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Fehlende Größen im Dreieck berechnen 11:41 min

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Transkript Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Hallo, jetzt zeige ich ein paar Formelumformungen von Formeln in Dreiecken. Das mache ich deshalb, weil du normalerweise zu Dreiecken Textaufgaben bekommst. Eine Textaufgabe löst du, indem du erst den Sachverhalt, der im Text erklärt ist, so interpretierst, dass du erkennen kannst was gegeben ist, dann erkennst du was gesucht ist. Das was gegeben ist setzt du hier in Formeln ein und formst die Formeln so um, dass du die gesuchten Größen ausrechnen kannst. Dann setzt du die entsprechenden Zahlen für die gegebenen Größen ein und erhältst die Zahlen für die gesuchten Größen. Diese Zahlen musst du dann noch mal interpretieren und zwar im Sachzusammenhang der in der Aufgabenstellung gegeben ist. Das ist der normale Prozess beim Textaufgaben lösen und diesen kleinen Teil, wissen was gegeben ist, Formeln so umformen, dass die gesuchten Größen ausgerechnet werden können, den Teil zeige ich jetzt. Hat den Vorteil, dann hat man das separat, kann sich Gedanken darüber machen und muss sich bei einer Textaufgabe nicht alles auf einmal überlegen. Also wir haben Formeln im Dreieck, ich möchte nur die hier nehmen, es gibt natürlich noch mehr Formeln im Dreieck. Die spielen jetzt eine Rolle und zwar haben wir die Fläche im Dreieck ist ½×a×ha; d.h. also die Seite a mal die Höhe, die auf der Seite ist bzw. ½b×hb; ½c×hc; man kann auch einfach sagen Grundseite mal Höhe: G½×G×h geht auch. Das ist Ansichtssache, was man da am liebsten nimmt und wir haben den Umfang eines Dreiecks, das ist a+b+c, d.h. alle Seiten werden addiert, ich glaube das muss ich nicht weiter erläutern. Wenn wir nun folgendes gegeben haben: die Seite a, die Höhe ha, also die Höhe auf a und c, dann soll ausgerechnet werden die Fläche im Dreieck A und hc soll ausgerechnet werden. Wir wissen, dass die Fläche im Dreieck A=½×a×ha ist, d.h. ich brauche nur noch die Zahlen für a und ha einsetzen und erhalte dann die Fläche. Wenn ich c ausrechnen möchte, dann kann ich das über die Fläche machen und zwar kann ich die Formel A=½×c×hc umformen indem ich mal 2 rechne, dann habe ich schon mal 2A hier, ½ ist dann weg und ich teile durch c und dann bleibt hc hier stehen. Dann habe ich jetzt diese Flächenformel nach hc umgeformt und kann jetzt durch Einsetzen von A, das ist ja schon ausgerechnet und von c, hc ausrechnen. Dann ist dieser Fall erledigt, nächster. Wir könnten gegeben haben, die Seite a, die Höhe auf b hb und die Fläche A. Gesucht sind ha und b. Wir können unter Verwendung der Fläche A und unter Verwendung der Seite a die Höhe ha ausrechnen, so ähnlich habe ich das da schon gezeigt, ich zeige es gerne noch mal und zwar kann man ja diese Formel hier umformen, indem man mit 2 multipliziert, dann hat man 2×A und teilt dann noch durch die Seite a und hat diese Formel dann nach ha umgeformt und Einsetzen ergibt dann das was man gesucht hat. Man kann eine Flächenformel in der A und hb vorkommt auch umformen und zwar nach b, d.h. wir haben A=½×b×hb. Wenn man nun mit 2 multipliziert und durch hb teilt hat man diese Gleichung nach b umgeformt und kann jetzt durch Einsetzen von a und hb die Seite b ausrechnen. Das war es dazu. Jetzt könnte noch folgendes passieren, dass der Umfang gegeben ist, die Seite a, die Seite b und hb. Übrigens das was hier ist, das sind Semikola, die Mehrzahl oder der Plural von Semikolon. Das sind keine i oder j, ich wollte das nur der Vollständigkeit halber gesagt haben. Was wir jetzt suchen ist c und ha und hc auch noch und die Fläche A. Ich hoffe es ist noch halbwegs zu sehen, aber sonst sage ich es auch noch mal. Wir können die Fläche A ausrechnen, weil wir ja b und hb gegeben haben. So das ist die Formel, einfach anwenden, wohlfühlen, fertig. Dann können wir c ausrechnen und zwar weil wir ja den Umfang gegeben haben. Ich mache es einmal kurz vor, der Umfang ist ja a+b+c und das kann man umformen indem man -b und -a rechnet auf beiden Seiten und dann erhält man c. Das heißt über den Umfang kann man dann c ausrechnen und ich glaube den Rest brauche ich dann eigentlich nicht mehr vormachen, ha und hc rechnet man dann so aus, wie ich das da schon gezeigt habe. Man hat ja die Formel mit der Fläche, die Fläche haben wir schon ausgerechnet und dann geht das wie gewohnt weiter. Jetzt haben wir eine kleine, interessante Sache, die ein bisschen anders ist: Wir suchen hier ich glaube alle fehlenden Größen, wir haben nicht a gegeben wir wissen aber, dass a=2b ist und dass b=1,5c ist. Wir haben den Umfang und wir haben die Höhe hc und jetzt soll der Rest ausgerechnet werden. Wir wissen, dass b=a/2 ist, denn wir müssen diese Gleichung einfach durch 2 teilen. Hier haben wir noch eine Gleichung und zwar a=1,5c, deshalb wissen wir, dass c=a÷1,5 ist und das bedeutet, dass c=2/3a ist. Das was wir hier stehen haben, können wir jetzt in die Umfangsformel einsetzten, wir wissen ja Umfang ist a+b+c und statt b setze ich jetzt a/2 ein und statt c 2/3a, das bedeutet, dass U=13/6a ist. Das ist halt die Bruchrechnung, man muss jetzt hier auf den Hauptnenner erweitern, das ist halt 6 und dann kriegt man 13/6, das mache ich jetzt nicht im Einzelnen vor, das kannst du mit der Bruchrechnung denke ich. Das bedeutet, dass a=6/13U ist oder 6/13×U kann man auch schreiben, das ist ja egal. Das wiederum heißt, wir haben nun a, wir können a ausrechnen weil wir ja den Umfang haben. Wenn wir a ausrechnen können, können wir auch b ausrechnen mit dieser Formel hier und wir können auch c ausrechnen. Wenn wir also c nun ausgerechnet haben, dann können wir die Fläche A bestimmen, indem wir ½×c×hc rechnen, deshalb brauchen wir eine Höhe. Wenn wir nun die Fläche ausgerechnet haben und z.B. die Höhe auf a bestimmen wollen, dann können wir wieder die entsprechende Flächenformel mit 2 multiplizieren und erhalten dann 2 mal die Fläche, geteilt durch a gleich ha und bei hb macht man das genau so. So geht das Umformen hier mit den Formeln, vielleicht nicht das spannendste an der gesamten Mathematik, aber auch das muss sein. Wie beim Klavierspielen, da macht man die Czernyübungen oder sonst was, ist halt immer so und gehört mit dazu. Trotzdem viel Spaß, tschüss!

4 Kommentare
  1. TOLLES VIDEO

    Von Wadi Raid, vor fast 2 Jahren
  2. Es war mir sehr hilfreich bin in der 9den und hab es gut verstanden

    Von Moritz J., vor mehr als 2 Jahren
  3. Toll, dass du dich mit Klavierspielen auskennst.
    Ich finde solche Rätselaufgaben das mitunter Schönste an Mathematik!

    Von Juliane Viola D., vor etwa 4 Jahren
  4. Hi
    Ich fand das Video gut und hab das Thema verstanden.
    was ich so gut fand:

    1.gut und laut geredet
    2.gute logik
    3.verständlich

    danke Mit freundlichen grüßen

    Von Ish Med, vor fast 5 Jahren

Fehlende Größen im Dreieck berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Fehlende Größen im Dreieck berechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Stelle die gesuchten Formeln auf.

    Tipps

    Wenn du einen Summanden von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen möchtest, so musst du diesen von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

    Du kannst Rechenoperationen unterschiedlich darstellen. Eine Division kann auch in Form eines Bruchs oder sogar als Multiplikation mit einem Bruch geschrieben werden. Es gilt:

    • $2:3=\dfrac 23=2\cdot \dfrac 13$
    Lösung

    Wir können beim Umstellen dieser Gleichungen unterschiedlich vorgehen. Auch können wir die Endversion der Gleichung auf mehrere Weisen angeben. Es gibt nämlich verschiedene Möglichkeiten, eine Rechenoperation anzugeben: Eine Division kann auch in Form eines Bruchs oder sogar als Multiplikation mit einem Bruch geschrieben werden. Beim Umstellen der Gleichungen führst du immer die entsprechende Umkehroperation zu der Größe, die du auf die andere Seite der Gleichung bringen möchtest, durch:

    • Wenn du also beispielsweise einen Summanden von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen möchtest, so musst du diesen von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
    So erhalten wir die folgenden Umformungen:

    Flächeninhalt eines Dreiecks

    Um die Formel für den Flächeninhalt jeweils nach den Seiten $a$, $b$ und $c$ des Dreiecks umzustellen, multiplizieren wir beide Seiten der jeweiligen Gleichung erst mit $2$ und dividieren dann entsprechend durch $h_a$, $h_b$ oder $h_c$. Damit erhalten wir:

    $\begin{array}{lllll} \\ & A &=& \dfrac 12 ah_a & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& ah_a & \vert :h_a \\ & \dfrac {2A}{h_a} &=& a & \\ \end{array}$

    $\begin{array}{lllll} \\ & A &=& \dfrac 12 bh_b & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& bh_b & \vert :h_b \\ & \dfrac {2A}{h_b} &=& b & \\ \end{array}$

    $\begin{array}{lllll} \\ & A &=& \dfrac 12 ch_c & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& ch_c & \vert :h_c \\ & \dfrac {2A}{h_c} &=& c & \\ \\ \end{array}$

    Umfang eines Dreiecks: $~U=a+b+c$

    Wir erhalten hier die folgenden Umformungen:

    • Subtrahieren wir auf beiden Seiten $(a+b)$, erhalten wir: $~c=U-(a+b)$. Eine Minusklammer kannst du auflösen, indem du alle Zeichen in der Klammer umdrehst und das Minuszeichen vor der Klammer sowie die Klammern weglässt. Dann folgt: $~c=U-a-b$
    • Eine Subtraktion von $(a+c)$ auf beiden Seiten der Gleichung liefert uns: $~b=U-(a+c)=U-a-c$
    • Analog erhalten wir $a$: $~ a=U-(b+c)=U-b-c$
  • Bestimme die Formeln für die Berechnung der gesuchten Größen eines Dreiecks.

    Tipps

    Den Umfang eines Dreiecks mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ berechnest du wie folgt:

    • $U=a+b+c$

    Du kannst Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen umstellen. Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{llll} A &=& \dfrac 12ah_a & \vert \cdot 2 \\ 2A &=& ah_a & \vert :a \\ \dfrac {2A}{a} &=& h_a & \end{array}$

    Lösung

    Wir kennen die Seiten $a$ und $b$ sowie die Höhe $h_b$ eines Dreiecks $\Delta_{ABC}$. Zudem ist der Umfang $U$ bekannt.

    Ausgehend von den Formeln für den Flächeninhalt $A$ und den Umfang $U$ eines Dreiecks, möchten wir den Flächeninhalt $A$, die Seite $c$ sowie die Höhen $h_a$ und $h_c$ berechnen. Die Formeln sind wie folgt definiert:

    • $A=\dfrac 12ah_a=\dfrac 12bh_b=\dfrac 12ch_c$
    • $U=a+b+c$
    Da wir $b$ und $h_b$ kennen, können wir zunächst den Flächeninhalt berechnen:

    • $A=\dfrac 12bh_b$
    Mit dem Umfang $U$ sowie den Seiten Höhen $a$ und $b$ können wir die Seite $c$ berechnen:

    $\begin{array}{llll} & U &=& a+b+c & \vert -a \\ & U-a &=& b+c & \vert -b \\ & U-a-b &=& c & \end{array}$

    Mit dem Flächeninhalt $A$ und den Seiten $a$ und $c$ können die Höhen $h_a$ und $h_c$ wie folgt berechnet werden:

    $\begin{array}{lllll} & A &=& \dfrac 12 ah_a & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& ah_a & \vert : a \\ & \dfrac {2A}{a} &=& h_a & \end{array}$

    $\begin{array}{lllll} & A &=& \dfrac 12 ah_a & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& ch_c & \vert : c \\ & \dfrac {2A}{c} &=& h_c & \end{array}$

  • Ermittle die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ der jeweiligen Dreiecke.

    Tipps

    Verwende die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks und stelle diese jeweils nach den gesuchten Seiten $a$, $b$ und $c$ um.

    So stellst du die Formel nach $b$ um:

    $\begin{array}{lllll} & A &=& \dfrac 12 bh_b & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& bh_b & \vert :h_b \\ & \dfrac {2A}{h_b} &=& b & \end{array}$

    Lösung

    Um die Seiten $a$, $b$ und $c$ der Dreiecke zu berechnen, verwenden wir die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks und stellen diese jeweils nach der gesuchten Seite um. Wir erhalten dann die folgenden drei Formeln:

    $\begin{array}{lllll} \\ & A &=& \dfrac 12 ah_a & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& ah_a & \vert :h_a \\ & \dfrac {2A}{h_a} &=& a & \\ \end{array}$

    $\begin{array}{lllll} \\ & A &=& \dfrac 12 bh_b & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& bh_b & \vert :h_b \\ & \dfrac {2A}{h_b} &=& b & \\ \end{array}$

    $\begin{array}{lllll} \\ & A &=& \dfrac 12 ch_c & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& ch_c & \vert :h_c \\ & \dfrac {2A}{h_c} &=& c & \\ \\ \end{array}$

    Mit diesen berechnen wir nun die Seitenlängen der Dreiecke.

    Dreieck 1

    Wir kennen die Größen $A=6~\text{cm}^2$, $h_a=4~\text{cm}$, $h_b=3~\text{cm}$ und $h_c=2,4~\text{cm}$. Damit folgt:

    • $ a = \dfrac {2A}{h_a} = \dfrac {2\cdot 6~\text{cm}^2}{4~\text{cm}} = 3~\text{cm} $
    • $ b = \dfrac {2A}{h_b} = \dfrac {2\cdot 6~\text{cm}^2}{3~\text{cm}} = 4~\text{cm} $
    • $ c = \dfrac {2A}{h_c} = \dfrac {2\cdot 6~\text{cm}^2}{2,4~\text{cm}} = 5~\text{cm} $
    Dreieck 2

    Wir kennen die Größen $A=6~\text{cm}^2$, $h_a=2~\text{cm}$, $h_b=2~\text{cm}$ und $h_c=6~\text{cm}$. Damit folgt:

    • $ a = \dfrac {2A}{h_a} = \dfrac {2\cdot 6~\text{cm}^2}{2~\text{cm}} = 6~\text{cm} $
    • $ b = \dfrac {2A}{h_b} = \dfrac {2\cdot 6~\text{cm}^2}{2~\text{cm}} = 6~\text{cm} $
    • $ c = \dfrac {2A}{h_c} = \dfrac {2\cdot 6~\text{cm}^2}{6~\text{cm}} = 2~\text{cm} $
    Dreieck 3

    Wir kennen die Größen $A=28~\text{cm}^2$, $h_a=8~\text{cm}$, $h_b=7~\text{cm}$ und $h_c=5,6~\text{cm}$. Damit folgt:

    • $ a = \dfrac {2A}{h_a} = \dfrac {2\cdot 28~\text{cm}^2}{8~\text{cm}} = 7~\text{cm} $
    • $ b = \dfrac {2A}{h_b} = \dfrac {2\cdot 28~\text{cm}^2}{7~\text{cm}} = 8~\text{cm} $
    • $ c = \dfrac {2A}{h_c} = \dfrac {2\cdot 28~\text{cm}^2}{5,6~\text{cm}} = 10~\text{cm} $
  • Bestimme die gesuchten Größen des Dreiecks.

    Tipps

    Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ gilt:

    • $h_a=b$
    • $h_b=a$

    Die Hälfte des Produkts der Katheten entspricht dem Flächeninhalt des Dreiecks. Mit diesem kannst du dann die fehlende Seite $c$ bestimmen, da $h_c$ bekannt ist.

    Lösung

    Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$. Von diesem Dreieck sind folgende Werte bekannt:

    • $a=8~\text{cm}$
    • $b=6~\text{cm}$
    • $h_c=4,8~\text{cm}$
    Mit der Formel für den Flächeninhalt $A$ und den Umfang $U$ eines Dreiecks können wir die Größen $A$, $c$ Bund $U$ berechnen.

    Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ gilt:

    • $h_a=b$
    • $h_b=a$
    Damit können wir die Formel für den Flächeninhalt wie folgt formulieren:

    • $A=\dfrac 12ah_a=\dfrac 12ab=\dfrac 12 \cdot 8~\text{cm} \cdot 6~\text{cm}=24~\text{cm}^2$
    Für die Seite $c$ stellen wir die Formel wie folgt um:

    $\begin{array}{lllll} & A &=& \dfrac 12 ch_c & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& ch_c & \vert :h_c \\ & \dfrac {2A}{h_c} &=& c & \end{array}$

    Wir erhalten:

    • $c=\dfrac {2A}{h_c}=\dfrac {2\cdot 24~\text{cm}^2}{4,8~\text{cm}}=10~\text{cm}$
    Für den Umfang erhalten wir dann:

    • $U=a+b+c=8~\text{cm}+6~\text{cm}+10~\text{cm}=24~\text{cm}$
  • Gib die Formeln zur Berechnung der gesuchten Größen an.

    Tipps

    Den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks $\Delta_{ABC}$ kannst du wie folgt berechnen:

    • $A=\dfrac 12ah_a=\dfrac 12bh_b=\dfrac 12ch_c$
    Dabei ist $h_a$ die Höhe auf $a$, $h_b$ die Höhe auf $b$ und $h_c$ die Höhe auf $c$.

    Du kannst diese Formeln mittels Äquivalenzumformungen nach den gesuchten Größen umstellen.

    Lösung

    Den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks $\Delta_{ABC}$ können wir wie folgt berechnen:

    • $A=\dfrac 12ah_a=\dfrac 12bh_b=\dfrac 12ch_c$
    Dabei ist $h_a$ die Höhe auf $a$, $h_b$ die Höhe auf $b$ und $h_c$ die Höhe auf $c$. Wir können diese Formeln nun mittels Äquivalenzumformungen nach den gesuchten Größen umstellen. Damit erhalten wir die folgenden Ansätze:

    Aufgabe 1

    Gegeben sind die Seiten $a$ und $c$ sowie die Höhe $h_a$ eines Dreiecks $\Delta_{ABC}$.

    Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ und die Höhe $h_c$.

    Wir berechnen zunächst mit der Seite $a$ und der Höhe $h_a$ den Flächeninhalt $A$ wie folgt:

    $\begin{array}{llll} & A &=& \dfrac 12 ah_a \end{array}$

    Mit dem Flächeninhalt $A$ und der Seite $c$ können wir nun die Höhe $h_c$ berechnen:

    $\begin{array}{lllll} & A &=& \dfrac 12 ch_c & \vert \cdot 2 \\ & 2A &=& ch_c & \vert :c \\ & \dfrac {2A}{c} &=& h_c & \end{array}$

  • Leite die gesuchten Formeln her.

    Tipps

    Kennst du zwei Beziehungen, die jeweils dieselbe Größe ergeben, so kannst du diese beiden Beziehungen gleichsetzen.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    Gesucht ist eine Formel, mit der du $c$ in Abhängigkeit von $b$, $h_b$ und $h_c$ berechnen kannst. DieFormeln für den Flächeninhalt von Dreiecken liefern:

    $\begin{array}{llll} \dfrac 12 \cdot c\cdot h_c &=& \dfrac 12 \cdot b\cdot h_b & \vert \cdot 2 \\ c\cdot h_c &=& b\cdot h_b & \vert :h_c \\ c &=& b\cdot h_b : h_c & \end{array}$

    Lösung

    Kennen wir zwei Beziehungen, die jeweils dieselbe Größe ergeben, so können wir diese beiden Beziehungen gleichsetzen. Wir kennen zum Beispiel drei Ausdrücke für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks. Diese sind:

    • $A=\dfrac 12\cdot a\cdot h_a$
    • $A=\dfrac 12\cdot b\cdot h_b$
    • $A=\dfrac 12\cdot c\cdot h_c$
    Im ersten Beispiel ist eine Formel, mit der wir $h_c$ in Abhängigkeit von $c$, $a$ und $h_a$ berechnen können, gesucht. Diese erhalten wir, indem wir den ersten und dritten Ausdruck gleichsetzen und nach $h_c$ umstellen:

    $\begin{array}{llll} \dfrac 12 \cdot c\cdot h_c &=& \dfrac 12 \cdot a\cdot h_a & \vert \cdot 2 \\ c\cdot h_c &=& a\cdot h_a & \vert :c \\ h_c &=& a\cdot h_a : c & \end{array}$

    Im zweiten Beispiel suchen wir eine Formel zur Berechnung von $a$ in Abhängigkeit von $b$, $h_a$ und $h_b$. Wir setzen nun den ersten und zweiten Ausdruck gleich und stellen nach $a$ um:

    $\begin{array}{llll} \dfrac 12 \cdot a\cdot h_a &=& \dfrac 12 \cdot b\cdot h_b & \vert \cdot 2 \\ a\cdot h_a &=& b\cdot h_b & \vert :h_a \\ a &=& b\cdot h_b : h_a & \end{array}$