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Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional?

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Team Digital
Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional?
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional?

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Textaufgaben zu proportionalen oder antiproportionalen Zuordnungen mit dem Dreisatz zu lösen.

Dreisatz bei Textaufgaben.jpg

Zunächst lernst du, wie du herausfindest, ob es sich bei einer Zuordnung um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt. Anschließend lernst du, wie du so Textaufgaben mit dem Dreisatz lösen kannst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie proportionale und antiproportionale Zuordnung sowie Dreisatz.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man den Dreisatz anwendet.

Transkript Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional?

War das wieder ein stressiger Tag heute. Stundenlang Mathe gelernt, man kennt es. Da muss man sich auch mal was gönnen! Zeit für ein erholsames Bad! Das Wasser läuft aber echt langsam ein. Wie lange das wohl noch dauert? Das können wir jetzt auch noch berechnen. Dabei hilft uns der „Dreisatz bei Textaufgaben“! Textaufgaben! Von vielen ist das nicht gerade die Lieblingsdisziplin. Doch wenn es bei Textaufgaben um den Dreisatz geht, gibt es eigentlich nur zwei Fälle, zwischen denen wir unterscheiden müssen. Entweder wir haben es mit einer proportionalen oder mit einer antiproportionalen Zuordnung zu tun. Wenn wir das einmal herausgefunden haben, ist die anschließende Dreisatzrechnung gar nicht mehr so schwierig. Also eine kurze Wiederholung: Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr, desto mehr. Das heißt: Wenn wir von dem einen mehr haben, wird sich auch die Menge des anderen vergrößern. Haben wir hingegen weniger von dem einen, dann haben wir auch weniger von dem anderen. Bei antiproportionalen Zuordnungen ist es genau umgekehrt. Hier merken wir uns: Je mehr von dem einen, desto weniger von dem anderen. Oder: je weniger von dem einen, desto mehr von dem anderen. Dazu sollten wir uns jeweils ein Beispiel anschauen: Wir lassen Wasser in die Badewanne ein. Nach drei Minuten sind vierundzwanzig Liter Wasser in die Wanne geflossen. Wie viele Liter sind es nach fünf Minuten? Zuerst müssen wir entscheiden, ob es sich um eine proportionale oder um eine antiproportionale Zuordnung handelt. Während mehr Zeit vergeht, steigt die Menge an Wasser in der Badewanne. Also gilt hier „je mehr Zeit, desto mehr Wasser“ und die Zuordnung ist proportional. Jetzt müssen wir nur noch die gegebenen Werte nutzen, um dann den Dreisatz anzuwenden. Nach drei Minuten sind vierundzwanzig Liter in der Wanne. Wir möchten wissen wie viele Liter nach fünf Minuten in der Wanne sind. Wir berechnen zuerst, wie viele Liter nach einer Minute in der Wanne sind, teilen also auf beiden Seiten durch drei. Und rechnen dann ganz einfach auf fünf hoch, indem wir auf beiden Seiten mit fünf multiplizieren. Schon können wir einen Antwortsatz formulieren. Nach fünf Minuten sind vierzig Liter in der Badewanne. Und dabei kommt das Wasser schon aus zwei verschiedenen Hähnen. Das dauert uns zu lange und führt uns zur nächsten Textaufgabe! Mit zwei Wasserhähnen füllt sich die Badewanne innerhalb von fünfzehn Minuten. Wie schnell füllt sie sich mit drei Wasserhähnen? Hier wird die Anzahl an Wasserhähnen der damit benötigten Zeit zum Füllen der Wanne zugeordnet. Je mehr Wasserhähne am Werk sind, desto weniger Zeit wird benötigt, bis die Wanne voll ist. Wir haben es also eindeutig mit einer antiproportionalen Zuordnung zu tun. Wir übernehmen die gegebenen Werte und wenden den Dreisatz an. Immer daran denken: Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen auf der einen Seite dividieren, müssen wir auf der anderen Seite multiplizieren. Und andersherum. Drei Wasserhähne würden unsere Badewanne also schon in zehn Minuten füllen. Wir haben aber nur zwei und müssen uns noch etwas gedulden. Dann können wir uns ja auch noch ein paar weitere Textaufgaben anschauen: Sechs Personen haben als Tippgemeinschaft im Lotto gewonnen. Jeder Gewinner erhält fünfzehntausend Euro. Wie hoch wäre der Gewinn pro Person, wenn die Tippgemeinschaft aus fünf Personen bestanden hätte? Proportional oder antiproportional – was meinst du? Die Größen, die einander zugeordnet werden, sind „Anzahl der Personen in der Tippgemeinschaft“ einerseits und „Gewinn pro Person“ andererseits. Wenn jetzt auf weniger Personen die gleiche Menge an Geld aufgeteilt wird, erhält jede einzelne Person mehr Geld. Die zugrundeliegende Zuordnung ist also antiproportional und wir können den Dreisatz anwenden. Wir übertragen die gegeben Werte, rechnen auf einen Hilfswert herunter und berechnen anschließend den gesuchten Wert. Bei fünf Personen in der Tippgemeinschaft, wäre ein Gewinn von achtzehntausend Euro pro Kopf ausgezahlt worden. Eine Aufgabe noch, Übung macht den Meister! Ein Tourist tauscht für seinen Urlaub Euro in Dollar um. Für einhundertfünfzig Euro erhält er einhundertachtzig Dollar. Wie viele Dollar erhält er für vierhundert Euro? Zunächst stellen wir uns die gleiche Frage wie immer: Handelt es sich um eine proportionale oder um eine antiproportionale Zuordnung? Je mehr Euro umgetauscht werden, desto mehr Dollar werden ausgezahlt. Eindeutig proportional! Der Rest ist schnell berechnet, nachdem wir die gegebenen Werte übernommen haben. Als Hilfswert bietet sich hier die fünfzig an. Dann müssen wir nur noch hochrechnen, und erhalten vierhundertachtzig Dollar als Ergebnis. Genug gerechnet! Zeit für eine Zusammenfassung. Wenn wir Textaufgaben zum Dreisatz berechnen möchten, muss die erste Frage immer lauten: Handelt es sich um eine proportionale oder um eine antiproportionale Zuordnung? Bei dieser Unterscheidung helfen uns die Merksätze „je mehr, desto mehr“ und „je weniger, desto weniger“ bei proportionalen, und „je mehr, desto weniger“ beziehungsweise „je weniger, desto mehr“ bei antiproportionalen Zuordnungen. Haben wir erkannt, um welche Art von Zuordnung es sich handelt, müssen wir nur noch die in der Aufgabenstellung angegebenen Werte übernehmen, und dann den entsprechenden Dreisatz anwenden. Das ist mit etwas Übung dann kein Problem mehr. Denkt an den Antwortsatz! Damit macht ihr eure Lehrkraft glücklich und tut euch auch selbst einen Gefallen. Und was hatten wir jetzt nochmal vor? Oh nein, die Badewanne! Uppsi.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Das Ende : upsi O: )

    Von LA, vor etwa 2 Monaten
  2. das Ende :O :)

    Von xl_-Pain, vor 3 Monaten
  3. Super

    Von Annabeth Chase, vor 3 Monaten
  4. ja stimmt

    Von Sara , vor 4 Monaten
  5. Wirklich tolles Video

    Von Jette, vor 6 Monaten

Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional? kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Dreisatz für die Zuordnung an.

    Tipps

    Entscheide zunächst, ob es sich um eine proportionale oder um eine antiproportionale Zuordnung handelt.

    Für einen größeren Betrag in Euro erhält Martin auch einen größeren Betrag in Dollar.

    Lösung

    Beim Geldtausch handelt es sich um eine proportionale Zuordnung:
    Je mehr Euro Martin tauscht, desto mehr Dollar bekommt er dafür.

    Aus der Fragestellung wissen wir, dass er für $150$ Euro genau $180$ Dollar erhält.
    Für den Zwischenschritt rechnen wir auf der linken Seite $: 3$ und kommen damit auf $150 : 3 = 50$.
    Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, müssen wir auch rechts $: 3$ rechnen und erhalten: $180 : 3 = 60$.
    Um nun von $50$ auf den gesuchten Wert $400$ zu kommen, müssen wir $\cdot 8$ rechnen.
    Ebenfalls $\cdot 8$ gerechnet, erhalten wir auf der rechten Seite $60 \cdot 8 = 480$.

    Antwort:
    Martin erhält für $400$ Euro genau $480$ Dollar.

  • Vervollständige den Text zu antiproportionalen Zuordnungen.

    Tipps

    Bei antiproportionalen Zuordnungen muss auf die zweite Größe stets die Umkehroperation angewandt werden.

    Rechnen wir zum Beispiel eine Größe $\cdot$ $3$, so müssen wir die andere Größe $:3$ rechnen.

    Je mehr Personen sich einen Kuchen teilen, desto kleiner werden die Stücke.

    Es besteht ein antiproportionaler Zusammenhang zwischen der Anzahl der Personen und der Größe der Kuchenstücke.

    Lösung

    Wir erkennen eine antiproportionale Zuordnung an der Form:

    • je mehr, desto weniger
    • je weniger, desto mehr
    Wenn ein Lottogewinn zwischen mehreren Personen aufgeteilt wird, dann liegt zwischen der Anzahl der Personen und der Gewinnsumme pro Person eine antiproportionale Zuordnung vor, weil der Gewinn pro Person geringer ist, wenn mehr Personen am Gewinn beteiligt sind.

    Wenn zum Beispiel $6$ Personen jeweils einen Gewinn von $15\,000\,€$ erhalten, dann würde der Gewinn für eine Person alleine $6 \cdot 15\,000\,€ = 90\,000\,€$ betragen. Wird der Gewinn zwischen $5$ Personen aufgeteilt, so erhält jeder $90\,000\,€ : 5 = 18\,000\,€$.
    Die Rechenoperationen sind dabei immer genau entgegengesetzt. Wenn wir die Anzahl der Personen durch $6$ dividieren, dann müssen wir den Gewinn mit $6$ multiplizieren. Umgekehrt erhalten wir den Gewinn, indem wir durch $5$ dividieren, wenn wir die Personenzahl mit $5$ multiplizieren.

  • Entscheide, ob es sich um proportionale Zuordnungen handelt.

    Tipps

    Bei einer proportionalen Zuordnung nehmen beide Größen gleichermaßen zu oder ab.

    Beispiel proportionale Zuordnung:

    Wenn nach $3$ Minuten $24$ Liter Wasser in ein Becken gelaufen sind, dann sind nach $6$ Minuten $48$ Liter Wasser im Becken. Nach der doppelten Zeit hat sich auch die Wassermenge verdoppelt.

    Lösung

    Wir erkennen eine proportionale Zuordnung daran, dass beide Größen gleichermaßen zu- oder abnehmen. Es besteht ein Zusammenhang der Form:

    • je mehr, desto mehr oder
    • je weniger, desto weniger
    Die beschriebenen Zuordnungen können wir folgendermaßen zuordnen:

    proportional

    • Anzahl der Wassereimer $\rightarrow$ Wassermenge in Litern – je mehr Eimer, desto mehr Wasser
    • Preis pro Liter Wasser $\rightarrow$ Kosten für das Befüllen eines Beckens – je mehr ein Liter kostet, desto mehr kostet das Befüllen insgesamt
    antiproportional

    • Volumen eines Eimers $\rightarrow$ Anzahl der benötigten Eimer, um ein Becken zu füllen – je mehr in einen Eimer passt, desto weniger Eimer werden benötigt, um ein Becken zu füllen
    • Anzahl der Pumpen $\rightarrow$ Zeit bis zum vollständigen Befüllen des Beckens – je weniger Pumpen eingesetzt werden, desto länger dauert das Befüllen
    Die Zuordnung Farbe eines Wassereimers $\rightarrow$ Wassermenge in Liter ist weder proportional noch antiproportional, da kein mathematischer Zusammenhang zwischen Farbe und Wassermenge besteht.

  • Ermittle, wie lange das Futter insgesamt reichen wird.

    Tipps

    In der ersten Woche wird das Futter nur für die Pferde aus dem Stall benötigt. Das verbleibende Futter muss dann auf alle Pferde aufgeteilt werden.

    Je weniger Pferde satt werden müssen, desto länger reicht das Futter.

    Lösung

    Zwischen der Anzahl der zu versorgenden Pferde und der Zeit, für die das Futter reicht, besteht eine antiproportionale Zuordnung, da mehr Pferde mehr Futter benötigen und die gleiche Futtermenge somit für einen kürzeren Zeitraum ausreicht.

    In der ersten Woche wird nur Futter für die $5$ Pferde im Stall benötigt. Die verbleibende Futtermenge würde für diese $5$ Pferde noch weitere $2$ Wochen oder $14$ Tage ausreichen. Ein einzelnes Pferd könnte man mit dem Futter für $14 \cdot 5 = 70$ Tage versorgen.
    Mit dem unerwarteten Besuch müssen von nun an $5 + 5 = 10$ Pferde versorgt werden. Das Futter wird für sie weitere $70 : 10 = 7$ Tage reichen.

    Damit reicht der Heuvorrat insgesamt $2$ Wochen – eine Woche für $5$ Pferde und eine weitere Woche für $10$ Pferde.

  • Nenne Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen.

    Tipps

    Überprüfe, wie sich die zweite Größe verändert, wenn die erste zunimmt.

    Beispiele für Zuordnungen:

    proportional

    • Je mehr Mäuse du hast, desto mehr Käse fressen sie.
    antiproportional
    • Je weniger Schüler helfen, desto länger dauert es, um den Schulgarten umzugraben.

    Lösung

    Um zwischen proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen zu unterscheiden, betrachten wir, wie sich die zweite Größe verändert, wenn wir die erste Größe verändern.

    Eine Zuordnung ist

    • proportional bei je mehr, desto mehr und je weniger, desto weniger
    • antiproportional bei je mehr, desto weniger und je weniger, desto mehr
    Eine Zuordnung kann daher nicht gleichzeitig proportional und antiproportional sein.

    Beispiele:

    • Mit zunehmender Einlaufzeit steigt auch das Wasservolumen in einer Badewanne.
    je mehr, desto mehr $\rightarrow$ proportional
    • Mit einer zunehmenden Anzahl von Wasserhähnen verringert sich die Zeit, bis die Wanne gefüllt ist.
    je mehr, desto weniger $\rightarrow$ antiproportional
  • Bestimme die Lösungen mit dem Dreisatz.

    Tipps

    Überlege zunächst, welche Art der Zuordnung vorliegt.

    Bei einer proportionalen Zuordnung müssen wir immer auf beiden Seiten mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl dividieren.

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung verwenden wir auf den beiden Seiten stets die Umkehroperation.

    Wandle wenn nötig die Einheiten um, z. B. Stunden in Minuten.

    Lösung

    • Für mehr Muffins wird mehr Schokolade benötigt, es handelt sich hierbei um eine proportionale Zuordnung.
    Wenn für $10$ Muffins $200~\text{g}$ Schokolade benötigt werden, dann brauchen wir für die Hälfte, also $5$ Muffins, auch nur halb so viel Schokolade. Wir rechnen: $200~\text{g} : 2 = 100~\text{g}$.
    Für die beiden Klassen sollen insgesamt $25 + 20 = 45$ Muffins gebacken werden, das ist das $9$-fache von $5$ Stück. Daher benötigen wir $9 \cdot 100~\text{g} = \mathbf{900~g}$ Schokolade.

    $\begin{array}{c|c} \text{Muffins} & \text{Schokolade} \\ \hline 10 & 200~\text{g} \\ 5 & 100~\text{g} \\ 45 & 900~\text{g} \end{array}$

    • Je mehr Lehrer beim Aufräumen der Küche helfen, desto weniger Zeit wird es in Anspruch nehmen. Die Zuordnung ist antiproportional.
    Wenn $2$ Lehrer $3~\text{h} = 3 \cdot 60~\text{min} = 180~\text{min}$ brauchen, um die Küche aufzuräumen, dann würde ein Lehrer doppelt so lange, das heißt $360~\text{min}$, benötigen. Mit vereinten Kräften brauchen alle $5$ Lehrer zusammen nur ein Fünftel der Zeit. Wir rechnen: $360~\text{min} : 5 = 72~\text{min}$. Das sind $\mathbf{1}$ Stunde und $\mathbf{12}$ Minuten.

    $\begin{array}{c|c} \text{Lehrer} & \text{Zeit} \\ \hline 2 & 180~\text{min} \\ 1 & 360~\text{min} \\ 5 & 72~\text{min} \end{array}$

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