Biquadratische Gleichungen (1)

Hallo. Heute stelle ich euch biquadratische Gleichungen vor, und wie man diese löst. Bevor wir mit dem Lösen einer biquadratischen Gleichung starten, solltet ihr wissen, was eine biquadratische Gleichung ist. Unter biquadratischer Gleichung versteht man diese Gleichung: x⁴+px²+q=0. Kommen in einer Gleichung nur die x-Potenzen x⁴, x² und x⁰ vor, so ist das eine biquadratische Gleichung. Wir beginnen mit einer Aufgabe. Um eine solche Aufgabe zu lösen, gibt es einen Trick. Durch die sogenannte Substitution können wir im Anschluss die PQ-Formel anwenden. Unter Substitution versteht man das Einsetzen eines Terms durch einen anderen. Für die biquadratische Gleichung bedeutet das, dass wir für x² z einsetzen. Dann können wir die PQ-Formel benutzen und am Ende eine Rücksubstitution durchführen. Nun zeige ich euch diese Schritte in folgendem Beispiel: für x² setzen wir nun z ein. Also haben wir für x⁴ z². Damit sieht unsere substituierte Gleichung so aus: z²-7z+12=0. Nun benutzen wir die PQ-Formel. Wir erhalten 2 Lösungen: z1=4 und z2=3. Die Substitution z=x² muss nun rückgängig gemacht werden. Da z1=4 ist, setzen wir x²=4. Dies ist nun eine quadratische Gleichung in x, für die es also 2 Lösungen gibt. x1=-2 und x2=2. z2=3 ersetzen wir auch durch x²=3. Dies ist wieder eine quadratische Gleichung in x, mit den Lösungen x3=-\sqrt3 und x4=\sqrt3. Denkt daran, es kann bis zu 4 Lösungen geben. Nun eine weitere Gleichung. Der Verlauf dieser entsprechenden Funktion ist hier dargestellt. Es sind 4 Nullstellen zu sehen. Diese errechnen wir nun. Wir substituieren z=x² und erhalten eine quadratische Gleichung in z. Nun benutzen wir die PQ-Formel. Wir erhalten für z1=9 und für z2=2. Da z1=9 ist, setzen wir x²=9 und erhalten für x1 -3 und für x2 +3. z2=2, also setzen wir x²=2 und erhalten für x3 +\sqrt2 und für x4 -\sqrt2. Nun fassen wir noch mal alle Schritte zusammen: Zum Lösen einer biquadratischen Gleichung führen wir zuerst die Substitution durch. Wir setzen für x² z ein. Dann wenden wir die PQ-Formel an. Zum Schluss führen wir die Rücksubstitution durch. So, heute habt ihr etwas über biquadratische Gleichungen gelernt. Tschüss.