss diese Zahl ein negatives Vorzeichen besitzen. Wir erhalten die Zahl $-9$, da wir von der $0$ aus $9$-mal denselben Abstand abtragen können.
Positive und negative Zahlen auf der Zahlengerade anordnen
Schauen wir uns nun an, wie vorgegebene Zahlen auf eine Zahlengerade eingetragen werden. Wir wollen dafür die Zahlen $10$ und $-24$ auf der oberen Zahlengerade abtragen:
Die Zahlengerade ist in $10$er-Schritte eingeteilt, somit kann die $10$ sofort markiert werden.
Die $-24$ muss aufgrund ihres negativen Vorzeichens links der $0$ stehen. Sie steht zwischen den Zahlen $-20$ und $-30$. Um die $-24$ eintragen zu können, hilft uns eine Einerunterteilung. Dafür wird der $10$er-Schritt zwischen $-20$ und $-30$ in $10$ gleich große Einerschritte geteilt. Diese Unterteilung kann auf der gesamten Gerade ergänzt werden. Die $-24$ liegt nun $4$ Einer links von der $-20$. Die genaue Position der beiden Zahlen ist auf der unteren Zahlengerade markiert.
Zusammenfassung: ganze Zahlen auf der Zahlengerade
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zu positiven und negativen Zahlen auf der Zahlengerade zusammen:
- Auf der Zahlengerade können neben den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auch ihre Gegenzahlen dargestellt werden. Zusammen bilden sie die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$.
- Auf der Zahlengerade gilt für den positiven Bereich: Je größer der Abstand einer Zahl zur $0$ ist, desto größer ist diese Zahl.
- Für den negativen Bereich gilt: Je größer der Abstand einer Zahl zur $0$ ist, desto kleiner ist diese Zahl.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Arbeitsblätter und Übungen zum Thema Ganze Zahlen auf der Zahlengerade.
Transkript Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden
Unterwegs im Weltall ist Caro auf Forschungsreise, um die Temperaturen verschiedener Planeten zu untersuchen. Dazu braucht sie ihr ganzes Wissen über ganze Zahlen auf der Zahlengeraden. Die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl kennst du sicherlich bereits. Ein Strahl hat einen Anfang und geht dann in eine bestimmte Richtung unendlich weiter. Setzen wir an den Anfang die Null, dann können wir die natürlichen Zahlen von links nach rechts, immer im gleichen Abstand, abtragen. So sehen wir super-schnell den Nachfolger jeder natürlichen Zahl: Der Nachfolger der 3 ist die 4. - Der Nachfolger der 4 ist die 5 und so geht es unendlich weiter. Der Vorgänger der 3 wiederum ist die 2, der Vorgänger der 2 ist die 1 und, naja - jetzt sind wir schon am Anfang des Strahls angelangt. Was aber, wenn wir den Zahlenstrahl zu einer Zahlengeraden erweitern? Darauf können wir zu jeder natürlichen Zahl, zum Beispiel zu 3, eine Gegenzahl finden. Die hat dann denselben Wert, aber mit negativem Vorzeichen. Jede negative Gegenzahl hat den gleichen Abstand zur 0 wie die zugehörige natürliche Zahl. Die Gegenzahl der 1 ist die minus 1, die Gegenzahl der 2 ist die minus 2, die der 4 die minus 4 und so weiter. Auf der rechten Seite der 0 haben wir die natürlichen, oder auch positiven ganzen Zahlen und auf der Zahlengeraden links von der 0 haben wir ihre Gegenzahlen ergänzt. Die Zahlen links der 0 werden entsprechend auch als negative ganze Zahlen bezeichnet. Zusammen bilden die Null, die positiven und negativen ganzen Zahlen den Zahlbereich der ganzen Zahlen. Schauen wir uns mal an, wie man ganze Zahlen auf der Zahlengeraden ablesen kann. Die Zahlen im Bereich von minus 5 bis 5 können wir hier ohne große Mühe direkt ablesen. Nun sind jedoch diese beiden Zahlen außerhalb des beschrifteten Bereichs gesucht. Beginnen wir mit der Zahl zu dieser Markierung. Lass uns dafür den Abstand zweier benachbarter Zahlen, zum Beispiel von 0 und 1, abmessen und ihn so oft abtragen, bis wir bei der gesuchten Zahl landen. Nun müssen wir nur noch von der 0 aus durchzählen oder ab der letzten markierten Zahl weiterzählen. Die gesuchte Zahl hier ist die 9. Genau so gehen wir bei der anderen gesuchten Zahl auch vor. Wir tragen den gleichen Abstand so oft ab, bis wir bei der Zahl landen, zählen von der minus 5 aus weiter und erhalten hier die minus 7. Sie liegt links von der 0 auf der Zahlengeraden, also im Bereich der negativen ganzen Zahlen und hat entsprechend ein negatives Vorzeichen. Übrigens: Je weiter nach rechts wir gehen, desto größer werden die Zahlen und je weiter nach links desto kleiner werden sie. - Das gilt für alle negativen und positiven Zahlen auf der Zahlengeraden. Lass uns auch noch den Abstand zur Null untersuchen. Im positiven Bereich ist es so: Je größer der Abstand einer positiven Zahl zur Null ist, desto größer ist die Zahl. - Alles ganz normal. Aber für negative Zahlen ist es genau andersherum: Je größer ihr Abstand zur Null, desto kleiner ist die negative Zahl. Ein Beispiel: Im Vergleich zur minus 5 hat die minus 7 einen größeren Abstand zur Null und ist deshalb selbst kleiner als die minus 5. Und wie werden vorgegebene ganze Zahlen auf eine Zahlengerade eingetragen? Caro hat die Temperaturen auf zwei Planeten ermittelt. Auf einem herrscht eine Temperatur von plus 10 Grad Celsius und auf dem anderen eine Temperatur von minus 24 Grad Celsius. Beginnen wir wieder mit der positiven Zahl rechts auf der Zahlengeraden. Da die Zahlengerade in Zehner-Schritte unterteilt ist, können wir die 10 direkt ablesen und markieren. Bei der minus 24 ist das schon etwas schwieriger. Da die Zahl ein negatives Vorzeichen hat, wissen wir, dass sie links von der 0 auf der Zahlengeraden liegt. Die minus 24 ist, anders als minus 20 oder minus 30, kein Zehner. Wir brauchen also eine Einer-Unterteilung. Dafür teilen wir den Zehner-Schritt in zehn gleichgroße Einer-Schritte. Diese neue Einer-Unterteilung können wir auf der gesamten Geraden ergänzen. Von der minus 20 aus zählen wir nun vier Einer nach links ab. So landen wir bei der "minus Vierundzwanzig". Mit dieser Einteilung hat Caro jetzt den richtigen Überblick über die ganzen Temperaturen und kann sich ein wohltemperiertes Plätzchen für ein Päuschen suchen.
Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden Übung
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Ergänze die Eigenschaften ganzer Zahlen.
TippsDie Gegenzahl von $3$ ist $-3$.
Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Wert, aber entgegengesetzte Vorzeichen. Der Wert ist dasselbe wie der Abstand zur Null.
Auf der Zahlengeraden ist eine Zahl umso größer, je weiter sie rechts steht.
LösungDie Temperaturen der Planeten sind ganze Zahlen. Zu jeder ganzen Zahl gibt es eine Gegenzahl. Sie hat denselben Wert, aber das umgekehrte Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Temperatur $5^\circ~\text C$ ist $-5^\circ\text C$. Caro weiß, dass es für jede positive Zahl eine negative Gegenzahl gibt und umgekehrt für jede negative Zahl eine positive Gegenzahl.
Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben von Null immer denselben Abstand. Zahlen rechts von Null werden als positive Zahlen bezeichnet, die Zahlen links von Null als negative Zahlen. Für die Größenrelation gilt: Je weiter rechts auf der Zahlengeraden eine Zahl steht, desto größer ist sie und je weiter links, desto kleiner. Für negative Zahlen gilt: Je größer ihr Abstand zur Null ist, desto kleiner sind sie und umgekehrt: Je kleiner der Abstand zur Null ist, desto größer sind sie.
Um zu einer Markierung auf der Zahlengeraden die passende ganze Zahl zu finden, muss Caro erst den Abstand benachbarter Zahlen messen (z.B. von $0$ und $1$). Anschließend trägt sie von Null ausgehend immer in diesem Abstand bis zu der Markierung einzelne Einheiten ab. Hat sie neun Einheiten von Null ausgehend nach rechts abgetragen, so ist die Zahl $9$, hat sie die Einheiten nach links abgetragen, so ist die Zahl $-9$.
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Benenne die Eigenschaften ganzer Zahlen.
TippsDie Gegenzahl von $5$ ist $-5$.
Zahlen werden größer, wenn man einmal oder mehrmals um $+1$ weiterzählt.
Beim Weiterzählen um $+1$ gelangst du von $-24$ zu $-23$.
LösungDen Zahlenstrahl zur Darstellung der natürlichen Zahlen kannst Du nach links zu der Zahlengeraden erweitern, um die ganzen Zahlen darzustellen. Du findest jetzt zu jeder Zahl eine Gegenzahl im selben Abstand zur Null auf der jeweils anderen Seite. Die Zahlen rechts der Null heißen nun positive ganze Zahlen. Die Zahlen links der Null sind die negativen ganzen Zahlen.
Folgende Aussagen sind richtig:
- „Zu jeder ganzen Zahl gibt es einen Vorgänger und einen Nachfolger.“ Du findest den Nachfolger durch Weiterzählen um $+1$, den Vorgänger durch Zurückzählen.
- „Die Gegenzahl einer positiven ganzen Zahl ist eine negative ganze Zahl oder Null.“ Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist negativ, die Gegenzahl der Null ist Null.
- „Die Gegenzahl zu einer Zahl liegt genauso weit von der Null entfernt wie die Zahl selbst.“ Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben immer denselben Abstand zur Null und liegen auf verschiedenen Seiten der Null.
- „Die Gegenzahl einer natürlichen Zahl ist wieder eine natürliche Zahl.“ Die Gegenzahl einer positiven ganzen Zahl ist eine negative ganze Zahl, also keine natürliche Zahl.
- „Auf der Zahlengeraden liegen die negativen Zahlen rechts, die positiven Zahlen links von der Null.“ Der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen beginnt bei $0$ und verläuft nach rechts. Bei der Erweiterung zur Zahlengeraden der ganzen Zahlen werden die negativen ganzen Zahlen links von der Null eingefügt.
- „Die positiven Zahlen auf der Zahlengeraden werden nach rechts immer größer, die negativen werden nach links größer.“ Auf der Zahlengeraden sind alle ganzen Zahlen der Größe nach angeordnet: Sie werden nach rechts größer.
- „Je größer der Abstand einer ganzen Zahl zur Null ist, desto größer ist die Zahl.“ Dies gilt nur für positive ganze Zahlen. Für negative ganze Zahlen gilt: Je weiter eine Zahl von Null entfernt ist, desto weiter links steht sie, d.h. desto kleiner ist sie.
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Bestimme den Vorgänger und den Nachfolger.
TippsDen Vorgänger einer Zahl findest Du, indem Du um $1$ zurückzählst.
Die $456$ nächstgelegenen ganzen Zahlen sind $455$ und $457$.
Eine negative Zahl hat als Vorgänger oder Nachfolger keine positive Zahl.
LösungDen Nachfolger einer natürlichen Zahl findest Du, indem du um $+1$ weiterzählst, den Vorgänger, indem Du zurückzählst. Alle natürlichen Zahlen haben einen Nachfolger, alle außer $0$ auch einen Vorgänger. Mit den ganzen Zahlen geht das genauso. Doch hier haben alle Zahlen einen Vorgänger und Nachfolger, selbst die $0$ hat nun einen Vorgänger und zwar die $-1$.
Du erhältst folgende Zuordnung:
- Der Nachfolger von $138$ ist die Zahl $139$, der Vorgänger ist $137$.
- Für die Zahl $141$ findest Du den Vorgänger $140$ und den Nachfolger $142$.
- Die Zahl $-140$ hat als Nachfolger $-139$ und als Vorgänger $-141$.
- Für die Zahl $-129$ findest Du den Nachfolger $-128$ und den Vorgänger $-130$.
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Vergleiche die Zahlen.
TippsDie Gegenzahl einer positiven Zahl ist auf dem Zahlenstrahl genauso weit nach links von Null entfernt wie die positive Zahl nach rechts.
Vorgänger und Nachfolger einer negativen Zahl (außer $-1$) sind beide negative Zahlen.
Der Nachfolger von $-123$ ist $-122$.
LösungDen Vorgänger und Nachfolger einer ganzen Zahl findest du, indem Du $+1$ bzw. $-1$ rechnest, die Gegenzahl, indem du das Vorzeichen änderst und den Wert beibehältst.
Hier findest du folgende Zuordnung:
- $\phantom{-}428$ hat den Vorgänger $427$.
- $-426$ hat die Gegenzahl $426$.
- $-424$ hat den Nachfolger $-423$.
- $-425$ hat den Vorgänger $-426$.
- $\phantom{-}429$ hat den Vorgänger $428$.
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Gib die Eigenschaften ganzer Zahlen an.
TippsDie natürlichen Zahlen stehen auf der Zahlengeraden und auf dem Zahlenstrahl rechts der Null.
Ein Strahl verläuft von einem Startpunkt in eine Richtung, eine Gerade in beide Richtungen.
Die Zahl $4$ liegt auf der Zahlengeraden vier Einheiten rechts von Null, die Zahl $-4$ um vier Einheiten links der Null.
LösungCaro trägt die Zahlen auf einer Skala ein. Hätte sie nur natürliche Zahlen, so könnte sie den Zahlenstrahl verwenden. Caro hat jedoch auch negative Temperaturen gemessen, weshalb sie für ihre ermittelten ganzen Zahlen die Zahlengerade benötigt. Dabei trägt sie eine positive Zahl rechts von Null ab, eine negative Zahl dagegen links von Null.
Caro findet zu jeder ganzen Zahl auch eine Gegenzahl, z. B. ist die Gegenzahl von $3$ die Zahl $-3$. Hier gilt immer: eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand von Null.
Die Temperatur eines speziellen Planeten beträgt $10^\circ~\text{C}$. Um den Wert auf der Zahlengerade abzutragen, geht Caro von Null aus $10$ Einheiten nach rechts.
Ein anderer Planet hat die Temperatur $-24^\circ\text{C}$. Caro trägt den Wert wieder auf der Zahlengerade ab. Die Unterteilung in Zehnerschritte hilft ihr dabei, denn der Wert $-20^\circ~\text{C}$ ist auf der Skala bereits eingetragen. Von dort muss sie jetzt nur noch $4$ Schritte weiter nach links gehen.
Die Temperatur des zweiten Planeten ist kleiner als die des ersten, denn die $-24$ steht auf der Zahlengerade weiter links als $10$.
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Analysiere die Aussagen über ganze Zahlen.
TippsVorgänger der Gegenzahl von $109$ ist $-110$. Nachfolger der Gegenzahl von $109$ ist $-108$.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „$24$ hat von $-1$ denselben Abstand wie $-24$ von $1$.“ Der Abstand beträgt in beiden Fällen $25$. Du kannst den Abstand zweier ganzer Zahlen durch Subtraktion ausrechnen. Du musst nur darauf achten, die kleinere von der größeren Zahl zu subtrahieren: Für den Abstand von $24$ zu $-1$ rechnest du: $24 - (-1) = 24 + 1 = 25$. Für den Abstand von $-24$ zu $1$ rechnest du analog: $1-(-24) = 1+24 = 25$.
- „Die Gegenzahl des Nachfolgers einer ganzen Zahl ist der Vorgänger der Gegenzahl.“ Den Nachfolger einer ganzen Zahl erhältst du, indem du $+1$ rechnest. Um die Gegenzahl zu bestimmen, musst du das Vorzeichen ändern und den Wert beibehalten. Dadurch wird aus $+1$ dann $-1$, also der Vorgänger. Ein Beispiel: Der Nachfolger von $-23$ ist $-23+1 = -22$. Die Gegenzahl von $-22$ ist $22$, der Vorgänger der Gegenzahl von $-23$. Anders gesagt: $-(-23+1) = 23-1$.
- „Bildet man die Gegenzahlen zweier aufeinander folgender Zahlen, so dreht sich die Reihenfolge auf der Zahlengeraden um.“ Die Gegenzahlen von $-47$ und $-46$ sind $46$ und $47$.
- „Der Abstand zwischen einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist durch $2$ teilbar.“ Jede Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zur Null. Der Abstand einer Zahl zu ihrer Gegenzahl ist das Doppelte des Abstands zu Null und daher durch $2$ teilbar.
- „Für jede ganze Zahl ist der Abstand zwischen ihrem Vorgänger und ihrem Nachfolger gleich.“ Für jede ganze Zahl gilt: Der Abstand zwischen ihrem Nachfolger ihrem Vorgänger beträgt $2$.
- „Die Gegenzahl einer ganzen Zahl ist eine negative Zahl.“ Die Gegenzahl einer ganzen Zahl erhältst du, indem du den Wert beibehältst und das Vorzeichen veränderst. Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist negativ, die Gegenzahl einer negativen Zahl ist positiv.
- „Die Gegenzahl der Gegenzahl von $17$ ist dasselbe wie die Gegenzahl von $17$.“ Zur Bildung der Gegenzahl änderst du nur das Vorzeichen der Zahl. Wenn du das Vorzeichen zweimal änderst, erhältst du die ursprüngliche Zahl. Das ist auch der Inhalt der Regel Minus mal Minus ergibt Plus.
- „Die Gegenzahl des Vorgängers einer positiven ganzen Zahl ist kleiner als die Gegenzahl der positiven ganzen Zahl selbst.“ Die Aussage wäre richtig, wenn du „positive“ durch „negative“ Zahl ersetzt: Der Vorgänger einer positiven Zahl ist kleiner als diese, denn er liegt weiter links. Er liegt aber auch näher bei der Null, daher liegt seine Gegenzahl weiter rechts als die Gegenzahl der ursprünglichen positiven Zahl. Ein Beispiel: Der Vorgänger von $17$ ist $16$ und damit kleiner als $17$. Die Gegenzahl ist $-16$ und ist größer als $-17$.
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Komisch
Ich bin bei Übungsaufgabe 2 nicht so glücklich mit der Aussage "Die Gegenzahl einer positiven ganzen Zahl ist eine negative ganze Zahl oder Null."
Klar, die erste Option stimmt, aber die zweite (oder Null) ist falsch, sie tritt nie ein.
Daher finde ich es nicht gut, diese Aussage als "richtig" auswählen zu müssen.