Exponentielles oder lineares Wachstum – Übung

Exponentielles oder lineares Wachstum – Übung Übung

• Gib wieder, wie lineare und exponentielle Wachstumsvorgänge modelliert werden können.

  Tipps

  Um zu entscheiden, ob eher ein lineares oder exponentielles Wachstum vorliegt, sind im Rahmen einer mathematischen Modellierung grundsätzlich zwei Schritte erforderlich:

  In einem ersten Schritt ermittelst du aus den vorliegenden Daten des Wachstums die Funktionsgleichungen für lineares und exponentielles Wachstum. Die unveränderlichen Größen der Funktionsgleichung, auch Parameter genannt, kannst du anhand von Datenpaaren ermitteln.

  Wenn du die Funktionsgleichungen bestimmt hast, kannst du dich dem zweiten Schritt widmen: Hier geht es darum, dass du die gefundenen Funktionen überprüfst. Nun kannst du feststellen, welches Wachstum am ehesten vorliegt.

  Lösung

  Das folgende Vorgehen zum Simulieren von Wachstumsvorgängen ist sinnvoll.

  1. Datenpaare wählen:

  Die Datenpaare kannst du am einfachsten einer Wertetabelle entnehmen. Wenn du allerdings keine Wertetabelle gegeben hast, musst du die Datenpaare direkt dem Sachverhalt entnehmen oder aus der graphischen Darstellung ablesen. Es ist rechnerisch vorteilhaft, wenn du gleich den Startwert im Zeitpunkt $x=0$ für eines der Datenpaare verwendest.

  2. Einsetzen:

  Durch das Einsetzen der Datenpaare in die allgemeine lineare bzw. exponentielle Gleichung entstehen jeweils zwei Gleichungen mit den Parametern als gesuchte Größen. Parameter sind die feststehenden Größen der Funktionsgleichung.

  3. Umformen und Lösen:

  Das Umformen und Lösen dient der Bestimmung der Parameter. Dafür kannst du die allgemeinen Regeln der äquivalenten Umformung nutzen. Sofern du für eines der Datenpaare auch den Startwert zum Zeitpunkt $x=0$ verwendet hast, wirst du feststellen, dass sich beide Gleichungssysteme relativ einfach lösen lassen.

  4. Parameter einsetzen:

  Durch das Einsetzen der zuvor ermittelten Parameter entstehen nun zwei Funktionsgleichungen, die jeweils lineares bzw. exponentielles Wachstum beschreiben. Es sind also zwei potentielle Kandidaten entstanden, die nun in einem zweiten Schritt auf ihre Eignung hin überprüft werden müssen.

  5. Ausgangswerte einsetzen:

  Durch das Einsetzen der Ausgangswerte für x können nun die y-Werte für lineares und exponentielles Wachstum ermittelt werden.

  6. Tabellen erstellen:

  Die ermittelten Werte können nun tabellarisch erfasst werden, um einen anschließenden Vergleich mit den Ausgangsdaten zu ermöglichen.

  7. Tabellen vergleichen:

  Nun können die Tabellen für lineares und exponentielles Wachstum mit den Werten der Ausgangstabelle verglichen werden: Es handelt sich am ehesten um die Art von Wachstum, die der Ausgangstabelle am nächsten kommt. Da es sich bei der mathematische Modellierung eines natürliches Prozesses, der durch viele Faktoren beeinflusst wird, nur um eine näherungsweise Beschreibung handelt, ist eine Abweichung der Daten in einem gewissen Rahmen unvermeidlich.

• Erstelle die Gleichung für das exponentielle Wachstum.

  Tipps

  Der Aufgabenstellung ist bereits zu entnehmen, dass es sich um ein expoentielles Wachstum handelt: Als Lösung kommt also nur eine Funktionsgleichung in der Form $f(x)=c \cdot a^{x}$ in Frage. Der Parameter c steht hierbei für den Anfangswert im Zeitpunkt $x=0$.

  Um die Parameter c und a zu bestimmen, musst du zunächst zwei Gleichungen mit den markierten Datenpaaren aufstellen. Die Zeit musst du für x einsetzen und die zugehörige Bevölkerungszahl für $f(x)$. Die so entstandenen Gleichungen kannst du durch äquivalente Umformung nach den gesuchten Größen auflösen.

  Denke daran: $a^{0}=1$

  Lösung

  Es geht bei dieser Aufgabe also um den ersten Schritt auf dem Weg zur Modellierung – das Ermitteln der Funktionsgleichung aus Datenpaaren.

  Die Grundform einer exponentiellen Gleichung lautet $f(x)=c \cdot a^{x}$.

  Du gehst am besten folgendermaßen vor:

  1. Die zu benutzenden Datenpaare werden ausgewählt. Du solltest in dieser Aufgabe die Paare $(0|31,5)$ und $(10|39,9)$ verwenden.
  2. Durch das Einsetzen der Paare für x und $f(x)$ in die Grundgleichung entstehen die zwei Gleichungen $(1)~31,5=c \cdot a^{0}$ und $(2)~39,9=c \cdot a^{10}$.
  3. Die Gleichungen müssen nun umgeformt werden, um die gesuchten Parameter c und a zu bestimmen: Bei Gleichung $(1)$ entfällt durch $a^{0}=1$ bereits der Parameter a, sodass sich für $c=31,5$ ergibt. Dieser Wert kann nun in die zweite Gleichung eingesetzt werden. Diese Gleichung wird dann durch äquivalente Umformung entsprechend aufgelöst (siehe Abbildung).
  4. Durch das Einsetzen beider Parameter ergibt sich sodann als exponentielle Funktionsgleichung $f(x)=31,5\cdot 1,02^{x}$.

  Jetzt hast du die Möglichkeit, unendlich viele weitere Datenpaare zu bestimmen. In der Realität ist ein exponentielles Wachstum aber natürlich begrenzt.

• Entscheide, ob lineares Wachstum vorliegt.

  Tipps

  Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form $f(x)=m \cdot x +b$. Ermittle im ersten Schritt die Parameter m und b, indem du die vorgegebenen Datenpaare in die Gleichung einsetzt. Löse dann das lineare Gleichungssystem.

  Nun kannst du kannst du im zweiten Schritt die gegebenen Werte auf lineares Wachstum überprüfen, indem du dir mit der ermittelten Funktionsgleichung die Werte für die Seeoberfläche nach 0, 5, 10 und 15 Wochen ausrechnest. Vergleiche einfach mit den gegebenen Werten. Was stellst du fest?

  Lösung

  In einem ersten Schritt muss zunächst die Funktionsgleichung der linearen Funktion herausgefunden weden. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion steht in der Form $f(x)=m \cdot x +b$.

  Dazu sind folgende Schritte nötig:

  1. Es müssen Datenpaare ausgewählt werden. Diese waren in dieser Aufgabe mit $(0|10)$ und $(10|65)$ bereits markiert.

  2. Diese Datenpaare werden in die Grundform der Gleichung als x und $f(x)$ eingesetzt: $(x|f(x))$. Es entstehen die Gleichungen $(I)~10=m \cdot 0+b$ und $(II)~65=m \cdot 10+b$.

  3. Jetzt erfolgt das Umformen und Lösen der Gleichungen: Beginne mit Gleichung $(I)$ und du wirst als Lösung $b=10$ erhalten, da das Produkt aus $m$ und $0$ entfällt. Jetzt kannst du die $10$ für den Parameter b in Gleichung $(II)$ einsetzen. Das Lösen dieser Gleichung ergibt für $m=5,5$.

  4. Die Parameter m und b setzt du in die Grundform der Gleichung ein und schon ist als lineare Funktionsgleichung $f(x)=5,5\cdot x+10$ ermittelt.

  Ob es sich bei den Baggerarbeiten jedoch um einen annähernd linearen Vorgang handelt, muss letztlich erst geprüft werden:

  5. Die in der Aufgabe gegebenen Ausgangswerte für die Zeit in Wochen werden nun in die ermittelte Funktionsgleichung eingesetzt, um die dazu passenden Seeoberflächen zu ermitteln:

  $f(0)=5,5\cdot 0+10=10$

  $f(5)=5,5\cdot 5+10=37,5$

  $f(10)=5,5\cdot 10+10=65$

  $f(15)=5,5\cdot 15+10=92,5$

  6. Daraus ergeben sich neue Datenpaare, die wiederum in Tabellenform dargestellt werden können: $(0|10)$, $(5|37,5)$, $(10|65)$, $(15|92,5)$

  7. Die Tabellen können nun vergleichen werden: Da es lediglich geringe Abweichungen zu den errechneten Werten gibt, ist von einem linearen Wachstum auszugehen.

  Damit entfällt hier die Prüfung auf lineares Wachstum.

• Untersuche, welche Funktionsgleichung die gegebenen Datenpaare am besten beschreibt.

  Tipps

  Die Datenpaare stehen jeweils in der Form $(x|f(x))$. Du musst also mithilfe der Funktionsgleichung, in die du die gegebenen x-Werte einsetzt, Funktionswerte bestimmen, um diese mit den gegebenen Daten vergleichen zu können.

  Der Vergleich der errechneten mit den gegebenen Datenpaaren ist am einfachsten möglich, wenn du die gegebenen Daten geordnet in einer Tabelle erfasst, was du auch mit den errechneten Werten machen solltest. So kannst du die Datenreihen besser vergleichen.

  Lösung

  So berechnest du beispielsweise mit der Gleichung $f(x)=0,6 \cdot x+20$ die y-Werte:

  $f(0)=0,6 \cdot 0+20=20$

  $f(5)=0,6 \cdot 5+20=23$

  $f(10)=0,6 \cdot 10 +20=26$

  $f(15)=0,6 \cdot 10 +20=29$

  Nun kannst du für jede Funktionsgleichung eine Wertetabelle erstellen, die du mit den Ausgangswerten vergleichen kannst.

  Die Abbildung zeigt zwei passende Datenreihen für die gerade erörterte Funktion.

  Die errechneten Werte entsprechen den gegebenen Werten nur ungefähr, denn eine einfache mathematische Modellierung kann nicht jeden Faktor eines natürlichen Prozesses erfassen und ist immer nur eine grobe Abbildung. Abweichungen einer realen Datenreihe von rechnerischen Ergebnissen sind also ganz normal.

• Ergänze die Wertetabelle für ein lineares Wachstum der Bevölkerung der USA.

  Tipps

  Um fehlende Daten in einer Wertetabelle zu ermitteln, brauchst du eine Funktionsgleichung. Diese ist hier bereits gegeben.

  Du hast den x-Wert gegeben und suchst den zugehörigen y-Wert, auch $f(x)$ genannt. Du musst also den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen und kannst dann $f(x)$ ausrechnen.

  Lösung

  Setze erst $x=10$ und dann $x=20$ in die gegebene Funktionsgleichung $f(x)=0,84 \cdot x+31,5$ ein:

  $f(10)=0,84 \cdot 10+31,5=39,9$ $f(20)=0,84 \cdot 20+31,5=48,3$

  Nach 10 Jahren würde die Bevölkerung also bei 39,9 Millionen Einwohnern liegen und nach 20 Jahren sogar schon bei 48,3 Millionen, wenn man von linearem Wachstum ausgeht.

• Entscheide, welche Art des Wachstums vorliegt.

  Tipps

  Dem Sachverhalt kannst du zunächst nicht entnehmen, um welche Art des Wachstums es sich handelt. Du solltest also zwei Funktionsgleichungen entwickeln, eine für lineares Wachstum und eine für exponentielles Wachstum.

  Die Funktionsgleichung für lineares Wachstum lautet allgemein $f(x)=m \cdot x +b$ und für das exponentielle Wachstum benutzt du $f(x)=c \cdot a^{x}$.

  Ermittle zunächst die Parameter m und b bzw. c und a, indem du die Datenpaare in die allgemeine Funktionsgleichungen einsetzt und die so entstandenen Gleichungssysteme löst.

  Wenn du die Funktionsgleichungen ermittelt hast, musst du noch die gegebenen Ausgangszeiten 0, 2, 5 und 14 in beide Funktionsgleichungen einsetzen, um entsprechende Wertetabellen zu erstellen.

  Vergleiche zum Schluss mit der Ausgangstabelle und du kannst sehen, welche Gleichung besser passt.

  Lösung

  Es geht bei dieser Aufgabe also im ersten Schritt um das Ermitteln der Funktionsgleichung aus den Datenpaaren $(0|5)$ und $(14|1465)$.

  Du erhältst die Gleichungen $f(x)=103,9 \cdot x +5$ für lineares Wachstum und $f(x)=5 \cdot 1,5^{x}$ für exponentielles Wachstum, von denen du allerdings immer noch nicht weißt, welche den Wachstumsprozess besser widerspiegelt.

  Deshalb musst du nun mit den Ausgangsdaten, also mit den gegebenen Zeiten in Tagen, mit beiden Gleichungen Wertetabellen erstellen, wie du sie in der Abbildung sehen kannst.

  Jetzt sollte klar sein, welche Wachstumsart vorliegt: Die zweite Tabelle für exponentielles Wachstum kommt auch bei allen Zwischenwerten der Ausgangstabelle näher.

  Es handelt sich also um exponentielles Wachstum, das mit der Gleichung $f(x)=5 \cdot 1,5^{x}$ modelliert werden kann.