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Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

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Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung zum Video Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

Leuchtturmwärter Piet muss eine wichtige Kursberechnung anstellen und benötigt dafür den Sinussatz. Aber was besagt der Sinussatz? Finde es in diesem Video heraus.

Du lernst den Sinus- und Cosinussatz kennen und erfährst, wie sie definiert sind. Anhand von Beispielen wird gezeigt, wie sie auf unterschiedliche Dreiecke angewendet werden können. Im Anschluss an das Video kannst du die interaktiven Übungen auf dieser Seite nutzen, um dein neues Wissen zu überprüfen.

Grundlagen zum Thema Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

Sinussatz – Definition

Der Sinussatz ist eine Formel, welche zur Berechnung von Seitenlängen und Winkeln in Dreiecken verwendet werden kann.

Der Sinussatz gibt eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den jeweils gegenüberliegenden Seiten an.

In der folgenden Abbildung siehst du ein allgemeines Dreieck mit Beschriftungen der Seiten und Winkel. Anhand eines solchen Dreiecks wollen wir nun den konkreten Nutzen von Sinussatz und Cosinussatz erörtern.

allgemeines Dreieck zum Sinussatz und Cosinussatz

Sinussatz – Formel

Der Sinussatz lautet in seiner allgemeinen Form folgendermaßen:

$\large{\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}}$

Der Sinussatz kann auch mit den jeweiligen Kehrwerten formuliert werden:

$\large{\dfrac{\sin(\alpha)}a=\dfrac{\sin(\beta)}b=\dfrac{\sin(\gamma)}c}$

Das bedeutet: Wenn du in einem allgemeinen Dreieck von je zwei Winkeln und den entsprechend gegenüberliegenden Seiten drei Größen kennst, kannst du die fehlende vierte Größe berechnen.

Sinussatz – Beispiel

Als Beispiel kannst du den Kongruenzsatz „WSW“ betrachten. Dieser besagt, dass zwei Dreiecke kongruent (deckungsgleich) sind, wenn sie in der Länge einer Seite sowie den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. Nehmen wir an, folgende Größen sind gegeben:

  • die Winkel $\alpha=40^\circ$ und $\beta=60^\circ$
  • die Seite $c=6$

Hier können wir nun die fehlenden Seitenlängen berechnen. Um allerdings den Sinussatz anwenden zu können, musst du zunächst den dritten Winkel $\gamma$ berechnen. Hierfür verwendest du den Winkelsummensatz für Dreiecke, nach dem die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks stetsd $180^\circ$ beträgt. Somit ist $40^\circ+60^\circ+\gamma=180^\circ$. Nun kannst du $100^\circ$ subtrahieren und erhältst $\gamma=80^\circ$.

Es gilt also mit den nun bekannten Größen:

$\large{\dfrac{a}{\sin(40^\circ)}=\dfrac{6}{\sin(80^\circ)}}$

Du siehst, es ist in dieser Gleichung nur eine Größe unbekannt, nämlich $a$. Multiplikation mit $\sin(40^\circ)$ führt zu

$a=\dfrac6{\sin(80^\circ)}\cdot \sin(40^\circ)\approx 3,9$

Ebenso kannst du die Länge der Seite $b$ berechnen, wenn du statt $\alpha$ den Winkel $\beta=60^\circ$ einsetzt:

$b=\dfrac6{\sin(80^\circ)}\cdot \sin(60^\circ)\approx 5,3$

Beachte, dass wir hier die Längeneinheiten der Seitenlängen (in der Regel $\text{cm}$) weggelassen haben, um leichter rechnen zu können.

Cosinussatz – Definition

Neben dem Sinussatz gibt es auch noch den Cosinussatz:

Der Cosinussatz vereinfacht die Beschreibung von geometrischen Beziehungen in allgemeinen, nicht-rechtwinkligen Dreiecken. Der Cosinussatz kann für jede Seite eines Dreiecks gesondert formuliert werden.

Du kannst dir den Cosinussatz wie folgt merken:

  • Auf der linken Seite steht jeweils das Quadrat einer Seite.
  • Auf der rechten Seite kommt der Cosinus des Winkels vor, der dieser Seite gegenüberliegt.
  • Auf der rechten Seite werden die beiden übrigen Seiten quadriert und die Quadrate addiert. Kommt dir das bekannt vor?
  • Von dieser Summe wird das doppelte Produkt der beiden Seiten und dem Cosinus des gegenüber liegenden Winkels abgezogen.

Wenn Seiten quadriert und addiert werden, erinnert dich das sicher an den Satz des Pythagoras. Dieser ist ein besonderer Fall des Cosinussatzes.

Sei zum Beispiel $\gamma=90^\circ$, dann ist $\cos(\gamma)=\cos(90^\circ)=0$. Damit gilt mit der unteren der drei blau markierten Gleichungen:

$c^2=a^2+b^2$

Dies ist gerade der Satz des Pythagoras mit $\gamma=90^\circ$ und der Hypotenuse $c$.

Cosinussatz – Formel

Bei allgemeinen, nicht-rechtwinkligen Dreiecken gelten jedoch die drei allgemeinen Formulierungen des Cosinussatzes:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha)$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos(\beta)$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma)$

Ein Anwendungsbeispiel für den Cosinussatz wollen wir im Folgenden einmal durchrechnen.

Cosinussatz – Beispiel

Unter Anwendung des Cosinussatzes kannst du zum Beispiel bei dem Kongruenzsatz „SWS“ die Länge der fehlenden Seite berechnen. Dieser Kongruenzsatz besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in zwei Seitenlängen sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Nehmen wir an, folgende Größen sind gegeben:

  • $a=5$ und $b=7$
  • $\gamma=35^\circ$

Zunächst überlegst du dir, welche Größen bekannt sind und welche der drei möglichen Gleichungen du verwendest. In diesem Fall kannst du die dritte Formulierung des Cosinussatzes verwenden, da nach der Länge der Seite $c$ gefragt ist. In diese Gleichung setzt du die bekannten Größen ein:

$c^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos(35^\circ)\approx 16,66$

Zuletzt ziehst du die Wurzel und erhältst $c\approx 4,1$.

Beachte, dass wir auch hier wieder der Einfachheit halber auf Längeneinheiten verzichtet haben.

Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

Leuchtturmwärter Piet kümmert sich um drei Leuchttürme an den Orten Alter Anleger, Blaue Bucht und Cap Capri. Er befindet sich am Alten Anleger und bemerkt, dass gerade der Leuchtturm auf Cap Capri ausgefallen ist. Piet muss schnell handeln. Ausgerechnet jetzt zieht dichter Nebel auf. Wie soll er bei diesem Wetter zum Leuchtturm finden? Das geht ganz einfach, denn die drei Leuchttürme bilden ein Dreieck mit den Punkten $A$ (Alter Anleger), $B$ (Blaue Bucht) und $C$ (Cap Capri). Zum Glück kennt Piet die drei Entfernungen zwischen den Leuchttürmen auswendig. So kann er für die Kursberechnung durch den Nebel den Sinussatz und den Cosinussatz anwenden.

Anwendungsbeispiel von Sinussatz und Cosinussatz

In der Abbildung siehst du, dass Piet die Seitenlängen bekannt sind. Es fehlen allerdings die Winkel. Wir beginnen also mit dem Cosinussatz, den diesen können wir nach jeweils einem gesuchtem Winkel auflösem.

Anwendung des Cosinussatzes

Der Cosinussatz hilft dir weiter, wenn entweder zwei Seiten und ein Winkel oder aber alle drei Seiten eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind und der Winkel fehlt.
In unserem Beispiel bilden die drei Leuchttürme auf der Karte ein Dreieck. Leuchtturmwärter Piet kennt die drei Entfernungen zwischen den Leuchttürmen auswendig, sodass er nur noch den Winkel berechnen muss, um sein Boot auf Kurs zu bringen.

Cosinussatz – Winkel berechnen

Zunächst klären wir, welcher der drei Formelsätze aus dem Cosinussatz im Beispiel genutzt werden kann:
Piets Standpunkt ist Alter Anleger, das ist jetzt Punkt $A$ im Dreieck. Piet muss zum defekten Leuchtturm auf Cap Capri fahren, das ist Punkt $C$. Blaue Bucht ist der Punkt B. Da Piet von $A$ nach $C$ fahren will, benötigt er den Kurswinkel $\alpha$ an Punkt $A$. Wir nehmen daher den Cosinussatz in der folgenden Form:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\,bc\cdot \cos(\alpha)$

Wir stellen die Formel nach dem gesuchten Winkel $\alpha$ um:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\,bc\cdot \cos(\alpha) \quad \big\vert~- b^{2}, - c^{2}$

$a^{2} - b^{2} - c^{2} = - 2\,bc\cdot \cos(\alpha) \quad \big\vert~:(- 2bc)$

$\dfrac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{- 2\,bc} = \cos(\alpha)$

Nun ist $\cos(\alpha)$ isoliert:

$ \cos(\alpha) = \dfrac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{- 2\,bc}$

Piet kennt die drei Entfernungen zwischen den Leuchttürmen auswendig:
Der Abstand zwischen Blaue Bucht und Cap Capri beträgt 5,18 Kilometer, also ist a = 5,18 km.
Der Abstand zwischen Cap Capri und Alter Anleger beträgt 9 Kilometer, also ist b = 9 km.
Der Abstand zwischen Alter Anleger und Blaue Bucht beträgt 6 Kilometer, also ist c = 6 km.

Wir setzen die Werte für $a$, $b$ und $c$ ein:

$\cos(\alpha) = \dfrac{5{,}18^{2} - 9^{2} - 6^{2}}{- 2\cdot9\cdot6}$

Wir isolieren den Winkel $\alpha$ mit $cos^{-1}$, das ist der Arcuscosinus (man findet ihn auf dem Taschenrechner abgekürzt als arccos oder acos oder $cos^{-1}$), also die Umkehrung des Cosinus, und lösen mit dem Taschenrechner:

$\alpha = cos^{-1} \left( \dfrac{5{,}18^{2} - 9^{2} - 6^{2}}{- 2\cdot9\cdot6} \right)$

$\alpha \approx 33{,}4^{\circ}$

Piet kann sich jetzt mit dem richtigen Kurswinkel $\alpha \approx 33,4^{\circ}$ auf den Weg zu Cap Capri machen.

Cosinussatz umstellen

Auch der Cosinussatz lässt sich nach einzelnen Variablen umstellen. Im Gegensatz zum Sinussatz steht bei den drei Formulierungen des Cosinussatzes aber jeweils eine Variable bereits isoliert auf der linken Seite der Gleichung. Du musst nur noch die Wurzel ziehen, um das Quadrat aufzulösen und erhältst die Länge einer Seite.

Anwendung des Sinussatzes

Der Sinussatz kann ebenfalls die Ermittlung von geometrischen Beziehungen in nicht-rechtwinkligen Dreiecken vereinfachen.
Er hilft dir weiter, wenn mindestens zwei Seiten und ein Winkel oder eine Seite und zwei Winkel eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind.

In unserem Beispiel hat Piet ein weiteres Problem: Er benötigt jetzt eine Ersatzglühbirne vom Ersatzteillager auf Blaue Bucht, Punkt $B$. Jetzt muss er auch den Winkel an Punkt $B$, also $\beta$, berechnen, um sein Boot von dort auf Kurs Cap Capri (Punkt $C$) zu bringen.
Er könnte wieder den Cosinussatz nutzen, da er ja alle Entfernungen $a$, $b$ und $c$ kennt. Da er aber die Entfernungen und einen der Winkel kennt, nämlich $\alpha$, kann er jetzt auch den Sinussatz verwenden. Dazu ist etwas weniger Rechenarbeit nötig, wie wir gleich sehen werden.

Sinussatz – Winkel berechnen

Der Winkel $\alpha$ und alle Seiten sind bekannt. Nun stellen wir den Sinussatz nach dem Winkel $\beta$ um:

$\dfrac{\sin(\alpha)}{a} = \dfrac{\sin(\beta)}{b} \quad \Big\vert~\cdot b$

$\dfrac{\sin(\alpha) \cdot b}{a} = \sin(\beta)$

Jetzt können wir $b = 9$ und $a = 5{,}18$ sowie $\alpha = 33{,}4^{\circ}$ einsetzen:

$\dfrac{\sin(33{,}4) \cdot 9}{5{,}18} = \sin(\beta)$

Wir isolieren den Winkel $\beta$ mit $sin^{-1}$, das ist der Arcussinus (man findet ihn auf dem Taschenrechner abgekürzt als arcsin oder asin oder $sin^{-1}$), also die Umkehrung des Sinus, und lösen mit dem Taschenrechner:

$\beta = sin^{-1} \left( \dfrac{\sin(33{,}4) \cdot 9}{5{,}18} \right)$

$\beta \approx 73^{\circ}$

Gut, damit kann Piet endlich ablegen. Aber siehe da, der Nebel hat sich schon wieder verzogen.

Sinussatz umstellen

Die Formel des Sinussatzes lässt sich so umstellen, dass du fehlende Werte ermitteln kannst. Oft ist dabei auch die Formulierung mit den Kehrwerten der jeweiligen Brüche hilfreich. Auch wenn die Formel je nach Umformung anders aussieht, beschreibt sie trotzdem noch die Winkel- und Seitenverhältnisse im allgemeinen Dreieck.

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}$
lässt sich beispielsweise durch Multiplikation mit $\sin(\alpha)$ umformen zu
$a = \dfrac{b}{\sin(\beta)} \cdot \sin(\alpha)$.
So kann beispielsweise mit Hilfe des Sinussatzes die Länge der Seite $a$ ermittelt werden.

Auch die anderen Werte der Seitenlängen und Winkel lassen sich mit entsprechenden Umformungen ermitteln. Die passende Umformung wählst du am besten je nachdem, welche Werte angegeben bzw. bekannt sind.

Zusammenfassung von Sinus- und Cosinussatz

  • Der Sinussatz gibt eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten an.
  • Die Formel des Sinussatzes lautet $\large{\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}}$
  • Der Cosinussatz vereinfacht ebenfalls die Beschreibung von geometrischen Beziehungen in allgemeinen, nicht-rechtwinkligen Dreiecken.
    Der Cosinussatz kann für jede Seite eines Dreiecks gesondert formuliert werden.
  • Nach dem Cosinussatz gilt:
    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha)$
    $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos(\beta)$
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma)$

  • Die Formeln von Sinus- und Cosinussatz lassen sich so umstellen, dass einzelne Werte von Winkeln und Seitenlängen berechnet werden können, je nachdem welche Größen gegeben sind.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinussatz und Cosinussatz

Was ist der Sinussatz?
Wie wird der Sinussatz hergeleitet?
Wann sollte man den Sinussatz verwenden?
Wie kann der Sinussatz in der Praxis angewendet werden?
Was ist der Cosinussatz?
Wie wird der Cosinussatz hergeleitet?
Wann sollte man den Cosinussatz verwenden?
Wie kann der Cosinussatz in der Praxis angewendet werden?

Transkript Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

Piet ist für 3 Leuchttürme verantwortlich: Alter Anleger, Blaue Bucht und Cap Capri. Gerade hat Piet, der Leuchtturmwärter, bemerkt, dass einer seiner 3 Leuchttürme ausgefallen ist. Die Situation ist brenzlig und Piet muss schnell handeln. Zu allem Übel zieht ausgerechnet jetzt dichter Nebel auf. Wie soll er bei diesem Wetter zum Leuchtturm finden? Nun, ganz einfach. Für die Kursberechnung nutzt Piet den Sinus- und Cosinussatz.

Cosinussatz - Erklärung

Sind 2 Seiten und ein Winkel oder 3 Seiten eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks bekannt, hilft dir der Cosinussatz weiter. Da Piet die Entfernungen zwischen den Leuchttürmen aus dem FF kennt, muss er nur den Winkel berechnen, um sein Boot auf Kurs zu bringen. Sehen wir uns mal die Formeln an. Wenn du genauer hinschaust, siehst du, dass sie dem Satz des Pythagoras sehr ähneln. Nehmen wir das mal genauer unter die Lupe. Kommt dir der erste Teil der Gleichung bekannt vor? Genau! Das ist der Satz des Pythagoras! Kannst du ein Muster erkennen? Um zum Cosinussatz zu kommen, ziehen wir das Produkt des Cosinus des Winkels, der der gesuchten Seite gegenüberliegt, sowie 2 Mal das Produkt der beiden anderen Seiten vom Satz des Pythagoras ab. Aber welche der Formeln verwenden wir jetzt?

Cosinussatz - Berechnung

Da Alpha die gesuchte Größe ist, können wir diese Formel nutzen, müssen sie aber zuerst nach Cosinus von Alpha umstellen. Wir subtrahieren b² und c²... und wir teilen durch -2bc auf beiden Seiten der Gleichung. Nun ist Cosinus Alpha isoliert. Piets Wissen nach beträgt die Entferung zwischen der Blauen Bucht und Cap Capri 5,18 km, zwischen Cap Capri und dem Alten Anleger 9 km und zwischen Alter Anleger und der Blauen Bucht 6 km. Er setzt diese Zahlen in den Cosinussatz ein. Cosinus hoch -1 ist der Arcus-Cosinus, also die Umkehrung des Cosinus'. Wir nutzen ihn, um Alpha zu isolieren. Wir setzen die Werte für a, b und c ein und lösen mit dem Taschenrechner. Super! Mit dem richtigen Kurswinkel kann sich Piet jetzt auf den Weg zum Cap Capri machen. Oh nein...die neue Glühbirne ist über Bord gegangen. Um Ersatz zu holen muss Piet zur Blauen Bucht fahren. Aber nun muss er den Kurs von der Blauen Bucht zum Cap Capri berechnen. Piet kann mit dem Cosinussatz den Winkel Beta berechnen, aber da er die Entfernungen und einen der Winkel kennt, kann er jetzt auch den Sinussatz verwenden.

Sinussatz - Erklärung

Schau dir die Formel an. Die Variablen im Zähler geben die Länge der 3 Seiten a, b und c an, im Nenner steht der Sinus DES Winkels, der der jeweiligen Seite gegenüberliegt. Natürlich kannst du die Formel auch umdrehen. Verwende einfach die Variante, mit der sich die gesuchte Größe am leichtesten finden lässt. Berechnen wir Winkel Beta mit den bekannten Größen.

Sinussatz - Berechnung

Winkel Alpha und alle Seiten sind bekannt. Nun stellen wir nach Beta um: Wir multiplizieren mit b. Anschließend nutzen wir wieder die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen, hier den Arcus-Sinus, um den Winkel Beta zu isolieren. Zum Schluss lösen wir mit dem Taschenrechner. Gut, jetzt kann es aber wirklich losgehen...doch im Nebel erspäht er...eine Meerjungfrau? Ach, ein KLEINER Umweg hat noch niemandem geschadet... Oops. DAS ist keine Meerjungfrau...

5 Kommentare
5 Kommentare
  1. Ich schreibe morgen Mathe und dieses Video hat mir gerade das Leben gerettet.

    Von Amina, vor fast 2 Jahren
  2. Einbiischen zu viel überflüssige Sachen

    Von Yiren Y., vor mehr als 4 Jahren
  3. mein Lieblings Video

    Von Elias G., vor fast 6 Jahren
  4. @Tobib1992: Das Ergebnis der Rechnung in dem Video ist korrekt. Du scheinst einen Rechenfehler gemacht zu haben. Berechne den Zähler und den Nenner getrennt voneinander und berechne dann den Quotienten. Anschließend berechnest du den Arkus-Cosinus von deinem Ergebnis. Dann solltest du auf den entsprechenden Winkel von rund 33,4° kommen.

    Von Thomas Scholz, vor fast 7 Jahren
  5. Wie wird der Winkel bei 2:30 Minuten genau berechnet?
    wenn ich das in den Rechner eingebe, bekomme ich 83,7 Grad raus.

    Von Tobib1992, vor fast 7 Jahren

Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Winkel $\alpha$ mithilfe des Cosinussatzes für Piets Navigation.

    Tipps

    Isoliere zunächst $\cos(\alpha)$.

    Verwende hierfür Äquivalenzumformungen.

    Um bei gegebenem Cosinuswert den Winkel zu berechnen, muss der Cosinus umgekehrt werden.

    Dies ist die $\cos^{-1}$ Taste auf deinem Taschenrechner.

    Lösung

    In dieser brenzligen Situation kann Piet den Cosinussatz verwenden, da alle drei Seitenlängen bekannt sind. Da nach dem Winkel $\alpha$, dem Winkel in $A$, gesucht wird, kann man den folgenden Cosinussatz verwenden:

    $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$

    Um $\alpha$ zu berechnen, muss man diese Gleichung so umformen, dass $\cos(\alpha)$ alleine steht:

    $\begin{array}{rclll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2bc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \end{array}$

    Geschafft! Nun können die bekannten Werte für die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ in dieser Gleichung eingesetzt werden:

    $\cos(\alpha)=\frac{5,18^2-9^2-6^2}{-2~\cdot~9~\cdot~6}$

    Zuletzt wird mithilfe des Arcuscosinus $\cos^{-1}$, umgekehrt, um $\alpha$ zu isolieren, und man erhält:

    $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{5,18^2-9^2-6^2}{-2~\cdot~9~\cdot~6}\right)\approx33,4^\circ$

    Mit dem Wissen, dass der Winkel $\alpha \approx33,4^\circ$ ist, kann Piet nun schnell losfahren, um den Leuchtturm zu reparieren.

  • Berechne den Winkel $\beta$ mit dem Sinussatz für Piets Fahrt zum Cap Capri.

    Tipps

    Forme zunächst den Sinussatz so um, dass der Sinus des gesuchten Winkels alleine steht.

    Setze dann die bekannten Werte in diese umgeformte Formel ein und löse mit dem Taschenrechner. Die Umkehrung des Sinus ist der Arcussinus $\sin^{-1}$.

    Es werden nicht alle gegebenen Größen benötigt.

    Lösung

    Wir starten mit der Gleichung

    $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}$

    Diese Gleichung gilt auch, wenn man auf beiden Seiten den Kehrwert bildet:

    $\frac{\sin(\alpha)}a=\frac{\sin(\beta)}b$

    Jetzt kannst du mit $b$ multiplizieren:

    $\sin(\beta)=\frac{\sin(\alpha)}a\cdot b$

    Nun kannst du die bekannten Werte einsetzen:

    $\sin(\beta)=\frac{\sin(33,4^\circ)}{5,18}\cdot 9$

    Zuletzt wird der Sinus mithilfe des Arcussinus, also $sin^{-1}$, umgekehrt, um $\beta$ zu isolieren:

    $\beta=\sin^{-1}\left(\frac{\sin(33,4^\circ)}{5,18}\cdot 9\right)\approx 73^\circ$

    Der Winkel $\beta$ ist also rund $ 73^\circ$ Grad groß. Nun kann Piet mit diesem Wissen sicher zum Leuchtturm fahren.

  • Bestimme die passende Gleichung mithilfe des Cosinussatzes.

    Tipps

    Vielleicht hilft es dir, wenn du zuerst den Cosinussatz aufschreibst, der den Winkel $\alpha$ bei $A$ beinhaltet.

    Beschrifte die Seiten mit den Kleinbuchstaben der Punkte, denen sie gegenüberliegen.

    Lösung

    In jedem der Beispiele wird der folgende Cosinussatz verwendet:

    $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$.

    Da jedes Mal der Winkel $\alpha$ bestimmt werden soll, wird diese Formel zunächst nach $\cos(\alpha)$ umgeformt:

    $\begin{array}{rclll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2bc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \end{array}$

    In diese umgeformte Gleichung können nun die bekannten Größen eingesetzt werden:

    Dreieck mit den Seitenlängen $a=5,18$, $b=9$ und $c=6$:

    $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{5,18^2-9^2-6^2}{-2~\cdot~ 9~\cdot ~6}\right)\approx33,4^\circ$

    Dreieck mit den Seitenlängen $a=9$, $b=8$ und $c=7$:

    $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{9^2-8^2-7^2}{-2~\cdot~8~\cdot ~7}\right)\approx 73,4^\circ$

    Dreieck mit den Seitenlängen $a=2$, $b=3$ und $c=4$:

    $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{2^2-3^2-4^2}{-2~\cdot~ 3~\cdot~ 4}\right)\approx 29^\circ$

    Dreieck mit den Seitenlängen $a=7$, $b=8$ und $c=9$:

    $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{7^2-8^2-9^2}{-2~\cdot~ 8~\cdot~ 9}\right)\approx 48,2^\circ$

  • Finde den Winkel, den Piet braucht, um zur Insel von Nils zu gelangen.

    Tipps

    Überlege dir, wie du den Cosinussatz verwenden kannst, um den gesuchten Winkel zu berechnen.

    Erinnere dich: Die Seiten benennst du im Dreieck immer genau so, wie den gegenüberliegenden Punkt, allerdings in Kleinbuchstaben.

    Beim Cosinussatz kannst du die Variablen für die Seiten $a$, $b$ und $c$ sowie die zugehörigen Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ auch gegen andere Variablen austauschen, solange du das konsequent an allen Stellen machst, zum Beispiel alle $a$ gegen $d$ und zudem auch Winkel $\alpha$ gegen $\delta$ austauschst.

    Lösung

    Piet muss den Winkel in $A$, also $\alpha$, herausfinden.

    Bekannt sind die Seitenlängen $a=4$, $c=6,5$ und $d=9$.

    Mit diesen Größen lautet der Cosinussatz dann

    $a^2=c^2+d^2-2cd\cdot \cos(\alpha)$.

    Diese Gleichung wird nach $\cos(\alpha)$ umgeformt:

    $\begin{array}{rclll} a^2&=&c^2+d^2-2cd\cdot \cos(\alpha)&|&-c^2-d^2\\ a^2-c^2-d^2&=&-2cd\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2dc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-c^2-d^2}{-2cd} \end{array}$

    Nun können die bekannten Größen in dieser Formel eingesetzt werden:

    $\cos(\alpha)=\frac{4^2-6,5^2-9^2}{-2~\cdot~ 6,5~\cdot~ 9}$.

    Um den Winkel $\alpha$ zu erhalten, wird der Cosinus umgekehrt:

    $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{4^2-6,5^2-9^2}{-2~\cdot ~6,5~\cdot ~9}\right)\approx 23,6^\circ$.

  • Prüfe, welche Formeln zum Cosinussatz fehlerfrei aufgeschrieben wurden.

    Tipps

    Achte auf die Vorzeichen.

    Zwei Gleichungen sind korrekt.

    Der erste Teil der Formel sieht so ähnlich aus wie der Satz des Pythagoras; und davon wird etwas subtrahiert:

    Das Doppelte des Produktes der beiden Seiten, deren Quadrate addiert werden, multipliziert mit dem Cosinus des gegenüberliegenden Winkels der Seite, die auf der linken Seite der Gleichung steht.

    Lösung

    Der Cosinussatz besteht eigentlich aus drei Formeln. Bei jeder dieser Formeln steht das Quadrat einer der drei Seiten auf der linken Seite der Gleichung. Der Cosinus des dieser Seite gegenüberliegenden Winkels taucht auf der rechten Seite auf.

    1. $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$
    2. $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta)$
    3. $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$
    Wie kann man sich diesen Satz gut merken?

    Schau dir bei der ersten Formel die linke Seite sowie die beiden Summanden auf der rechten Seite an: Das sieht aus wie der Satz des Pythagoras, $a^2=b^2+c^2$. Davon wird etwas subtrahiert: Das Doppelte des Produktes der beiden Seiten, deren Quadrate addiert werden, multipliziert mit dem Cosinus des gegenüberliegenden Winkels der Seite, die auf der linken Seite der Gleichung steht.

    Bei den obigen Auswahlmöglichkeiten sind also nur die 1. und 3. richtig.

  • Ermittle die Winkel, welche potenzielle neue Positionen für Leuchttürme darstellen.

    Tipps

    Schaue dir den Cosinus- sowie den Sinussatz nochmal an.

    In jedem der drei Dreiecke kennst du die Längen der drei Seiten.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Im Sinussatz kommen zwei Winkel und zwei Seiten vor.

    Lösung

    Da in jedem der Dreiecke drei Seiten bekannt sind, muss Piet jeweils den Cosinussatz verwenden. Dieser wird dann nach dem gesuchten Winkel umgeformt und die bekannten Größen können in der so erhaltenen Formel eingesetzt werden:

    Die Formel $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$ kann wie folgt umgeformt werden

    $\begin{array}{rclll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2bc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}&|&\cos^{-1}\\ \alpha&=&\cos^{-1}\left(\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\right)\end{array}$

    Ebenso kann

    $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$ umgeformt werden zu

    $\beta=\cos^{-1}\left(\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\right)$

    und $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$ zu

    $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{c^2-a^2-b^2}{-2ab}\right)$

    Nun bleibt nur noch übrig, in jedem der Dreiecke zu entscheiden, welche dieser drei Formeln man verwenden kann (von oben nach unten):

    $\beta=\cos^{-1}\left(\frac{12^2-11^2-8^2}{-2~\cdot ~11~\cdot ~8}\right)\approx76,5^\circ$

    $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{5^2-7^2-10^2}{-2~\cdot~ 7~\cdot~ 10}\right)\approx27,7^\circ$

    $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{20^2-13^2-11^2}{-2~\cdot~ 13~\cdot~ 11}\right)\approx112,6^\circ$