Cosinussatz – Beweis

Hallo. Wir haben den Kosinussatz. Wir können jeweils eine Seite ausrechnen, wenn wir die beiden anderen und den eingeschlossenen Winkel gegeben haben. Und ich möchte jetzt einfach mal den Beweis zeigen, und zwar nur eine Version, ich zeige nur den 1. Satz, und die anderen sind dann ähnlich zu beweisen. Wir haben ein beliebiges Dreieck, ein Dreieck ohne jede weitere Eigenschaft: A, B, C. Hier ist die Höhe h, die geht von C auf die gegenüberliegende Seite c. Wir haben p, das ist der Abschnitt der Seite c, der von der Höhe h, also von dem Fußpunkt der Höhe h und A begrenzt wird. Und wir haben den Abschnitt q, der wird von dem Fußpunkt der Höhe und von B begrenzt, dieser Abschnitt ist das, nur, damit du genau weißt, was ich hier für Bezeichnungen habe. Der Beweis geht nun so, zunächst mal sieht das ein bisschen willkürlich aus, man nimmt irgendwelche Dinge, die in diesem Dreieck gelten und hinterher setzt man die alle zusammen und dann kommt der Kosinussatz raus. Das ist die Taktik dahinter und das geht so: Wir haben zunächst mal, dass cos?=p/b ist. Woher weiß ich das? Diese Höhe hier bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Abschnitt p und der Seite b, hier ist der Winkel ?. Der Kosinus von ? ist Ankathete durch Hypotenuse, die Ankathete ist p, die Hypotenuse ist b, deshalb p/b=cos?. Das kann man umstellen, und zwar nach p, indem man nämlich das hier mit b multipliziert. Das ist unsere erste Aussage hier, also p=b×cos?. Jetzt wenden wir den Satz des Pythagoras an: a²=h²+q². Warum? A² ist hier, wir haben hier ein rechtwinkliges Dreieck, das durch die Höhe und diesen Teil der Seite c gebildet wird, und natürlich von der Seite a auch. Seite a ist die Hypotenuse, deshalb a² = Katheten zum Quadrat, die beiden Katheten sind h und q, deshalb h²+q², Satz des Pythagoras. Wir wissen, h², hier also, =b²-p². H² befindet sich in einem rechtwinkligen Dreieck, das die Hypotenuse b hat und die beiden Katheten sind p und h, deshalb h² = Hypotenuse zum Quadrat minus Kathete zum Quadrat, also =b²-p², wieder Satz des Pythagoras. Dann haben wir außerdem das q², also dieses hier, q²=(c-p)². Warum? C-p ist ja einfach q. Ja, das c setzt sich ja zusammen aus dem Abschnitt p und dem Abschnitt q, deshalb c-p=q. Ich kann also statt q auch c-p schreiben und dann ist q² auch hier der gleiche Abschnitt, der jetzt nur anders bezeichnet ist, zum Quadrat. Und hierauf wiederum kann man die Binomische Formel anwenden, und zwar die 2. Binomische Formel, dann kommt da raus: c²-2cp+p², Punkt Nummer 4. Und jetzt müssen wir diese ganzen Sachen einfach zusammensetzen und dann passiert Folgendes: Wir haben a²=h²+q², das wissen wir schon, und h² ersetzen wir jetzt durch b²-p², das ist hier. Hier steht, in Nummer 2, dass wir jetzt noch q² brauchen. Wir wissen, dass q²=c²-2cp+p² ist, und das setzen wir jetzt hier ein, da ist es, c²-2cp+p². Jetzt können wir addieren, und zwar -p²+p² addiert sich zu 0, es bleibt also übrig: a²=b²+c²-2×c×p. Und jetzt kommt noch der allerletzte Schritt. Wir können nämlich das p ersetzen durch das, was hier steht, und zwar durch b×cos?. Und dann haben wir gleich den Kosinussatz hier, der lautet dann: a²=b²+c²-2×c×b×cos? - da habe ich aber Glück gehabt, dass das grade noch so hingepasst hat. Das ist der Kosinussatz in voller Schönheit. Und wenn du das mal vergleichen möchtest, ja, die beiden sind kaum zu unterscheiden. Ich habe jetzt hier b×c geschrieben und da steht c×b, das ist ja das Gleiche, ich denke, da brauchen wir nichts dazu zu sagen weiter. Ja, das ist der Beweis des Kosinussatzes, die beiden anderen laufen natürlich ähnlich ab. Du kannst das ja zu Übungszwecken noch mal machen. Wie auch immer, viel Spaß damit. Tschüss!