Allgemeine und natürliche Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion

Hallo, schön, dass ihr wieder reinschaut. In diesem Video geht es um den Bezug zwischen den allgemeinen Exponental- und Logarithmus-Funktionen und den natürlichen, also e^x und lnx und wie man aus diesem Bezug die Ableitung der allgemeinen Funktionen ausrechnen kann. Okay, ich habe ja schon mal ein Video gemacht zur Exponentialfunktion, deswegen kommt jetzt hier am Anfang erst mal nur eine kleine Auffrischung dazu. Eine allgemeine Exponentialfunktion hat die Gestalt a^x, wobei das a positiv ist und nicht 1 sein darf. Der Graf der natürlichen Exponentialfunktion sieht in etwa so aus und der Graf der Funktion 2^x ungefähr so. Allgemein steigt der Graf, wenn die Basis größer als 1 ist und er fällt, wenn die Basis kleiner als 1 ist. Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen und der Wertebereich die positiven reellen Zahlen. So, jetzt schauen wir mal, wie wir das leicht umformen können. In a^x kann ich a durch den Term e^lna ersetzen, denn e und ln heben sich gegenseitig auf. Dann ist das also e^lnax und das ist e^x×lna. Das heißt, eine allgemeine Exponentialfunktion ist eigentlich eine Exponentialfunktion zur Basis e mit einem kleinen Faktor von dem Exponenten. Jetzt schauen wir uns noch mal an, wie wir das am Grafen deuten können. Wenn die Basis größer als die eulische Zahl ist, dann ist der ln von der Basis, also größer als 1. Das heißt, der Faktor hiervon und bei dem x ist größer als 1. Das entspricht also einer Stauchung der x-Achse und der Graf der Funktion läuft steiler. Ist die Basis kleiner als e, ist der ln kleiner als 1, das heißt, der Faktor vor dem x ist kleiner als 1. Das entspricht dann einer Streckung der x-Achse und der Graf der Funktion verläuft flacher. So und mithilfe dieser Beziehungen lässt sich die Funktion auch ganz leicht ableiten. Erstmal haben wir eine Exponentialfunktion. Die bleibt also stehen und dann haben wir noch die innere Funktion x×lna. Das ist also eine lineare Funktion. Die Ableitung davon ist lna, das heißt, lna kommt als Faktor dazu. Die Stammfunktion ist also a^x÷lna und so kann man sich merken, dass man beim Ableiten mit dem ln der Basis multipliziert und beim Integrieren durch den ln der Basis dividiert und der Rest bleibt stehen. Jetzt bestimmen wir noch die Stammfunktion. Die Stammfunktion von lna×a^x ist also a^x, das haben wir gerade gesehen. Das heißt, um auf die Stammfunktion von a^x zu kommen, müssten wir nur noch durch die konstante Zahl lna teilen. Die Stammfunktion ist also a^x÷lna und so kann man sich merken, dass man beim Ableiten mit dem ln der Basis multipliziert und beim Integrieren durch den ln der Basis dividiert und der Rest bleibt stehen. Jetzt schauen wir uns die allgemeine Logarithmusfunktion an. Ich setze also voraus, dass man die natürliche Logarithmusfunktion schon kennt. Deren Graf sieht so aus, die geht durch den Punkt 1 0, steigt dann langsam in das Unendliche und für x gegen 0 geht sie minus unendlich. Die allgemeine Logarithmusfunktion hat die Gestalt f(x)= Logarithmus aus x zur Basis a, wobei das a natürlich wieder größer 0 sein muss und ungleich 1. Der Definitionsbereich sind die positiven, reellen Zahlen und der Wertebereich sind die reellen Zahlen. Also genau umgekehrt wie bei den Exponentialfunktionen, denn das ist ja die Umkehrfunktion. Jetzt nehmen wir mal die Logarithmusfunktion zur Basis 2. Für x=2 halte ich also den Wert 1, für x=1 den Wert 0 und für x=½ also den Wert -1. Wir beobachten schon mal, dass wenn die Basis kleiner wird und 2 ist ja kleiner als die eulische Zahl, dass dann der Graf nach oben geht. Jetzt nehmen wir die Basis 4, da haben wir also 4x=4, dann wären y=1, dann den Punkt 1 0 wie immer und bei x=¼ haben wir den Wert -1. Der Graf sieht dann so aus und wir sehen dass, wenn die Basis größer wird, der Graf weiter nach unten geht. Jetzt nehmen wir mal noch eine Basis die kleiner ist als 1. Logarithmus aus ½ zur Basis ½ ist 1. Logarithmus aus 1 zur Basis ½ ist 0 und Logarithmus aus 2 zur Basis ½ ist -1. Die geht also so nach unten. Die Grafen gehen alle durch den Punkt 1 0, denn der Logarithmus aus 1 zu egal welcher Basis ist immer 0. Den Term Logarithmus aus x zur Basis a kann man mit Logarithmusgesetzen umformen zu lnx÷lna und das ist 1÷lna×lnx. Das heißt, eine allgemeine Logarithmusfunktion ist eigentlich nur eine natürliche Logarithmusfunktion, die um einen konstanten Faktor gestreckt oder gestaucht wurde. Ist die Basis kleiner als e, ist deren Logarithmus kleiner als 1 und dann ist 1÷lna>1. Das heißt, dann haben wir eine Streckung in Richtung der y-Achse. Das haben wir ja eben auch schon gesehen. Ist die Basis größer als e, ist deren ln größer als 1 und dessen Kehrwert ist kleiner als 1, das heißt, wir haben dann eine Stauchung in Richtung der y-Achse. Der Graf verläuft flacher. Und wenn die Basis kleiner ist als 1, ist die ln kleiner als 0, das heißt, der Faktor ist negativ und die ln-Funktion wird gespiegelt. So wie in dem Fall Logarithmus zur Basis ½. Jetzt können wir auch die Ableitung bestimmen. Wir haben also einen Faktor vor einer Funktion, deren Ableitung wir kennen, also lassen wir den Faktor stehen und schreiben einfach die Ableitung der Funktion, also 1÷x. Die Ableitung ist also 1÷lna×1÷x. Und auch bei der Stammfunktion können wir den konstanten Faktor außen vor lassen und brauchen nur die Stammfunktion von lnx zu betrachten und die ist x×lnx-1. Also ist die Stammfunktion 1÷lna×x×lnx-1. Okay, das war es und ich hoffe, ihr schaut bald mal wieder rein.