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Einsetzungsverfahren – Erklärung

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Martin Wabnik

Einsetzungsverfahren – Erklärung

lernst du in der Unterstufe 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse

Beschreibung Einsetzungsverfahren – Erklärung

Lineare Gleichungssysteme können auf verschiedene Weise gelöst werden. Eines davon ist das Einsetzungsverfahren. Manche Schülerinnenund Schüler haben allerdings manchmal an der einen oder anderen Stelle Probleme dabei, zu verstehen, wie das Einsetzungsverfahren funktioniert. Ich möchte es daher, so anschaulich wie möglich formulieren – das Einsetzungsverfahren zum Anfassen quasi. Es helfen mir dabei eine Wippe und Spielsteine. Ich hoffe, das Video hilft dir und im Anschluss sind alle Fragen geklärt.

Transkript Einsetzungsverfahren – Erklärung

Hallo. In diesem Video siehst du, wie du das Einsetzungsverfahren anschaulich verstehen und anwenden kannst. So ziemlich alles, was in der Mathematik vorkommt, kannst du dir auch anschaulich vorstellen und das gilt auch für das Einsetzungsverfahren, mit dem du lineare Gleichungssysteme lösen kannst. Und um das ganz konkret zu verstehen, kannst du es sogar eigenhändig nachbauen. Hier siehst du wie es geht. Eine Gleichung kannst du dir vorstellen wie eine Wippe. Die kannst du ganz leicht nachbauen. Da brauchst du nur etwas, was abgerundet ist und darauf kannst du was Langes legen und fertig ist die Wippe. Wenn auf beiden Seiten unterschiedlich viel liegt, dann ist die Wippe nicht im Gleichgewicht, aber das kann man hier ausgleichen, wenn auf beiden Seiten gleich viel liegt, dann ist das hier eine richtige Gleichung. Und in der Mitte ist natürlich das Gleichheitszeichen. Das geht auch mit Variablen. Hier ist zum Beispiel ein x und jetzt kann ich auf die andere Seite so viele Steine legen, bis die Wippe im Gleichgewicht ist. Und dann wüssten wir jetzt wie schwer das x ist und was man für x einsetzen muss, damit diese Gleichung hier richtig ist. Nämlich so viele Steine. Wie viele das sind, werde ich jetzt noch nicht verraten, denn wir wollen uns das Ganze ja noch an einem Gleichungssystem ansehen. Ein Gleichungssystem kannst du dir wie zwei Wippen vorstellen. Hier haben wir die Gleichung 2x = y + 20, weil hier 20 Spielsteine liegen. Und hier haben wir die Gleichung y + 4 = x. Weil jetzt in dieser Gleichung auf dieser Seite das x schon alleine steht, bietet sich hier das Einsetzungsverfahren an. Wir können nämlich diese beiden x hier durch das ersetzen, was gleich x ist, nämlich y + 4. Ja, und das werde ich jetzt mal machen. Das sind vier Spielsteine, das ist ein y. Und dieses x wird natürlich auch ersetzt durch y + 4. Und wenn die beiden zusammenrücken, dann ist das auch wieder hier im Gleichgewicht. Jetzt können wir auf beiden Seiten acht Steine wegnehmen, also minus acht rechnen und dann ist die Gleichung wieder richtig. Und wir können auch auf beiden Seiten jeweils ein y wegnehmen. Und jetzt wissen wir, wie schwer y ist, nämlich gleich zwölf. y = 12. Ja, wir hatten ja vorher hier 20 Steine, acht haben wir weggenommen, zwölf sind noch da. Da wir jetzt nun wissen, wie schwer y ist, können wir auch herausfinden, wie schwer x ist, also was man für x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird. Nämlich wir können hier das y durch zwölf Spielsteine ersetzen. Die Gleichung ist richtig. Wir hatten vorher vier Spielsteine da liegen, haben noch zwölf hinzugetan, also ist jetzt x = 16. Ja, und damit ist das Gleichungssystem gelöst. Schauen wir uns nochmal formal an, was wir gerechnet und erreicht haben. Wir hatten ein Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen nämlich 2x = y + 20 und y + 4 = x. Dann haben wir das Einsetzungsverfahren angewandt. Wir haben nämlich für diese beiden x hier jeweils y + 4 eingesetzt, weil ja y + 4 gleich x sein soll. Also hatten wir dann 2y + 8 = y + 20 und die zweite Gleichung blieb wie sie ist, nämlich y + 4 = x. Das ist dann das neue Gleichungssystem. Dann geht es hier oben weiter. Wir haben dann auf beiden Seiten acht subtrahiert, also minus acht gerechnet. Dann stand in der ersten Gleichung noch 2y = y + 12 und in der zweiten Gleichung stand y + 4 = x. Dann haben wir auf beiden Seiten ein y entfernt, also minus y gerechnet. Dann stand in der ersten Gleichung noch y = 12 und in der zweiten y + 4 = x. Dann haben wir in der zweiten Gleichung das y durch 12 ersetzt, weil wir ja jetzt schon wussten, dass y gleich 12 ist. Weil y + 4 = 16 ist, stand dann also in der zweiten Gleichung 16 = x. Und damit war das Gleichungssystem gelöst. Und das ist die Rechnung, die bei dir dann so im Heft stehen sollte. Natürlich ist das jetzt nicht so anschaulich und macht vielleicht auch nicht so viel Spaß als mit Wippen zu arbeiten und mit Knetmasse. Aber wenn man öfter Gleichungssystem löst, ist es sicher einfacher, das so aufzuschreiben als jeweils Wippen und Knetmasse und sonst was zu basteln. Viel Spaß damit. Tschüss.

15 Kommentare

15 Kommentare
  1. Hallo!
    ich habe heute eine Klassenarbeit zum Thema "Lineare Gleichungen" (9.Klasse, sekundar Schule) geschrieben. Darauf habe ich mich mit sofatutor vorbereitet. Leider waren viele Aufgaben für mich trotzdem sehr schwierig. Ich glaube, dass auf sofatutor zu wenig Übungen zu diesem Thema gibt und es fehlen Sachaufgaben, bei denen man die Gleichungen selbst aufstellen muss.

    Von Irina Bilchuk, vor 3 Monaten
  2. sehr gut ...wie immer. ausserdem sehr professionel

    Von sea shepherd p., vor 10 Monaten
  3. Hallo Bennistork,
    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa einem Jahr
  4. Nicht gut erklärt

    Von Bennistork, vor etwa einem Jahr
  5. Gutes Video

    Von Ricky1012, vor mehr als einem Jahr
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Einsetzungsverfahren – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Einsetzungsverfahren – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den Wert, der die Wippe ins Gleichgewicht bringt.

    Tipps

    Auf beiden Seiten der Wippe müssen insgesamt gleich große Gewichtseinheiten stehen.

    Übertrage das Wippenmodell in Gleichungen, falls dir das Einsetzungsverfahren schriftlich leichter fällt.

    Lösung

    Auf der ersten Wippe stellen wir fest, dass $y=12$ sein muss, da die Wippe im Gleichgewicht ist.

    Um die zweite Wippe ins Gleichgewicht zu bringen, muss rechts genau so viel stehen wie links. Durch das Einsetzen von $y=12$ wissen wir, dass links insgesamt $12+4=16$ stehen, also muss rechts ebenfalls $x=16$ platziert werden.

  • Beschreibe, wie das Einsetzungsverfahren durchgeführt wird.

    Tipps

    Führe das Einsetzungsverfahren an einem Beispiel durch und notiere die nötigen Schritte.

    Lösung

    Neben dem Gleichsetzungs- und Additionsverfahren kann man die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem hier thematisierten Einsetzungsverfahren bestimmen.

    Gegeben ist also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Vorgehensweise beim Einsetzungsverfahren ist im Allgemeinen so, dass wir eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auflösen und, wie der Name schon sagt, in die andere Gleichung einsetzen. Somit erhalten wir eine Gleichung mit nur einer Variablen und können diese durch Äquivalenzumformungen berechnen.

    Die zweite Variable erhalten wir, indem wir die berechnete Variable in eine beliebige Ursprungsgleichung einsetzen und dann nach der zweiten Variable auflösen.

  • Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.

    Tipps

    Mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens erhalten wir eine Gleichung mit nur einer statt zwei Variablen.

    Sobald wir eine Variable berechnet haben, können wir die zweite berechnen. Dazu wird die errechnete Variable in eine andere Gleichung eingesetzt.

    Lösung

    Betrachte das gegebene lineare Gleichungssystem (LGS) und entscheide dich für eine Gleichung, welche man am einfachsten nach einer Variablen auflösen kann. In dieser Aufgabe ist die erste Gleichung und die Umformung nach $x$ am einfachsten, da alle Zahlen durch $2$ teilbar sind.

    Wie der Name des Verfahrens schon suggeriert, setzen wir den Term für $x$ in die zweite Gleichung ein und erhalten somit eine Gleichung mit nur einer Variablen $y$.

    Nachdem wir $y$ berechnet haben, können wir die zweite Variable $x$ durch das Einsetzen der berechneten Variable $y$ in eine Gleichung, die beide Variablen enthält, berechnen. Somit erhalten wir die Lösungen für beide Variablen.

  • Berechne $x$ und $y$ des linearen Gleichungssystems unter Anwendung des Einsetzungsverfahrens.

    Tipps

    Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze diese in die andere Gleichung ein.

    Wie bestimmt man die zweite Variable, wenn man eine bereits berechnet hat?

    Lösung

    Wir formen die erste Gleichung nach $x$ um:

    $ \begin{align*} ~~~~~~~~~~~~2x+2y &= 80 &|&-2y~| :2\\ 2x -3y &= 25 \\ \\ x &= 40-y \\ 2x -3y &= 25 \end{align*}$

    Danach setzen wir den Term in die zweite Gleichung ein, um somit $y$ zu berechnen:

    $ \begin{align*} x &= 40-y \\ 2(40-y) -3y &= 25 \\ \\ x &= 40-y \\ 80-2y -3y &= 25 \\ \\ x &= 40-y \\ 80-5y &= 25 &|& -80~|:(-5) \\ \\ x &= 40-y \\ y &= 11 \end{align*}$

    Anschließend erhalten wir $x$ durch das Einsetzen vom $y$-Wert in z.B. die erste Gleichung:

    $\begin{align*} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x &= 40-11=29 \\ y &= 11 \\ \end{align*} $

  • Gib an, wie die Gleichungen zu den entsprechenden Wippen lauten.

    Tipps

    Vergleiche die Koeffizienten miteinander.

    Die Farben helfen dir bei der Orientierung.

    Lösung

    Durch den Vergleich der Koeffizienten, also der Faktoren vor den Variablen, kann man schnell die passenden Paare finden. Stellen wir uns einfach vor, dass in der Mitte der Wippe jeweils ein Gleichheitszeichen steht. Die zugehörige Gleichung sieht dann genau so aus.

  • Bestimme die Lösung der Textaufgabe mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens.

    Tipps

    Lege als Erstes die Variablen fest. Beispielsweise kannst du $x$ für die Anzahl der Fahrräder und $y$ für die Anzahl der Autos nehmen.

    Stelle zwei Gleichungen zu dem Sachverhalt auf, indem du die gegebenen Werte sinnvoll verwendest.

    Wie viele Räder hat ein Auto und wie viele Räder hat ein Fahrrad?

    Lösung

    Als Erstes legen wir die Variablen fest: $x$ für die Anzahl der Fahrräder und $y$ für die Anzahl der Autos.

    Nun stellen wir zwei Gleichungen auf: eine für die Anzahl aller Fahrzeuge und eine für die Anzahl aller Räder, wobei Autos $4$ und Fahrräder stets $2$ Räder besitzen.

    $ \begin{align*} ~~~~~~~~~~~~~x+y&= 8 \\ ~~~~~~~~~~ 2x + 4y &= 30 \end{align*} $

    Nun formen wir die erste Gleichung nach $x$ um:

    $ \begin{align*} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x&= 8-y \\ ~~~~~~~~~~2x + 4y &= 30 \end{align*} $

    Danach setzen wir den Term in die zweite Gleichung ein, um $y$ zu berechnen:

    $ \begin{align*} x&= 8-y \\ 2(8-y) + 4y &= 30\\ \\ x&= 8-y \\ 16-2y + 4y &= 30\\ \\ x&= 8-y \\ y &= 7 \\ \\ x&= 8-7=1 \\ y &= 7 \end{align*} $

    Es stehen demnach $7$ Autos und $1$ Fahrrad vor dem Supermarkt.

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