Brüche verstehen - Brüche als Teile eines Ganzen

Brüche verstehen - Brüche als Teile eines Ganzen Übung

• Gib die Bedeutung von Brüchen wieder.

  Tipps

  Brüche werden verwendet, um Zahlen darzustellen, die kleiner als $1$ sind. Dabei wird die $1$ auch als „ein Ganzes“ bezeichnet.

  Einen Bruch kannst du auch als Division betrachten: Die Zahl über dem Bruchstrich wird dabei durch die Zahl unter dem Bruchstrich geteilt.

  Bei dieser Pizza ist $\frac13$ blau markiert und $\frac23$ sind bleiben übrig.

  Lösung

  Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

  „Brüche sind die mathematische Schreibweise, die du verwendest, wenn du Anteile eines Ganzen beschreiben willst.“

  • Diese Schreibweise erlaubt uns nun, nicht mehr nur in ganzen Zahlen, sondern auch in kleineren Einheiten zu zählen.

  „Die Zahl unter dem Bruchstrich gibt an, in wie viele Anteile du das Ganze teilst. Sie wird als Nenner bezeichnet.“

  • Der Nenner „benennt“ die Anzahl der insgesamt vorhandenen Anteile.

  „Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler. Er beschreibt, wie viele dieser Anteile du betrachtest.“

  • Der Zähler „zählt“, wie viele Anteile wir betrachten.

  „Bei der oben abgebildeten Pizza ist $\frac14$ blau markiert und $\frac34$ bleiben übrig.“

  • Wir haben die Pizza in vier Stücke zerschnitten, daher steht im Nenner eine Vier. Wir zählen nur ein blau markiertes Teil und erhalten so $\frac14$. Wir finden jedoch drei weitere Viertel, sodass $\frac34$ übrig bleiben.

• Gib an, welche Brüche in den Bildern dargestellt sind.

  Tipps

  Der Nenner, also die Zahl unter dem Bruchstrich, gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wird.

  Der Zähler, also die Zahl über dem Bruchstrich, gibt an, wie viele dieser Teile betrachtet werden.

  Es kann vorkommen, dass zwei Brüche, die auf den ersten Blick verschieden aussehen, in Wirklichkeit gleich groß sind. Das bedeutet, dass sie denselben Anteil eines Ganzen beschreiben.

  Lösung

  Um die Teilstücke der Pizzen den richtigen Brüchen zuzuordnen, kannst du in der Regel immer den gleichen Schritten folgen:

  • Untersuche, in wie viele Teile die Pizza (also das Ganze) geteilt ist. Diese Zahl ist dann der Nenner des zugehörigen Bruches.
  • Sieh dir dann an, wie viele dieser Teile hervorgehoben sind. Da du diese Teile nun gewissermaßen zählst, ist das auch die Zahl, die im Zähler des Bruches steht.

  Die einzige Ausnahme ist hierbei die Pizza, bei der wir zwei Viertel betrachten: Zwar könnten wir dieser Pizza, ohne einen Fehler zu machen, den Bruch $\frac{2}{4}$ zuordnen, doch dieser steht hier nicht zur Auswahl. Wir sehen aber auch, dass die betrachteten Stücke zusammengenommen genau die Hälfte der Pizza ergeben. Deshalb können wir dieser Pizza genauso gut den Bruch $\frac{1}{2}$ zuordnen. Man sagt, die Brüche $\frac{2}{4}$ und $\frac{1}{2}$ haben denselben Wert.

• Bestimme den Wert der dargestellten Brüche.

  Tipps

  Die Zahl, die angibt, in wie viele Stücke das Ganze geteilt wird, ist der Nenner. Die Zahl, die zählt, wie viele dieser Stücke wir betrachten, ist der Zähler.

  Eine Stunde können wir zwar nicht mit dem Messer, dafür aber im Kopf teilen.

  Stell dir eine Flasche Cola vor, die zu einem Drittel gefüllt ist. Obwohl das Ganze eigentlich gar nicht (mehr) vorhanden ist, können wir die übrige Menge als Anteil daran darstellen.

  Lösung

  Bild 1 (Pizza):

  Zuerst rufen wir uns noch einmal die Vorgehensweise in Erinnerung, mit der wir einen Anteil als Bruch aufschreiben. Das wichtigste ist zunächst, festzustellen, was überhaupt das Ganze ist, von dem wir einen Anteil betrachten. Das ist hier wieder eine Pizza.

  Nun überprüfen wir, in wie viele Teile dieses Ganze geteilt ist; in diesem Fall sind das $8$. Diese Zahl schreiben wir immer in den Nenner des Bruches, also unter den Bruchstrich, denn sie bedeutet, dass die Pizza in Achtel geteilt wurde.

  Als letztes zählen wir, wie viele dieser Teile wir nun untersuchen. Hier sind drei Teile markiert, also schreiben wir die Zahl $3$ in den Zähler des Bruches. Damit kennen wir schon das Ergebnis: Wir betrachten drei Achtel der ganzen Pizza oder $\frac{3}{8}$.

  Bild 2 (Kuchen):

  Hier gehen wir auf genau dieselbe Art und Weise vor. Der Kuchen (das Ganze) wurde in $5$ Stücke geteilt, von denen wir $2$ betrachten; der gesuchte Bruch ist also $\frac{2}{5}$.

  Bild 3 (Uhr):

  In diesem Bild ist es nicht direkt die Uhr, die geteilt wird, sondern eine Stunde. Diese ist hier also das Ganze. Da eine Stunde etwas Abstraktes ist, das wir nicht mit dem Messer schneiden können, können wir auch die Anteile nicht sehen; wir behelfen uns aber mit der Darstellung als Uhr, die wir hier in Gedanken in $4$ Stücke teilen. Der Minutenzeiger hat hier eines dieser Stücke, also ein Viertel einer Stunde überstrichen - deshalb sagt man auch „Viertelstunde“. Als Bruch schreiben wir das als $\frac{1}{4}$. Alternativ können wir die Uhr auch in die $12$ Segmente teilen, die durch die Stundenzahlen gebildet werden - in diesem Fall hat der Zeiger $3$ dieser Segmente überstrichen, also $\frac{3}{12}$. Diese Brüche sind beide richtig, haben also den gleichen Wert: $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$. Da hier aber nur der Bruch $\frac{1}{4}$ zur Auswahl steht, wählen wir diesen aus.

  Bild 4 (Messbecher):

  Hier müssen wir noch ein Stück weiter denken, da das Ganze in diesem Bild gar nicht wirklich zu sehen ist. Das wäre hier nämlich der volle Messbecher.

  Wenn wir uns diesen vorstellen, können wir jetzt aber trotzdem die Bruchschreibweise verwenden, da der Messbecher nur teilweise gefüllt ist. Ein komplett gefüllter Messbecher wäre bis zum zehnten Strich gefüllt, in diesem hier steht das Wasser nur bis zum siebten. Der Messbecher ist damit zu sieben Zehnteln oder $\frac{7}{10}$, gefüllt.

• Finde heraus, welche Brüche gleich groß sind.

  Tipps

  Es kann dir helfen, dir die Brüche anhand etwas leicht teilbarem (zum Beispiel einer Pizza) vorzustellen oder aufzuzeichnen. Daran kannst du erkennen, welche Brüche den gleichen Anteil des Ganzen darstellen.

  Betrachte einmal die Brüche $\frac{1}{4}$ und $\frac{2}{8}$. Dass sie den gleichen Wert haben, lässt sich daran erkennen, dass der Nenner bei beiden Brüchen viermal so groß ist wie der Zähler.

  Lösung

  Wir betrachten zunächst als Beispiel die Brüche $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$. Wir sehen hier, dass der Nenner in beiden Fällen doppelt so groß ist wie der Zähler. Mit anderen Worten: Wir betrachten die Hälfte der Teile, in die wir das Ganze zuvor geteilt haben. Denn genauso wie $1$ die Hälfte von $2$ ist, ist $2$ wiederum die Hälfte von $4$.

  Dieser Trick lässt sich auf alle Brüche anwenden. Wenn also das Verhältnis von Zähler zu Nenner bei zwei Brüchen gleich ist, dann haben auch die Brüche denselben Wert.

  Wir suchen deshalb zunächst nach Brüchen, deren Zähler halb so groß ist wie ihr Nenner. Das sind, zusätzlich zu $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$, auch noch die Brüche $\frac{3}{6}$, $\frac{4}{8}$, $\frac{5}{10}$ und $\frac{6}{12}$.

  Für den Bruch $\frac{1}{3}$ gilt dasselbe Prinzip, nur dass wir jetzt Brüche suchen, deren Nenner dreimal so groß ist wie ihr Zähler. Das sind hier $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{9}$, $\frac{4}{12}$ und $\frac{5}{15}$.

  Und auch für den Bruch $\frac{1}{4}$ finden wir beliebig viele weitere Darstellungen, solange deren Nenner viermal so groß ist wie ihr Zähler. Hier finden wir die Brüche $\frac{2}{8}$, $\frac{3}{12}$, $\frac{4}{16}$ und $\frac{5}{20}$, auf die das zutrifft.

  Natürlich gibt es in allen drei Fällen noch unendlich viele weitere Brüche, die denselben Wert wie der Ausgangsbruch besitzen. Diese können wir erhalten, indem wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren, da sich dann ihr Verhältnis nicht ändert; diesen Vorgang nennen wir Erweitern des Bruches. Beispielsweise haben wir $\frac{1}{2}$ mit $3$ erweitert, um den Bruch $\frac{3}{6}$ zu erhalten, der denselben Wert hat:

  $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3\cdot1}{3\cdot2}=\dfrac{3}{6}$.

• Bestimme, welche Aussagen zu Brüchen wahr sind.

  Tipps

  Der Bruch $\frac{3}{4}$ sagt aus, dass wir das Ganze in $4$ Teile geteilt haben und nun $3$ dieser Teile betrachten.

  Obwohl sich Zeit nicht mit dem Messer schneiden lässt, kennst du sicherlich den Ausdruck „eine Viertelstunde“.

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind wahr:

  • „Der Nenner eines Bruches stellt dar, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde.“

  • „Brüche können einen Wert zwischen $0$ und $1$ haben.“ Der Grund, warum wir Brüche überhaupt eingeführt haben, ist, dass wir Zahlen zwischen $0$ und $1$ darstellen können, denn genau das sind Anteile eines Ganzen. Allerdings können Brüche auch einen Wert haben, der größer als $1$ oder kleiner als $0$ (also negativ) ist. Größer als $1$ sind Brüche genau dann, wenn ihr Zähler größer als ihr Nenner ist (zum Beispiel $\frac{4}{3}$) - allerdings können wir sie uns dann nicht mehr ganz so gut als Anteile vorstellen.

  • „Der Zähler eines Bruches beschreibt, wie viele Teile eines Ganzen wir betrachten.“ Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde, und der Zähler beschreibt, wie viele dieser Teile für unser aktuelles Problem relevant sind.

  Diese Aussagen sind dagegen falsch:

  • „Der Zähler eines Bruches stellt die Anzahl an Ganzen dar.“ Der Zähler stellt nicht die Anzahl an Ganzen dar, sondern die Anzahl an Anteilen eines Ganzen.

  • „Der Bruch $\frac{1}{3}$ bedeutet, dass wir drei Ganze betrachten.“ Wir betrachten hier nicht drei Ganze, sondern ein Drittel eines Ganzen. Die $3$ im Nenner ist nicht die Anzahl der Ganzen, sondern die Anzahl an Anteilen, in die das Ganze geteilt wird.

  • „Wir können nur Dinge als Brüche darstellen, die wir auch physisch in Stücke teilen können.“ Zwar kann man sich Brüche anhand einer Pizza leichter vorstellen, da wir sie mit dem Messer schneiden können. Wir können Brüche aber genauso gut auf abstraktere Konzepte anwenden. Ein Beispiel dafür ist die Zeit, ohne Brüche würden die Ausdrücke „eine Viertelstunde“ oder „eine halbe Sekunde“ wenig Sinn ergeben.

• Leite die Multiplikation von Brüchen mit Zahlen her.

  Tipps

  Die folgende Rechnung ist ein Beispiel für einen Anteil an einer Menge, die aus mehr als einem Ganzen besteht:

  $\dfrac{1}{4}\cdot 28 = 7$

  Lösung

  Den Lückentext kannst du folgendermaßen vervollständigen:

  „Im Alltag können wir auch Anteile an Grundmengen, die aus mehr als einem Ganzen bestehen, beschreiben. Haben wir zum Beispiel zehn Stifte vor uns liegen und betrachten davon fünf, dann haben wir die ursprüngliche Menge in $2$ geteilt. Wir betrachten jetzt also die Hälfte von $10$.“

  • Alternativ können wir nun die Grundmenge, also die $10$ Stifte, als „das Ganze“ betrachten. In diesem Fall wollen wir wissen, wie die Hälfte dieses Ganzen aussieht.

  „Mathematisch drücken wir diese Aussage durch eine Multiplikation des Bruches mit der Anzahl an Dingen in der Grundmenge aus. Die Grundmenge sind hier die $10$ Stifte, der Bruch, den wir betrachten, ist $\frac{1}{2}$. Also rechnen wir:

  $\dfrac{1}{2}\cdot10=5$

  Du kannst diese Rechnung lesen als „Die Hälfte von zehn ist fünf“.

  • Anteile an Mengen berechnen wir immer durch Multiplikation. Der Malpunkt hat dabei die Bedeutung des Wortes „von“.

  „Allgemein kannst du ein solches Produkt berechnen, indem du zuerst die Zahl neben dem Bruch mit dem Zähler des Bruches multiplizierst. Das Ergebnis dividierst du dann durch den Nenner des Bruches.

  • Wir teilen also zunächst die Grundmenge in so viele Teile, wie der Nenner des Bruches vorgibt. Das ist nichts anderes als eine gewöhnliche Division, hier: $10:2=5$. Danach „zählen“ wir so viele dieser Teile zusammen, wie es uns der Zähler vorschreibt; in diesem Fall betrachten wir nur eine Hälfte und das Ergebnis bleibt nach einer Multiplikation mit $1$ unverändert.

  Betrachten wir noch ein anderes Zahlenbeispiel:

  $\dfrac{2}{3}\cdot 12 =\underbrace{\overbrace{(2\cdot12)}^{\text{Multiplikation}}:3}_{\text{Division}} =24:3 = 8$

  Wir sagen: „Zwei Drittel von zwölf sind acht“.