Die Entwicklung des Dezimalsystems

Grundlagen zum Thema Die Entwicklung des Dezimalsystems
Inhalt
- Was ist das Dezimalsystem?
- Beispiel für die Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem
- Abgrenzung – Andere Zahlensysteme
Was ist das Dezimalsystem?
Der Name Dezimalsystem oder auch Zehnersystem geht auf das lateinische Wort „decem“ für „zehn“ zurück. Es ist ein Stellenwertsystem. Verwendet werden dabei zehn Ziffern für die Anzahlen von null ($0$) bis neun ($9$). Mit diesem System rechnen wir.
Ursprünge vom Dezimalsystem – Erklärung
Am Anfang stand das Zählen, was mit den zehn Fingern besonders einfach ging. Da dem Zählen mit zehn Fingern Grenzen gesetzt sind, zum Beispiel beim Zählen von sehr große Mengen, musste das System erweitert werden.
Die Anfänge des Dezimalsystems
Die Ägypter haben mit einfachen Zahlzeichen begonnen:
- Ein Strich steht für eine Eins,
- zwei Striche für eine Zwei,
- …
- neun Striche für eine Neun.
Für eine Zehn wurden keine Striche benötigt, da die Ägypter hierfür das Rindsgespann verwendeten, für Hundert eine Seilschlinge, für Tausend eine Wasserlilie, einen Finger für Zehntausend und einen Frosch oder eine Kaulquappe für Hunderttausend.
Zum Beispiel ist $235$ darstellbar durch zwei Seilschlingen, drei Rindsgespanne und fünf Striche.
Für eine Million steht „Heh“, das ägyptische Symbol für den Gott der Unendlichkeit.
Die Weiterentwicklung des Dezimalsystems
Das Stellenwertsystem geht auf die Chinesen sowie die Inder zurück. Sie schrieben eigene Ziffern für die Zahlen. Das bedeutet, dass sie nicht mehr so viele Zeichen zeichnen mussten.
- Die Rindsgespanne ersetzten sie dadurch, dass sie die entsprechende Ziffer eine Stelle nach links verschoben: Dies ist die Zehnerstelle.
- Die Seilschlinge führte zu einer Verschiebung um zwei Stellen nach links: Das ist die Hunderterstelle.
- Es folgen die Tausender, Zehntausender …
Beispiel für die Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem
Die Zahl $234$ hat also eine Zwei an der Hunderter- (H), eine Drei an der Zehner- (Z) und eine Fünf an der Einerstelle (E):
$\begin{array}{c|c|c} \text{H}&\text{Z}&\text{E}\\ \hline 2&3&4 \end{array}$
Das funktioniert gut, da an jeder Stelle etwas steht. Wie sieht das nun aus, wenn irgendwo nichts steht, und woran kann man das erkennen?
Die Null
Hierfür ließen sich die indischen Mathematiker etwas einfallen: Sie malten einen kleinen Kreis an die Stelle, an der nichts stehen sollte. Sie nannten dies „Leere“ oder „Punkt“ oder „Himmel“. Das ist der Vorläufer der heute verwendeten Null ($0$).
Es dauerte einige Jahrhunderte, bis sich diese Darstellung von Zahlen durchsetzen konnte: Der arabische Mathematiker al-Chwarizmi verfasste im Jahr 825 ein Buch über das Rechnen mit den indischen Ziffern. Ihm ist es zu verdanken, dass sich das Dezimalsystem nach Europa ausbreitete und die Darstellung der heutige Zahlen als „Arabische Ziffern“ benannt werden.
Abgrenzung – Andere Zahlensysteme
- Die Mayas nahmen neben den zehn Fingern auch noch die zehn Zehen dazu. Sie zählten also bis $20$.
- Die Babylonier zählten mit dem Daumen der einen Hand die insgesamt zwölf Glieder der verbleibenden vier Finger. Mit den fünf Fingern der anderen Hand zählten sie, wie oft die Zwölf vorkommt. $12\cdot 5=60$: Die Babylonier konnten so bis $60$ zählen. Daher kommt die heutige Zeiteinteilung: Zum Beispiel hat eine Minute $60$ Sekunden.
- Computer funktionieren mit Stromleitungen: Entweder fließt der Strom (eins) oder nicht (null). Dies führt zu dem sogenannten Binärsystem.
Die Entwicklung des Dezimalsystems Übung
-
Gib die Probleme der Zahlensysteme wieder.
TippsÜberprüfe, wie groß die Zahlen in den Zahlensystemen werden können.
Versuche die Zahl $45\,238$ mit den verschiedenen Zahlensystemen darzustellen.
Die Zahl die $45\,238$ wird im ägyptischen Zahlsystem so dargestellt:
LösungIn dieser Aufgabe geht es um die Probleme, die zur Entwicklung des Dezimalsystems führten.
Im Zahlensystem der Mayas wurde mit Fingern und Zehen gezählt. Hierbei konnten die Menschen sicher bis Zwanzig zählen.
Um höhere Zahlen zählen zu können, nutze das babylonische Zahlensystem die Glieder der Finger. Hierdurch konnte an einer Hand bis $12$ gezählt werden. Mit der zweiten Hand addierten die Menschen hinzu, wie oft sie die $12$ Glieder schon gezählt hatten. Sie kamen auf diese Weise sicher bis Sechzig:
$12+12+12+12+12= 5 \cdot12= 60$
Im ägyptischen Zahlensystem wurden Ziffern (Zahlzeichen) genutzt, um einfach und effektiv große Zahlen darzustellen. Hierbei verwendeten die Menschen für die $1$ bis $9$ Striche und für die Zehnerpotenzen $10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000 $ sowie $1\,000\,000$ jeweils ein eigenes Zeichen. Da die verschiedenen Zeichen bis zur Verwendung des nächstgrößeren Zeichens sehr häufig hintereinander geschrieben wurden, entstanden sehr lange Zahlbezeichnungen.
Um die Zahlbezeichnungen zu verkürzen, wurde im indischen Zahlensystem der $1$ bis $9$ einzelne Ziffern zugeordnet. Beim Darstellen der $10$, rückte die Ziffer der $1$ eine Stelle weiter nach links. Jede Stelle stand auch in diesem System für eine Zehnerpotenz (ein Vielfaches von $10$). Allerdings gab es anfangs kein Zeichen, das eingesetzt wurde, wenn eine Stelle leer bleibt. Die dadurch entstehenden leeren Stellen in Zahlen machten es schwierig bestimmte Zahlen zu unterscheiden.
Erst durch die Einführung der $0$ konnten Zahlen wie $304$ zum Beispiel eindeutig von der $34$ unterschieden werden.
-
Bestimme die Dezimalsysteme (Zehnersysteme).
TippsIn Dezimalsystemen werden für die Zehnerpotenzen $10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000 $ und $1\,000\,000$ andere Zahlzeichen oder eine Zusammensetzung der Ziffern $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ genutzt.
Beim Aufschreiben von Zahlen wird in Dezimalsystemen bis $9$ gezählt.
Überprüfe, ob du Ziffern für $ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 $ auf den Bildern sehen kannst.
Achte darauf, ob die $10$ eine besondere Zahl in dem Zahlensystem ist und nicht darüber hinaus gezählt wird.
LösungDiese Aufgabe beschäftigt sich mit dem Erkennen von Dezimalsystemen.
Der Name Dezimalsystem oder auch Zehnersystem geht auf das lateinische Wort „decem“ für „zehn“ zurück. Zehnersysteme nutzen die $10$ als besondere Zahl (Basis). Für die Zehnerpotenzen $10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000 $ und $1\,000\,000$ werden bestimmte Zahlzeichen oder eine Zusammensetzung der Ziffern $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ genutzt.
Computer funktionieren mit dem Dualsystem. Da hierfür nur die Ziffern $0$ und $1$ genutzt werden, ist es kein Dezimalsystem.
Das ägyptische Zahlensystem nutzte für die Ziffern $1$ bis $9$ Striche und für die Zehnerpotenzen $10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000 $ sowie $1\,000\,000$ jeweils ein eigenes Zeichen. Es war ein Dezimalsystem.
Das babylonische Zahlensystem verwendete die Glieder der Finger. Hierdurch konnten die Menschen an einer Hand bis $12$ zählen. Mit der zweiten Hand addierten sie hinzu, wie oft sie die $12$ Glieder schon gezählt hatten. Sie kamen auf diese Weise sicher bis $60$. Ihr Zahlensystem hat deshalb die Basis $60$ und heißt Sexagesimalsystem. Es ist kein Dezimalsystem.
Im indischen Zahlensystem wurden für die $1$ bis $9$ einzelne Ziffern festgelegt. Beim Darstellen der $10$ rückte die Ziffer der $1$ eine Stelle weiter nach links. (Es wurde ein Stellenwertsystem genutzt.) Jede Stelle stand in diesem System für eine Zehnerpotenz (ein Vielfaches von $10$). Es ist ein Dezimalsystem.
Im Zahlensystem der Mayas wurde mit Fingern und Zehen gezählt. Hierbei konnten die Menschen sicher bis $20$ zählen. Ihr Zahlensystem hat deshalb die Basis $20$ und heißt Vigesimalsystem. Es ist kein Dezimalsystem.
Die arabischen Ziffern verwenden wir. Durch eine Zusammensetzung der Ziffern $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ und die Nutzung des Stellenwertsystems können wir alle möglichen Zahlen darstellen. Wir nutzen ein Dezimalsystem.
-
Zeige die Stellenwerte in den verschiedenen Dezimalsystemen.
TippsÜberlege, welche Ziffer im römischen Zahlensystem nicht dargestellt wird.
Bei der Zuordnung der einzelnen Stellenwerte zu den Zeichen kannst du dich an der Tabelle orientieren:
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \color{#F3DB00}{\text{Tausender}} & \color{#FF66FF}{\text{Hunderter}} & \color{#66D8FF}{\text{Zehner}} & \color{#99FF32}{\text{Einer}} \\ \hline1\,000 & 100 & 10 & 1 \\ \hline M & C & X & I \\ \hline\end{array}$
LösungDiese Aufgabe vergleicht zwei Dezimalsysteme. Während das römische Dezimalsystem alle notwendigen Zeichen aneinanderreiht, nutzen wir ein Stellenwertsystem, in welches die Ziffern eingeordnet werden.
Hierdurch wird zum einen die Verwendung der $0$ nötig. Zum anderen wird die Zahlbezeichnung besonders kurz.
In den Aufgaben sind die $\color{#F3DB00}{\text{Tausender}}$, $\color{#FF66FF}{\text{Hunderter}}$, $\color{#66D8FF}{\text{Zehner}}$ und $\color{#99FF32}{\text{Einer}}$ folgendermaßen zu markieren:
1) $ 4\color{#F3DB00}{5} \, \color{#FF66FF}{2} \color{#66D8FF}{3} \color{#99FF32} {8}$
2) $\color{#F3DB00}{\text{MM}} \color{#FF66FF}{\text{CCC}} \color{#66D8FF}{\text{XXXXX}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{2} \, \color{#FF66FF}{3} \color{#66D8FF}{5} \color{#99FF32} {0}$
3) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMM}} \color{#66D8FF}{\text{XX}}~\color{black}{=}~ \color{#F3DB00}{5} \,\color{#FF66FF}{0} \color{#66D8FF}{ 2} \color{#99FF32}{0}$
4) $\color{#F3DB00}{\text{MMMM}} \color{#FF66FF}{\text{CD}} \color{#99FF32}{\text{II}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{ 4} \,\color{#FF66FF}{ 4} \color{#66D8FF}{ 0} \color{#99FF32}{2}$
5) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMMMMM}} \color{#66D8FF}{\text{XXXX}} \color{#99FF32}{\text{III}} ~\color{black}{=}~ \color{#F3DB00}{ 8} \, \color{#FF66FF}{ 0} \color{#66D8FF}{ 4} \color{#99FF32}{ 3}$
6) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMMM}} \color{#FF66FF}{\text{CM}} \color{#66D8FF}{\text{XXXX}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{ 6} \,\color{#FF66FF}{ 9} \color{#66D8FF}{4} \color{#99FF32}{0}$
-
Untersuche die Auswirkung der Null an verschiedenen Stellen.
TippsDie Abkürzungen in der Stellentafel stehen für folgende Bezeichnungen:
ZT = Zehntausender, T = Tausender, H = Hunderter, Z = Zehner, E = Einer
Der Wert der Zahlen an den Stellen steigt von rechts nach links:
ZT $>$ T $>$ H $>$ Z $>$ E
Sehr kleine Zahlen haben niedrige Ziffern an den größten Stellenwerten:
$ 1 < 6 $
Sehr große Zahlen haben hohe Ziffern an den größten Stellenwerten:
$75\,631 > 57\,631$
Alle Nullen, die links neben der ersten anderen Ziffer stehen, verändern den Wert der Zahl nicht.
Die folgende Stellenwerttafel zeigt zum Beispiel die Zahl $6$: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 0 & 6 \\ \hline\end{array}$
LösungDie Aufgabe zeigt die Funktion der $0$. Sie markiert leere Stellen und kann dadurch den Wert einer Zahl verändern.
Um mit den Ziffern $0, 2, 0, 0, 9$ unterschiedlich große Zahlen zu bilden, müssen die Nullen an die richtige Stelle eingesetzt werden. Hierbei hilft es zu bedenken, dass alle Nullen, die links neben der ersten anderen Ziffer stehen, den Wert der Zahl nicht verändern.
Um eine möglichst kleine Zahl zu bilden, tragen wir alle Nullen links neben den anderen Ziffern ein. Es entstehen folgende Möglichkeiten:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 2 & 9\\ \hline 0& 0 & 0 & 9 & 2 \\ \hline\end{array}$
Da die $29$ eine Zwei und die $92$ eine Neun an der größten Stelle (der Zehnerstelle) haben, ergibt sich:
$29<92$
Um eine möglichst große Zahl zu bilden, tragen wir alle Nullen rechts neben den anderen Ziffern ein. Es entstehen folgende Möglichkeiten:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 2 & 9 & 0 & 0 & 0\\ \hline 9& 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline\end{array}$
Da die $29\,000$ eine Zwei und die $92\,000$ eine Neun an der größten Stelle (der Zehntausenderstelle) haben, ergibt sich: $92\,000>29\,000$
Beginnen wir beim Eintragen mit der kleinsten Zahl entsteht folgende Stellentafel:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 2 & 9\\ \hline 9& 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline\end{array}$
-
Stelle die Zahlen richtig in der Stellenwerttafel dar.
TippsVergleiche die Zahlen $2\,353$ und $40\,821$, um herauszufinden, welche du zuerst einsetzen musst.
Es kann helfen sich dafür wie in dem Beispiel die Anzahl der Stellen anzuschauen:
$1\,000 < 10\,000 $
Beginne beim Einsetzen der Ziffern mit dem Einer. Er steht ganz rechts.
In dem Beispiel ist der Einer der Zahl $6\,47\color{#99CC00}{8}$ schon in die Stellentafel eingesetzt worden:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline & & & & \color{#99CC00}{8} \\ \hline\end{array}$
Ziehe danach den Zehner, den Hunderter und den Tausender in das richtige Feld.
LösungIn dieser Aufgabe hast du die Zahlen $2\,353$ und $40\,821$ nach ihrem Stellenwerten notiert. Hierfür ordnen wir die Ziffern von rechts nach links ihren Stellenwerten zu.
Die $2\,353$ hat eine Drei an der Einerstelle (E), eine Fünf an der Zehnerstelle (Z), eine Drei an der Hunderterstelle (H) und eine Zwei an der Tausenderstelle (T). Die Zehntausenderstelle (ZT) bleibt leer.
Die $40\,821$ hat eine Eins an der Einerstelle (E), eine Zwei an der Zehnerstelle (Z), eine Acht an der Hunderterstelle (H), eine Null an der Tausenderstelle (T) und eine Vier an der Zehntausenderstelle (ZT).
Beim Vergleichen der beiden Zahlen wird deutlich, dass die $2\,353$ keine Zehntausenderstelle (ZT) besitzt. Sie ist also kleiner als die $40\,821$.
$2\,353 < 40\,821$
Es entsteht folgende Stellentafel:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E}\\ \hline \text{kleinere Zahl} & & 2 & 3 & 5 & 3 \\ \hline \text{größere zahl} & 4 & 0 & 8 & 2 & 1 \\ \hline\end{array}$
-
Leite aus den Angaben die Zahl her.
TippsEine Stellentafel hilft dir, die Angaben wie im Beispiel in Zahlen umzuformen:
$8$ZT $0$T $6$H $1$Z $3$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 8& 0 & 6 & 1 & 3 \\ \hline\end{array}$
$8$ZT $0$T $6$H $1$Z $3$E $= 80\,613$
Achte auf die Reihenfolge der Stellenwerte:
$8$Z $0$T $6$E $1$ZT $3$H
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 1& 0 & 3 & 8 & 6 \\ \hline\end{array}$
$8$Z $0$T $6$E $1$ZT $3$H $= 10\,386$
Überprüfe, ob Angaben einzelner Stellenwerte über $10$ sind. Unser Dezimalsystem führt dazu, dass die Werte in die nächsthöhere Stelle übernommen werden müssen.
Zum Beispiel sind:
$10$E $=$ $1$Z
$19$E $=$ $1$Z $9$E
$8$ZT $0$T $6$H $1$Z $\color{#99CC00}{19}$E $=$ $8$ZT $0$T $6$H $\color{#99CC00}{2}$Z $\color{#99CC00}{9}$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 8 & 0 & 6 & \color{#99CC00}{2} & \color{#99CC00}{9} \\ \hline\end{array}$
$8$ZT $0$T $6$H $1$Z $19$E $= 80\,629$
LösungIn dieser Aufgabe ordnest du Angaben in unserem Stellenwertsystem, der passenden Zahl zu. Es kann hierbei hilfreich sein, eine Stellenwerttafel aufzuzeichnen und die einzelnen Ziffern in die richtige Stelle einzutragen.
Für die verschiedenen Aufgaben würde das folgendermaßen aussehen:
1) $5$ZT $0$T $4$H $0$Z $5$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 5& 0 & 4 & 0 & 5 \\ \hline\end{array}$
$5$ZT $0$T $4$H $0$Z $5$E $= 50\,405$
2) $4$E $0$Z $4$ZT $5$T $5$H
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 4& 5 & 5 & 0 & 4 \\ \hline\end{array}$
$4$E $0$Z $4$ZT $5$T $5$H $= 45\,504$
3) $0$ZT $4$T $5$H $3$Z $\color{#99CC00}{15}$E = $0$ZT $4$T $5$H $\color{#99CC00}{4}$Z $\color{#99CC00}{5}$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 4 & 5 & 4 & 5 \\ \hline\end{array}$
$0$ZT $4$T $5$H $3$Z $15$E $= 4\,545$
4) $4$E $5$Z $5$H $0$T $4$ZT
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 4& 0 & 5 & 5 & 4 \\ \hline\end{array}$
$4$E $5$Z $5$H $0$T $4$ZT $= 40\,554$
5) $0$ZT $0$T $0$H $4$Z $\color{#99CC00}{14}$E = $0$ZT $0$T $0$H $\color{#99CC00}{5}$Z $\color{#99CC00}{4}$E
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 5 & 4 \\ \hline\end{array}$
$0$ZT $0$T $0$H $4$Z $14$E $= 54$
6) $4$E $0$Z $5$H $0$T $0$ZT
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 0 & 5 & 0 & 4 \\ \hline\end{array}$
$4$E $0$Z $5$H $0$T $0$ZT $= 504$
4.365
sofaheld-Level
6.572
vorgefertigte
Vokabeln
8.833
Lernvideos
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Übungen
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