Die Entwicklung des Dezimalsystems

Die Entwicklung des Dezimalsystems Übung

• Gib die Probleme der Zahlensysteme wieder.

  Tipps

  Überprüfe, wie groß die Zahlen in den Zahlensystemen werden können.

  Versuche die Zahl $45\,238$ mit den verschiedenen Zahlensystemen darzustellen.

  Die Zahl die $45\,238$ wird im ägyptischen Zahlsystem so dargestellt:

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um die Probleme, die zur Entwicklung des Dezimalsystems führten.

  Im Zahlensystem der Mayas wurde mit Fingern und Zehen gezählt. Hierbei konnten die Menschen sicher bis Zwanzig zählen.

  Um höhere Zahlen zählen zu können, nutze das babylonische Zahlensystem die Glieder der Finger. Hierdurch konnte an einer Hand bis $12$ gezählt werden. Mit der zweiten Hand addierten die Menschen hinzu, wie oft sie die $12$ Glieder schon gezählt hatten. Sie kamen auf diese Weise sicher bis Sechzig:

  $12+12+12+12+12= 5 \cdot12= 60$

  Im ägyptischen Zahlensystem wurden Ziffern (Zahlzeichen) genutzt, um einfach und effektiv große Zahlen darzustellen. Hierbei verwendeten die Menschen für die $1$ bis $9$ Striche und für die Zehnerpotenzen $10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000 $ sowie $1\,000\,000$ jeweils ein eigenes Zeichen. Da die verschiedenen Zeichen bis zur Verwendung des nächstgrößeren Zeichens sehr häufig hintereinander geschrieben wurden, entstanden sehr lange Zahlbezeichnungen.

  Um die Zahlbezeichnungen zu verkürzen, wurde im indischen Zahlensystem der $1$ bis $9$ einzelne Ziffern zugeordnet. Beim Darstellen der $10$, rückte die Ziffer der $1$ eine Stelle weiter nach links. Jede Stelle stand auch in diesem System für eine Zehnerpotenz (ein Vielfaches von $10$). Allerdings gab es anfangs kein Zeichen, das eingesetzt wurde, wenn eine Stelle leer bleibt. Die dadurch entstehenden leeren Stellen in Zahlen machten es schwierig bestimmte Zahlen zu unterscheiden.

  Erst durch die Einführung der $0$ konnten Zahlen wie $304$ zum Beispiel eindeutig von der $34$ unterschieden werden.

• Bestimme die Dezimalsysteme (Zehnersysteme).

  Tipps

  In Dezimalsystemen werden für die Zehnerpotenzen $10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000 $ und $1\,000\,000$ andere Zahlzeichen oder eine Zusammensetzung der Ziffern $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ genutzt.

  Beim Aufschreiben von Zahlen wird in Dezimalsystemen bis $9$ gezählt.

  Überprüfe, ob du Ziffern für $ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 $ auf den Bildern sehen kannst.

  Achte darauf, ob die $10$ eine besondere Zahl in dem Zahlensystem ist und nicht darüber hinaus gezählt wird.

  Lösung

  Diese Aufgabe beschäftigt sich mit dem Erkennen von Dezimalsystemen.

  Der Name Dezimalsystem oder auch Zehnersystem geht auf das lateinische Wort „decem“ für „zehn“ zurück. Zehnersysteme nutzen die $10$ als besondere Zahl (Basis). Für die Zehnerpotenzen $10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000 $ und $1\,000\,000$ werden bestimmte Zahlzeichen oder eine Zusammensetzung der Ziffern $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ genutzt.

  Computer funktionieren mit dem Dualsystem. Da hierfür nur die Ziffern $0$ und $1$ genutzt werden, ist es kein Dezimalsystem.

  Das ägyptische Zahlensystem nutzte für die Ziffern $1$ bis $9$ Striche und für die Zehnerpotenzen $10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000 $ sowie $1\,000\,000$ jeweils ein eigenes Zeichen. Es war ein Dezimalsystem.

  Das babylonische Zahlensystem verwendete die Glieder der Finger. Hierdurch konnten die Menschen an einer Hand bis $12$ zählen. Mit der zweiten Hand addierten sie hinzu, wie oft sie die $12$ Glieder schon gezählt hatten. Sie kamen auf diese Weise sicher bis $60$. Ihr Zahlensystem hat deshalb die Basis $60$ und heißt Sexagesimalsystem. Es ist kein Dezimalsystem.

  Im indischen Zahlensystem wurden für die $1$ bis $9$ einzelne Ziffern festgelegt. Beim Darstellen der $10$ rückte die Ziffer der $1$ eine Stelle weiter nach links. (Es wurde ein Stellenwertsystem genutzt.) Jede Stelle stand in diesem System für eine Zehnerpotenz (ein Vielfaches von $10$). Es ist ein Dezimalsystem.

  Im Zahlensystem der Mayas wurde mit Fingern und Zehen gezählt. Hierbei konnten die Menschen sicher bis $20$ zählen. Ihr Zahlensystem hat deshalb die Basis $20$ und heißt Vigesimalsystem. Es ist kein Dezimalsystem.

  Die arabischen Ziffern verwenden wir. Durch eine Zusammensetzung der Ziffern $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ und die Nutzung des Stellenwertsystems können wir alle möglichen Zahlen darstellen. Wir nutzen ein Dezimalsystem.

• Zeige die Stellenwerte in den verschiedenen Dezimalsystemen.

  Tipps

  Überlege, welche Ziffer im römischen Zahlensystem nicht dargestellt wird.

  Bei der Zuordnung der einzelnen Stellenwerte zu den Zeichen kannst du dich an der Tabelle orientieren:

  $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \color{#F3DB00}{\text{Tausender}} & \color{#FF66FF}{\text{Hunderter}} & \color{#66D8FF}{\text{Zehner}} & \color{#99FF32}{\text{Einer}} \\ \hline1\,000 & 100 & 10 & 1 \\ \hline M & C & X & I \\ \hline\end{array}$

  Lösung

  Diese Aufgabe vergleicht zwei Dezimalsysteme. Während das römische Dezimalsystem alle notwendigen Zeichen aneinanderreiht, nutzen wir ein Stellenwertsystem, in welches die Ziffern eingeordnet werden.

  Hierdurch wird zum einen die Verwendung der $0$ nötig. Zum anderen wird die Zahlbezeichnung besonders kurz.

  In den Aufgaben sind die $\color{#F3DB00}{\text{Tausender}}$, $\color{#FF66FF}{\text{Hunderter}}$, $\color{#66D8FF}{\text{Zehner}}$ und $\color{#99FF32}{\text{Einer}}$ folgendermaßen zu markieren:

  1) $ 4\color{#F3DB00}{5} \, \color{#FF66FF}{2} \color{#66D8FF}{3} \color{#99FF32} {8}$

  2) $\color{#F3DB00}{\text{MM}} \color{#FF66FF}{\text{CCC}} \color{#66D8FF}{\text{XXXXX}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{2} \, \color{#FF66FF}{3} \color{#66D8FF}{5} \color{#99FF32} {0}$

  3) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMM}} \color{#66D8FF}{\text{XX}}~\color{black}{=}~ \color{#F3DB00}{5} \,\color{#FF66FF}{0} \color{#66D8FF}{ 2} \color{#99FF32}{0}$

  4) $\color{#F3DB00}{\text{MMMM}} \color{#FF66FF}{\text{CD}} \color{#99FF32}{\text{II}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{ 4} \,\color{#FF66FF}{ 4} \color{#66D8FF}{ 0} \color{#99FF32}{2}$

  5) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMMMMM}} \color{#66D8FF}{\text{XXXX}} \color{#99FF32}{\text{III}} ~\color{black}{=}~ \color{#F3DB00}{ 8} \, \color{#FF66FF}{ 0} \color{#66D8FF}{ 4} \color{#99FF32}{ 3}$

  6) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMMM}} \color{#FF66FF}{\text{CM}} \color{#66D8FF}{\text{XXXX}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{ 6} \,\color{#FF66FF}{ 9} \color{#66D8FF}{4} \color{#99FF32}{0}$

• Untersuche die Auswirkung der Null an verschiedenen Stellen.

  Tipps

  Die Abkürzungen in der Stellentafel stehen für folgende Bezeichnungen:

  ZT = Zehntausender, T = Tausender, H = Hunderter, Z = Zehner, E = Einer

  Der Wert der Zahlen an den Stellen steigt von rechts nach links:

  ZT $>$ T $>$ H $>$ Z $>$ E

  Sehr kleine Zahlen haben niedrige Ziffern an den größten Stellenwerten:

  $ 1 < 6 $

  Sehr große Zahlen haben hohe Ziffern an den größten Stellenwerten:

  $75\,631 > 57\,631$

  Alle Nullen, die links neben der ersten anderen Ziffer stehen, verändern den Wert der Zahl nicht.

  Die folgende Stellenwerttafel zeigt zum Beispiel die Zahl $6$: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 0 & 6 \\ \hline\end{array}$

  Lösung

  Die Aufgabe zeigt die Funktion der $0$. Sie markiert leere Stellen und kann dadurch den Wert einer Zahl verändern.

  Um mit den Ziffern $0, 2, 0, 0, 9$ unterschiedlich große Zahlen zu bilden, müssen die Nullen an die richtige Stelle eingesetzt werden. Hierbei hilft es zu bedenken, dass alle Nullen, die links neben der ersten anderen Ziffer stehen, den Wert der Zahl nicht verändern.

  Um eine möglichst kleine Zahl zu bilden, tragen wir alle Nullen links neben den anderen Ziffern ein. Es entstehen folgende Möglichkeiten:

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 2 & 9\\ \hline 0& 0 & 0 & 9 & 2 \\ \hline\end{array}$

  Da die $29$ eine Zwei und die $92$ eine Neun an der größten Stelle (der Zehnerstelle) haben, ergibt sich:

  $29<92$

  Um eine möglichst große Zahl zu bilden, tragen wir alle Nullen rechts neben den anderen Ziffern ein. Es entstehen folgende Möglichkeiten:

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 2 & 9 & 0 & 0 & 0\\ \hline 9& 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline\end{array}$

  Da die $29\,000$ eine Zwei und die $92\,000$ eine Neun an der größten Stelle (der Zehntausenderstelle) haben, ergibt sich: $92\,000>29\,000$

  Beginnen wir beim Eintragen mit der kleinsten Zahl entsteht folgende Stellentafel:

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 2 & 9\\ \hline 9& 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline\end{array}$

• Stelle die Zahlen richtig in der Stellenwerttafel dar.

  Tipps

  Vergleiche die Zahlen $2\,353$ und $40\,821$, um herauszufinden, welche du zuerst einsetzen musst.

  Es kann helfen sich dafür wie in dem Beispiel die Anzahl der Stellen anzuschauen:

  $1\,000 < 10\,000 $

  Beginne beim Einsetzen der Ziffern mit dem Einer. Er steht ganz rechts.

  In dem Beispiel ist der Einer der Zahl $6\,47\color{#99CC00}{8}$ schon in die Stellentafel eingesetzt worden:

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline & & & & \color{#99CC00}{8} \\ \hline\end{array}$

  Ziehe danach den Zehner, den Hunderter und den Tausender in das richtige Feld.

  Lösung

  In dieser Aufgabe hast du die Zahlen $2\,353$ und $40\,821$ nach ihrem Stellenwerten notiert. Hierfür ordnen wir die Ziffern von rechts nach links ihren Stellenwerten zu.

  Die $2\,353$ hat eine Drei an der Einerstelle (E), eine Fünf an der Zehnerstelle (Z), eine Drei an der Hunderterstelle (H) und eine Zwei an der Tausenderstelle (T). Die Zehntausenderstelle (ZT) bleibt leer.

  Die $40\,821$ hat eine Eins an der Einerstelle (E), eine Zwei an der Zehnerstelle (Z), eine Acht an der Hunderterstelle (H), eine Null an der Tausenderstelle (T) und eine Vier an der Zehntausenderstelle (ZT).

  Beim Vergleichen der beiden Zahlen wird deutlich, dass die $2\,353$ keine Zehntausenderstelle (ZT) besitzt. Sie ist also kleiner als die $40\,821$.

  $2\,353 < 40\,821$

  Es entsteht folgende Stellentafel:

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E}\\ \hline \text{kleinere Zahl} & & 2 & 3 & 5 & 3 \\ \hline \text{größere zahl} & 4 & 0 & 8 & 2 & 1 \\ \hline\end{array}$

• Leite aus den Angaben die Zahl her.

  Tipps

  Eine Stellentafel hilft dir, die Angaben wie im Beispiel in Zahlen umzuformen:

  $8$ZT $0$T $6$H $1$Z $3$E

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 8& 0 & 6 & 1 & 3 \\ \hline\end{array}$

  $8$ZT $0$T $6$H $1$Z $3$E $= 80\,613$

  Achte auf die Reihenfolge der Stellenwerte:

  $8$Z $0$T $6$E $1$ZT $3$H

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 1& 0 & 3 & 8 & 6 \\ \hline\end{array}$

  $8$Z $0$T $6$E $1$ZT $3$H $= 10\,386$

  Überprüfe, ob Angaben einzelner Stellenwerte über $10$ sind. Unser Dezimalsystem führt dazu, dass die Werte in die nächsthöhere Stelle übernommen werden müssen.

  Zum Beispiel sind:

  $10$E $=$ $1$Z

  $19$E $=$ $1$Z $9$E

  $8$ZT $0$T $6$H $1$Z $\color{#99CC00}{19}$E $=$ $8$ZT $0$T $6$H $\color{#99CC00}{2}$Z $\color{#99CC00}{9}$E

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 8 & 0 & 6 & \color{#99CC00}{2} & \color{#99CC00}{9} \\ \hline\end{array}$

  $8$ZT $0$T $6$H $1$Z $19$E $= 80\,629$

  Lösung

  In dieser Aufgabe ordnest du Angaben in unserem Stellenwertsystem, der passenden Zahl zu. Es kann hierbei hilfreich sein, eine Stellenwerttafel aufzuzeichnen und die einzelnen Ziffern in die richtige Stelle einzutragen.

  Für die verschiedenen Aufgaben würde das folgendermaßen aussehen:

  1) $5$ZT $0$T $4$H $0$Z $5$E

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 5& 0 & 4 & 0 & 5 \\ \hline\end{array}$

  $5$ZT $0$T $4$H $0$Z $5$E $= 50\,405$

  2) $4$E $0$Z $4$ZT $5$T $5$H

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 4& 5 & 5 & 0 & 4 \\ \hline\end{array}$

  $4$E $0$Z $4$ZT $5$T $5$H $= 45\,504$

  3) $0$ZT $4$T $5$H $3$Z $\color{#99CC00}{15}$E = $0$ZT $4$T $5$H $\color{#99CC00}{4}$Z $\color{#99CC00}{5}$E

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 4 & 5 & 4 & 5 \\ \hline\end{array}$

  $0$ZT $4$T $5$H $3$Z $15$E $= 4\,545$

  4) $4$E $5$Z $5$H $0$T $4$ZT

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 4& 0 & 5 & 5 & 4 \\ \hline\end{array}$

  $4$E $5$Z $5$H $0$T $4$ZT $= 40\,554$

  5) $0$ZT $0$T $0$H $4$Z $\color{#99CC00}{14}$E = $0$ZT $0$T $0$H $\color{#99CC00}{5}$Z $\color{#99CC00}{4}$E

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 5 & 4 \\ \hline\end{array}$

  $0$ZT $0$T $0$H $4$Z $14$E $= 54$

  6) $4$E $0$Z $5$H $0$T $0$ZT

  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 0 & 5 & 0 & 4 \\ \hline\end{array}$

  $4$E $0$Z $5$H $0$T $0$ZT $= 504$