Dritte binomische Formel – anschauliche Erklärung

Dritte binomische Formel – anschauliche Erklärung Übung

• Bestimme den Flächeninhalt des jeweiligen Rechtecks oder Quadrates.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Quadrates mit den Seitenlängen $q$ ist gegeben durch $q^2$.

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $p$ und $q$ ist gegeben durch $p\cdot q$.

  Lösung

  Das obere blaue Quadrat hat die Seitenlänge $a$, somit ist der Flächeninhalt $a^2$.

  Ebenso ist der Flächeninhalt des roten Quadrates mit den Seitenlängen $b$ gegeben durch $b^2$.

  Wenn man das rote Quadrat aus dem blauen ausschneidet, erhält man einen restlichen Flächeninhalt $a^2-b^2$.

  Dies ist die rechte Seite der binomischen Formel.

  Im unteren Bild

  • hat das blaue Rechteck die Seitenlängen $a$ und $a-b$, somit ist der Flächeninhalt $a\cdot (a-b)$ und
  • das grüne Rechteck hat die Seitenlängen $b$ und $a-b$. Der Flächeninhalt ist also $b\cdot (a-b)$.

  Durch Addition der beiden Rechteckflächen erhält man $a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=(a+b)\cdot (a-b)$.

  Dies ist die linke Seite der 3. binomischen Formel.

• Gib den anschaulichen Nachweis der 3. binomischen Formel wieder.

  Tipps

  Die 3. binomische Formel kannst du oben sehen.

  Orientiere dich an dieser Formel.

  Sie wird von rechts nach links nachgewiesen.

  Die Differenz zweier Flächen kannst du dir anschaulich so vorstellen, dass aus einer größeren Fläche eine kleinere ausgeschnitten wird.

  Lösung

  Beginnend mit dem großen blauen Quadrat mit den Seitenlängen $a$ und dem Flächeninhalt $a^2$ wird zunächst das rote Quadrat mit den Seitenlängen $b$ und dem Flächeninhalt $b^2$ ausgeschnitten.

  Übrig bleibt eine Fläche wie in dem Bild zu sehen ist, mit dem Flächeninhalt $a^2-b^2$.

  Dies ist bereits die rechte Seite der 3. binomischen Formel.

  Nun muss noch gezeigt werden, dass diese Fläche so groß ist wie die eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a+b$ und $a-b$.

  Hierfür wird das untere Rechteck, erkennbar an der gestrichelten Linie, ausgeschnitten und als grünes Rechteck wieder angepasst.

  Das linke blaue Rechteck hat den Flächeninhalt $a\cdot (a-b)$ und das rechte grüne $b\cdot (a-b)$. Wenn man diese beiden Flächenstücke addiert, hat man den gleichen Flächeninhalt, welcher in dem Bild zu sehen ist.

  Der Flächeninhalt der gesamten Fläche ist

  $a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=(a+b)\cdot (a-b)$,

  und damit die linke Seite der 3. binomischen Formel.

  Insgesamt ist also gezeigt worden, dass

  $a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$.

  Dies ist die Aussage der 3. binomischen Formel.

• Berechne $99^2-1$ mithilfe der 3. binomischen Formel.

  Tipps

  Die 3. binomische Formel kann man daran erkennen, dass auf der einen Seite die Differenz zweier Quadrate steht.

  Es ist $1=1^2$.

  Bei der Multiplikation mit einer Zehnerpotenz kannst du so viele Nullen an den Faktor anhängen, wie in der Zehnerpotenz im Exponenten steht.

  Lösung

  Ohne die 3. binomische Formel und ohne Taschenrechner wäre man mit der Berechnung von

  $99^2-1$

  recht lange beschäftigt. Wenn man erkennt, dass hier die rechte Seite der binomischen Formel steht, da $1=1^2$ ist, kann man wie folgt umformen:

  $\begin{align*} 99^2-1&=99^2-1^2\\ &=(99+1)\cdot(99-1)\\ &=100\cdot 98\\ &= 9800 \end{align*}$

  Es gilt also $99^2-1=9800$.

• Ordne die Terme einander mithilfe der 3. binomischen Formel zu.

  Tipps

  Die 3. binomische Formel lautet $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$.

  Sie ist daran zu erkennen, dass

  • auf der linken Seite das Produkt der Summe zweier Zahlen oder Variablen mit der Differenz dieser Zahlen oder Variablen und
  • auf der rechten Seite die Differenz zweier Quadrate steht.

  Die 3. binomische Formel wird häufig zum Vereinfachen von Termen verwendet. Deswegen ist es gut, wenn du sie dir gut einprägst und übst.

  Du kannst jeweils auch rückwärts ausmultiplizieren:

  $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$.

  Lösung

  Die 3. binomische Formel wird in dieser Aufgabe von rechts nach links angewendet:

  $a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$.

  1. $16-4x^2=(4+2x)\cdot(4-2x)$, da $a=4$ und $b=2x$ ist.
  2. $100x^2-81=(10x+9)\cdot(10x-9)$, da $a=10x$ und $b=9$ ist.
  3. $36-9x^2=(6+3x)\cdot (6-3x)$, da $a=6$ und $b=3x$ ist.
  4. $x^2-64=(x+8)\cdot(x-8)$, da $a=x$ und $b=8$ ist.

• Gib die 3. binomische Formel an.

  Tipps

  Du kannst den jeweiligen Term ausmultiplizieren.

  Hier sind auch die 1. und 2. binomische Formel versteckt.

  Die 3. binomische Formal kann man daran erkennen, dass auf einer Seite die Differenz zweier Quadrate steht.

  Lösung

  Es gibt drei binomische Formeln, welche hier der Vollständigkeit halber alle genannt werden:

  1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  3. $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

• Bestimme die Größe $x$.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $p$ und $q$ beträgt $p\cdot q$.

  Wie lang sind die Seiten des so entstandenen Rechtecks?

  Die verkürzte Seite ist $a-x$ lang.

  Lösung

  Die Seitenlängen des Rechtecks sind

  • $a+x$ sowie
  • $a-x$.

  Damit kann der Flächeninhalt des Rechtecks berechnet werden. Dieser ist $(a+x)\cdot (a-x)=a^2-x^2$.

  Nun soll dieser Flächeninhalt um $25~cm^2$ geringer sein als der des Quadrates, welcher $a^2$ beträgt. Daraus folgt

  $a^2-x^2=a^2-25$.

  Durch Subtraktion von $a^2$ auf beiden Seiten erhält man

  $-x^2=-25$, was äquivalent ist zu $x^2=25$.

  Die Quadratwurzel auf beiden Seiten liefert das positive Ergebnis

  $x=5~ cm$.