Ähnliche Rechtecke

Ähnliche Rechtecke Übung

• Beschreibe anschaulich, was Ähnlichkeit von Rechtecken bedeutet.

  Tipps

  Das gelbe Rechteck in diesem Beispiel deckt das rote nicht komplett ab. Wenn du das gelbe Rechteck weiter vergrößerst, deckt es zwar das rote ab. Allerdings deckt umgekehrt das rote nicht das gelbe Rechteck ab. Diese Rechtecke sind nicht ähnlich.

  Hier siehst du noch einen weiteren Zwischenschritt.

  Lösung

  Wenn du das kleinere gelbe Rechteck auf das größere rote legst, decken die beiden Rechtecke sich nicht ab.

  Bewegst du allerdings das gelbe Rechteck immer mehr in Richtung deines Auges, dann erkennst du, dass der sichtbare rote Bereich immer kleiner wird. Schließlich deckt das gelbe Rechteck das rote komplett ab. Die Rechtecke sind also deckungsgleich. Das kannst du hier sehen.

  Wenn dies möglich ist, dann sind die Rechtecke ähnlich zueinander.

• Fasse zusammen, was Ähnlichkeit von Rechtecken bedeutet.

  Tipps

  Die Seitenlängen eines Rechtecks werden häufig mit $a$ sowie $b$ bezeichnet.

  Bei ähnlichen Rechtecken gilt, mathematisch, $\frac ab=$ konstant.

  Multipliziere bei einem Rechteck mit den Seitenlängen $a=10~\text{cm}$ und $b=8~\text{cm}$ die eine Seite, zum Beispiel $a$, mit $2$. Wenn du auch $b$ mit $2$ multiplizierst, erhältst du ein ähnliches Rechteck.

  Lösung

  Du weißt nun, wie du anschaulich Ähnlichkeit nachweisen kannst. Das hat allerdings einen Nachteil: Du musst jedes Mal die Rechtecke ausschneiden und das kleinere so an dein Auge bewegen, dass es das größere komplett abdeckt. Wenn die Rechtecke sehr groß sind, wirst du merken, dass du diese gar nicht auf ein Blatt Papier zeichnen kannst, geschweige denn ausschneiden.

  Du kannst dir hierfür Merksätze einprägen:

  1. Ähnliche Rechtecke gehen durch Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander über. Dies entspricht der oben dargestellten Anschauung.
  2. Rechtecke sind genau dann ähnlich, wenn die Verhältnisse der Längen beider Seiten gleich sind. Was bedeutet das?

  Schau dir hierfür ein Beispiel an: Rechteck $1$ hat die Seitenlängen $24~\text{cm}$ sowie $16~\text{cm}$ und Rechteck $2$ die Seitenlängen $12~\text{cm}$ sowie $8~\text{cm}$. Bestimme nun jeweils das Verhältnis der Seitenlängen:

  • $\frac{24~\text{cm}}{16~\text{cm}}=\frac{24}{16}=\frac32$ und
  • $\frac{12~\text{cm}}{8~\text{cm}}=\frac{12}{8}=\frac32$.

  Umgekehrt kannst du sehen, zum Beispiel an den längeren Seiten, dass $2\cdot12~\text{cm}=24~\text{cm}$ ist. Ebenso gilt für die kürzeren Seiten $2\cdot 8~\text{cm}=16~\text{cm}$.

• Entscheide, welches der Rechtecke ähnlich zu dem roten Rechteck ist.

  Tipps

  Du kannst die Seitenlängen $a=8$ sowie $b=4$ des Rechtecks durch Zählen der Kästchen auf dem Papier ermitteln.

  Das Verhältnis der Seitenlängen des roten Rechtecks ist $8:4=2:1$.

  Ein zu dem roten Rechteck ähnliches Rechteck muss ebenfalls das Seitenverhältnis $2:1$ von längerer zu kürzerer Seite haben.

  Ein Quadrat hat das folgende Verhältnis der Seitenlängen zueinander: $1:1$.

  Lösung

  1. Ähnliche Rechtecke gehen durch Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander über.
  2. Rechtecke sind genau dann ähnlich, wenn die Verhältnisse der Längen beider Seiten gleich sind.

  Die zweite Beschreibung kannst du in dieser Aufgabe üben.

  Das rote Rechteck hat das Verhältnis $8:2=2:1$ der längeren zu der kürzeren Seitenlänge.

  Jedes dazu ähnliche Rechteck muss das gleiche Seitenverhältnis aufweisen.

  Dies ist der Fall bei den folgenden Rechtecken:

  • (2) $6:3=2:1$,
  • (5) $4:2=2:1$ und
  • (6) $2:1$.

  Bei allen übrigen Rechtecken liegt ein anderes Seitenverhältnis vor. Zum Beispiel ist das Rechteck (1) ein Quadrat. Dieses hat das Seitenverhältnis $1:1$.

• Ermittle das Verhältnis der Seitenlängen und bestimme die fehlenden Seitenlängen so, dass alle Rechtecke ähnlich zueinander sind.

  Tipps

  Wenn du einen Bruch kürzen möchtest, kannst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.

  Wenn die längere Seite bekannt ist, multiplizierst du diese mit dem Kehrwert des ermittelten Teilungsverhältnisses.

  Wenn die kürzere Seite bekannt ist, multiplizierst du diese mit dem ermittelten Teilungsverhältnis.

  Lösung

  Ermittle zunächst das Teilungsverhältnis der längeren zu der kürzeren Seite des gegebenen Rechtecks 1: $\frac{20}8=\frac52$.

  Dieses Seitenverhältnis müssen auch die beiden anderen Rechtecke aufweisen, damit sie ähnlich zu Rechteck 1 sind.

  Rechteck $2$

  Bekannt ist die kürzere Seite $b=6~\text{cm}$. Es muss also gelten:

  $\frac{a}{6~\text{cm}}=\frac52$.

  Multipliziere mit $6~\text{cm}$. Dies führt zu $a=\frac52 \cdot 6~\text{cm}=15~\text{cm}$.

  Rechteck $3$

  Bei diesem Rechteck ist die längere der beiden Seiten bekannt. Es ist sinnvoll, hier den Kehrwert des Teilungsverhältnisses zu verwenden:

  $\frac{b}{10~\text{cm}}=\frac25$.

  Multipliziere mit $10~\text{cm}$. Dies führt zu $b=\frac25 \cdot 10~\text{cm}=4~\text{cm}$.

• Gib an, ob die Rechtecke vergrößert oder verkleinert werden.

  Tipps

  Was bedeutet Vergrößerung oder Verkleinerung? Das kannst du dir zum Beispiel an den Seitenlängen klarmachen. Werden diese größer, so erhältst du ein vergrößertes Rechteck.

  • Die abgebildeten Rechtecke sind alle ähnlich zueinander.
  • Sie sind auch so angeordnet, dass die einander entsprechenden Seiten immer parallel zueinander sind.

  Lösung

  Wenn du ein Rechteck entweder verkleinerst oder vergrößerst, erhältst du ein ähnliches Rechteck. Diese beiden Umformungen der Rechtecke werden auch häufig zusammengefasst zu zentrischen Streckungen.

  Dies kannst du hier am Beispiel der abgebildeten ähnlichen Rechtecke sehen.

  • Wenn du das Rote verkleinerst, erhältst du das Gelbe oder das Blaue. Dies ist kenntlich gemacht durch die blauen Pfeile.
  • Wenn du das Blaue vergrößerst, erhältst du das Gelbe oder das Rote. Dies erkennst du an den roten Pfeilen.

• Leite den Zusammenhang zwischen dem Verhältnis der Seitenlängen zueinander sowie dem der Flächeninhalte her.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ ist gegeben durch $A=a\cdot b$.

  Beachte, dass jede der beiden Seiten mit dem gleichen Faktor multipliziert wird.

  Lösung

  Wenn du die Seitenlängen des roten Rechtecks mit dem Faktor $1,5$ multiplizierst, erhältst du die Seitenlängen des grünen Rechtecks.

  Wie sieht das Teilungsverhältnis der Flächeninhalte aus?

  • Das rote Rechteck hat den Flächeninhalt $4\cdot 2=8$.
  • Das grüne Rechteck hat den Flächeninhalt $6\cdot 3=18$.

  Es gilt $\frac{18}{8}=2,25$. Dieses Ergebnis ist gerade das Quadrat des obigen Faktors $1,5^2=2,25$.

  Du kannst dies auch direkt über die Flächenberechnung des grünen Rechtecks mit dem Faktor $k=1,5$ nachweisen:

  $A=k\cdot 4\cdot k\cdot 2=k\cdot k\cdot 4\cdot 2=k^2\cdot 8$.

  Es gilt also, dass der Flächeninhalt des grünen Rechtecks das $k^2$-fache des Flächeninhaltes des roten Rechtecks ist. Hier ist $k=1,5$, also $k^2=2,25$.