Sinussatz und Cosinussatz – Übungen

Gesucht: $b$

Rechenweg:
Wir wenden den Sinussatz an, weil ein Winkel und die gegenüberliegende Seite bekannt sind sowie ein weiterer Winkel gegeben ist. Nach dem Sinussatz gilt
$$\frac{b}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin\alpha}$$
Wir lösen diese Gleichung nach $b$ auf und setzen die Werte ein:
$$b = \frac{12~\text{cm} \cdot \sin60^\circ}{\sin50^\circ} \approx 14{,}07\,\text{cm}$$

Lösung:
$b \approx 14{,}07\,\text{cm}$

Gesucht: $\beta$

Rechenweg:
Da uns eine Seite und der zugehörige Winkel ($a$ und $\alpha$) sowie eine weitere Seite ($b$) bekannt sind, nutzen wir den Sinussatz:
$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$$
Um $\beta$ zu berechnen, stellen wir um:
$$\sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a}$$
Setzen wir die Werte ein:
$$\sin\beta = \frac{8\,\text{cm} \cdot \sin30^\circ}{10\,\text{cm}} = \frac{8 \cdot 0{,}5}{10} = 0{,}4$$
Somit erhalten wir:
$$\beta = \arcsin(0{,}4) \approx 23{,}58^\circ$$

Lösung:
$\beta \approx 23{,}58^\circ$

Gesucht: $a$

Rechenweg:
Weil zwei Winkel und die gegenüberliegende Seite bekannt sind, wenden wir den Sinussatz an:
$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$$
Nach Umstellen und Einsetzen ergibt sich
$$a = \frac{14~\text{cm} \cdot \sin30^\circ}{\sin70^\circ} \approx 7{,}42\,\text{cm}$$

Lösung:
$a \approx 7{,}42\,\text{cm}$

Gesucht: $\alpha$

Rechenweg:
Mit dem Sinussatz gilt:
$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}$$
Daraus folgt:
$$\sin\alpha = \frac{a \cdot \sin\gamma}{c}$$
Einsetzen der Werte liefert:
$$\sin\alpha = \frac{10\,\text{cm} \cdot \sin80^\circ}{14\,\text{cm}} \approx \frac{10 \cdot 0{,}9848}{14} \approx 0{,}7034$$
Also erhalten wir:
$$\alpha = \arcsin(0{,}7034) \approx 44{,}7^\circ$$

Lösung:
$\alpha \approx 44{,}7^\circ$

Gesucht: $b$

Rechenweg:
Zunächst berechnen wir den fehlenden Winkel $\alpha$ mithilfe der Winkelsumme im Dreieck:
$$\alpha = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$$
Anschließend verwenden wir den Sinussatz, um die Seite $b$ auszurechnen:
$$\frac{b}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin\alpha}$$
Daraus ergibt sich:
$$b = \frac{7~\text{cm} \cdot \sin50^\circ}{\sin70^\circ} \approx 5{,}52\,\text{cm}$$

Lösung:
$b \approx 5{,}52\,\text{cm}$

Gesucht: $c$

Rechenweg:
Da zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, wenden wir den Cosinussatz an:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma$$
Einsetzen liefert:
$$c^2 = (8\,\text{cm})^2 + (5\,\text{cm})^2 - 2 \cdot 8~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} \cdot \cos60^\circ = 49~\text{cm}^2$$
Daraus ergibt sich:

$$c = 7\,\text{cm}$$

Lösung:
$c = 7\,\text{cm}$

Gesucht: $a$

Rechenweg:
Wir verwenden den Cosinussatz, weil zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$$
Einsetzen ergibt:
$$a^2 = (10\,\text{cm})^2 + (12\,\text{cm})^2 - 2 \cdot 10~\text{cm} \cdot 12~\text{cm} \cdot \cos45^\circ \approx 75{,}03~\text{cm}^2$$
Daraus folgt:
$$a \approx 8{,}66\,\text{cm}$$

Lösung:
$a \approx 8{,}66\,\text{cm}$

Gesucht: $\alpha$

Rechenweg:
Ausgehend von der allgemeinen Form des Cosinussatzes:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha$$
stellen wir um nach:
$$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}$$
Einsetzen der Werte:
$$\cos \alpha = \frac{(11\,\text{cm})^2 + (7\,\text{cm})^2 - (9\,\text{cm})^2}{2 \cdot 11\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm}} = \frac{121\,\text{cm}^2 + 49\,\text{cm}^2 - 81\,\text{cm}^2}{154\,\text{cm}^2} = \frac{89}{154} \approx 0{,}578$$
Daraus folgt:
$$\alpha = \arccos(0{,}578) \approx 54{,}7^\circ$$

Lösung:
$\alpha \approx 54{,}7^\circ$

Gesucht: $\beta$

Rechenweg:
Ausgehend von der allgemeinen Form des Cosinussatzes:
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta$$
stellen wir um nach:
$$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c}$$
Einsetzen der Werte:
$$\cos \beta = \frac{(8\,\text{cm})^2 + (6\,\text{cm})^2 - (10\,\text{cm})^2}{2 \cdot 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm}} = \frac{64\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2 - 100\,\text{cm}^2}{96\,\text{cm}^2} = \frac{0}{96} = 0$$
Somit folgt:
$$\beta = \arccos(0) = 90^\circ$$

Lösung:
$\beta = 90^\circ$

Gesucht: $b$

Rechenweg:
Da zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, wenden wir den Cosinussatz an:
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cdot \cos\beta$$
Einsetzen liefert:
$$b^2 = (15\,\text{cm})^2 + (9\,\text{cm})^2 - 2 \cdot 15~\text{cm} \cdot 9~\text{cm} \cdot \cos75^\circ \approx 231{,}06~\text{cm}^2$$
Das ergibt:
$$b \approx 15{,}20\,\text{cm}$$

Lösung:
$b \approx 15{,}20\,\text{cm}$

Rechenweg:
Da uns ein Winkel und die zugehörige Seite sowie ein zweiter Winkel bekannt sind, benutzen wir den Sinussatz, um die Seite $c$ zu berechnen:
$$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta}$$
Wir stellen nach $c$ um und erhalten
$$c = \frac{10~\text{cm} \cdot \sin80^\circ}{\sin40^\circ} \approx 15{,}50\,\text{cm}$$

Lösung:
$c \approx 15{,}50\,\text{cm}$

Rechenweg:
Ausgehend von der allgemeinen Form des Cosinussatzes können wir mit den gegebenen Größen den Winkel $\beta$ berechnen. Dafür stellen wir
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta$$
nach $\cos\beta$ um:
$$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c}$$
Einsetzen der Werte:
$$\cos \beta = \frac{(10\,\text{cm})^2 + (12\,\text{cm})^2 - (14\,\text{cm})^2}{2 \cdot 10\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm}} = \frac{100\,\text{cm}^2 + 144\,\text{cm}^2 - 196\,\text{cm}^2}{240\,\text{cm}^2} = \frac{48\,\text{cm}^2}{240\,\text{cm}^2} = 0{,}2$$
Daraus folgt:
$$\beta = \arccos(0{,}2) \approx 78{,}5^\circ$$

Lösung:
$\beta \approx 78{,}5^\circ$

Rechenweg:
Mit dem Sinussatz gilt
$$\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$$
Mit dieser Gleichung können wir den Winkel $\beta$ bestimmen. Wir lösen die Gleichung nach $\sin\beta$ um:
$$\sin\beta = \frac{b \cdot \sin\gamma}{c}$$
Setzen wir die Werte ein:
$$\sin\beta = \frac{9\,\text{cm} \cdot \sin 70^\circ}{12\,\text{cm}} \approx \frac{9\,\text{cm} \cdot 0{,}9397}{12\,\text{cm}} \approx 0{,}7048$$
Daraus folgt:
$$\beta = \arcsin(0{,}7048) \approx 44{,}8^\circ$$

Lösung:
$\beta \approx 44{,}8^\circ$

Rechenweg:
Wir nutzen den Sinussatz, um den Winkel $\gamma$ zu bestimmen:
$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}$$
Umstellen nach $\sin\gamma$ ergibt:
$$\sin\gamma = \frac{c \cdot \sin\alpha}{a}$$
Einsetzen der Werte liefert:
$$\sin\gamma = \frac{20\,\text{cm} \cdot \sin 50^\circ}{17\,\text{cm}} \approx \frac{20\,\text{cm} \cdot 0{,}7660}{17\,\text{cm}} \approx 0{,}9012$$
Daraus folgt:
$$\gamma = \arcsin(0{,}9012) \approx 64{,}6^\circ$$

Lösung:
$\gamma \approx 64{,}6^\circ$

Rechenweg:
Wir benutzen den Cosinussatz, um die Seite $c$ zu ermitteln, weil zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel bekannt sind:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos\gamma$$
Nach Einsetzen erhalten wir:
$$c^2 = (11\,\text{cm})^2 + (13\,\text{cm})^2 - 2 \cdot 11~\text{cm} \cdot 13~\text{cm} \cdot \cos40^\circ \approx 152{,}08~\text{cm}^2$$
Das ergibt:
$$c \approx 12{,}33\,\text{cm}$$

Lösung:
$c \approx 12{,}33\,\text{cm}$

Rechenweg:
Hier eignet sich der Sinussatz, um die Seite $c$ zu bestimmen, weil zwei Winkel und eine Seite gegeben sind:
$$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{a}{\sin\alpha}$$
Wir lösen nach $c$ auf und setzen ein:
$$c = \frac{9~\text{cm} \cdot \sin55^\circ}{\sin45^\circ} \approx 10{,}53\,\text{cm}$$

Lösung:
$c \approx 10{,}53\,\text{cm}$

Rechenweg:
Ausgehend von der allgemeinen Form des Cosinussatzes
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma$$
können wir nach $\gamma$ umstellen. Das ergibt:
$$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 \cdot a \cdot b}$$
Einsetzen der gegebenen Werte:
$$\cos \gamma = \frac{(13\,\text{cm})^2 + (12\,\text{cm})^2 - (15)\,\text{cm}^2}{2 \cdot 13\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm}} = \frac{169\,\text{cm}^2 + 144\,\text{cm}^2 - 225\,\text{cm}^2}{312} = \frac{88\,\text{cm}^2}{312\,\text{cm}^2} \approx 0{,}2821$$
Daraus folgt:
$$\gamma = \arccos(0{,}2821) \approx 73{,}6^\circ$$

Lösung:
$\gamma \approx 73{,}6^\circ$

Rechenweg:
Wir setzen den Sinussatz an, um den Winkel $\beta$ zu bestimmen:
$$\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$$
Um $\beta$ zu finden, lösen wir nach $\sin\beta$ auf:
$$\sin\beta = \frac{b \cdot \sin\gamma}{c}$$
Einsetzen der Werte ergibt:
$$\sin\beta = \frac{9\,\text{cm} \cdot \sin55^\circ}{11\,\text{cm}} \approx \frac{9\,\text{cm} \cdot 0{,}8192}{11\,\text{cm}} \approx 0{,}6703$$
Daher ist:
$$\beta = \arcsin(0{,}6703) \approx 42{,}1^\circ$$

Lösung:
$\beta \approx 42{,}1^\circ$

Rechenweg:
Ausgehend von der allgemeinen Form des Cosinussatzes können wir mit den gegebenen Größen $\alpha$ bestimmen. Dafür stellen wir
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha$$
nach $\cos\alpha$ um: $$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}$$
Einsetzen der Werte:
$$\cos \alpha = \frac{(9\,\text{cm})^2 + (11\,\text{cm})^2 - (14\,\text{cm})^2}{2 \cdot 9\,\text{cm} \cdot 11\,\text{cm}} = \frac{81\,\text{cm}^2 + 121\,\text{cm}^2 - 196\,\text{cm}^2}{198\,\text{cm}^2} = \frac{6\,\text{cm}^2}{198\,\text{cm}^2} \approx 0{,}0303$$
Somit:
$$\alpha = \arccos(0{,}0303) \approx 88{,}3^\circ$$

Lösung:
$\alpha \approx 88{,}3^\circ$

Gesucht: $\overline{BD}$

Rechenweg:
Im Dreieck $\triangle CDE$ ist der Winkel bei $D$ ein rechter Winkel. Also bilden $\overline{CD}$ und $\overline{DE}$ die Katheten. Der Winkel $\gamma$ an $C$ liegt zwischen $\overline{CD}$ und der Hypotenuse $\overline{CE}$. Daher gilt:
$$\overline{CE} = \frac{\overline{CD}}{\cos(\gamma)} = \frac{4\,\text{cm}}{\cos(60^\circ)} =8\,\text{cm}$$
Da $\square ABCE$ ein Quadrat ist, ist $\overline{BC} = \overline{CE} = 8\,\text{cm}$.

Im Dreieck $BCD$ kennen wir nun die Seite $\overline{BC}$, die Seite $\overline{CD}$ und den Winkel $\alpha$, der $\gamma$ und den rechten Winkel des Quadrates miteinschließt. Für $\alpha$ gilt somit: $$\alpha = 90^\circ + \gamma = 150^\circ$$
Mit dem Cosinussatz folgt:
$$\overline{BD}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 - 2 \cdot \overline{BC} \cdot \overline{CD} \cdot \cos(150^\circ)$$
Einsetzen der Werte liefert:
$$\overline{BD}^2 = (8\,\text{cm})^2 + (4\,\text{cm})^2 - 2 \cdot 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot \cos(150^\circ) \approx 135{,}43\,\text{cm}^2$$
Daraus folgt:
$$\overline{BD} \approx \sqrt{135{,}43\,\text{cm}^2} \approx 11{,}64\,\text{cm}$$

Lösung:
$\overline{BD} \approx 11{,}64\,\text{cm}$

Gesucht: $\overline{BC}$ und $\overline{BD}$

Rechenweg:
Mit dem Sinussatz im Dreieck $\triangle ABC$ berechnen wir
$$\overline{BC} = \frac{\overline{AB} \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \frac{10{,}8\,\text{cm} \cdot \sin40^\circ}{\sin58^\circ} \approx 8{,}19\,\text{cm}$$

Um den Sinussatz für das Dreieck $\triangle ABD$ zu verwenden, brauchen wir den Winkel $\delta$. Da $\overline{AD} = \overline{BD}$ ist $\triangle ABD$ gleichschenklig, wissen wir, dass die beiden Winkel $\beta_1$ und $\alpha$ gleich sind. Es gilt:
$$ \beta_1 = \alpha = 40^\circ$$
Damit können wir für das Dreieck $\triangle ABD$ den Winkel $\delta$ ausrechnen:
$$ \delta = 180^\circ - \alpha - \beta_1 = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ $$

Im gleichschenkligen Dreieck $\triangle ABD$ folgt dann aus dem Sinussatz
$$\overline{BD} = \frac{\overline{AB} \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\delta)} = \frac{10{,}8\,\text{cm} \cdot \sin40^\circ}{\sin100^\circ} \approx 7{,}05\,\text{cm}$$

Lösung:
$\overline{BC} \approx 8{,}19\,\text{cm}$ und $\overline{BD} \approx 7{,}05\,\text{cm} $

Gesucht: $\varepsilon$

Rechenweg:
Aufgrund der Eigenschaften eines Parallelogramms wissen wir, dass benachbarte Winkel zusammen $180^\circ$ ergeben müssen und dass gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Mit $\alpha = 30^\circ$ können wir für ${\beta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ}$ festhalten. Mit diesen beiden Winkeln und den Seitenlängen $a$ und $b$ des Parallelogramms können wir mit dem Cosinussatz die Längen der beiden Diagonalen $e$ und $f$ bestimmen.

$$ e^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha) \approx 10{,}43\,\text{cm}^2 $$ $$ f^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\beta) \approx 93{,}57\,\text{cm}^2 $$ Daraus folgt:
$$ e \approx \sqrt{10{,}43\,\text{cm}^2} \approx 3{,}23\,\text{cm} $$ $$ f \approx \sqrt{93{,}57\,\text{cm}^2} \approx 9{,}67\,\text{cm} $$

Da sich die Diagonalen in einem Parallelogramm gegenseitig halbieren, kennen wir die Seitenlängen des Dreiecks $\triangle ABM$. Dort können wir den Cosinussatz für den Winkel $\varepsilon$ anwenden:

$$ a^2 = \left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{e}{2}\right) \cdot \left(\frac{f}{2}\right) \cdot \cos(\varepsilon) $$ Stellt man diese Gleichung nach $\cos(\varepsilon)$ um, erhält man: $$ \cos(\varepsilon) = \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2 - a^2}{2 \cdot \left(\frac{e}{2}\right) \cdot \left(\frac{f}{2}\right)} = \frac{\frac{e^2}{4} + \frac{f^2}{4} - a^2}{\frac{ef}{2}} = \frac{e^2 + f^2 - 4a^2}{2ef} $$

Nach Einsetzen der Werte für $e$, $f$ und $a = 4\,\text{cm}$ ergibt sich (gerundet): $$ \cos(\varepsilon) \approx 0{,}640 $$ Daraus folgt: $$ \varepsilon = \arccos(0{,}640) \approx 50{,}2^\circ $$

Lösung:
$\varepsilon \approx 50{,}2^\circ$