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Additionsverfahren – Übung

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Die Autor*innen
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Team Digital
Additionsverfahren – Übung
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Additionsverfahren – Übung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen mit HIlfe des Additionsverfahrens zu lösen.

Zunächst lernst du, wie du eine Textaufgabe in ein lineares Gleichungssystem übersetzt. Anschließend siehst du, wie du dieses Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren lösen kannst. Abschließend lernst du, wie du erkennst welches Lösungsverfahren für ein bestimmtes lineares Gleichungssystem am besten geeignet ist.

Additionsverfahren

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Gleichung, Variable, lineares Gleichungssystem, Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und Einsetzungsverfahren.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein lineares Gleichungssystem ist.

Transkript Additionsverfahren – Übung

Stell dir vor, du verbringst das Wochenende auf dem Bauernhof und möchtest unbedingt wissen, wie viele Kühe und wie viele Hühner es dort gibt. Du weißt aber nur, wie viele Tiere es insgesamt sind und wie viele Beine sie zusammen haben. Klingt unrealistisch? Naja, es handelt sich wahrscheinlich um eine Schulaufgabe. Wie wir diese mit dem „Additionsverfahren“ lösen können, schauen wir uns jetzt mal genauer an. Folgende Informationen sind uns gegeben: Kühe und Hühner sind zusammengenommen siebenundzwanzig Tiere. Und die Anzahl ihrer Beine beträgt insgesamt achtundsiebzig. Es gibt zwei Unbekannte. Um diese zu ermitteln, müssen wir die gegebenen Infos zunächst in zwei Gleichungen übersetzen. Die Anzahl der Kühe bekommt die Variable k, und die der Hühner die Variable h. Durch den ersten Satz wissen wir, dass k plus h siebenundzwanzig ergeben muss. Um die zweite Information in eine Gleichung zu übersetzen, multiplizieren wir k mit vier – Kühe sind schließlich Vierbeiner – und h mit zwei. In Summe muss das achtundsiebzig Beine ergeben. Jetzt haben wir zwei Gleichungen mit jeweils zwei Variablen: ein lineares Gleichungssystem. Das können wir mit dem Additionsverfahren lösen. Dieses zielt darauf ab, die beiden Gleichungen so zu addieren, dass eine Variable dabei wegfällt. Oft müssen wir dafür zuerst eine der beiden Gleichungen multiplizieren. Damit wir in der ersten Gleichung vor dem h die Gegenzahl von zwei – sprich minus zwei – erhalten, können wir die Gleichung mit minus zwei multiplizieren. So erhalten wir die Gleichung „eins a“. Jetzt können wir die beiden Gleichungen einfach addieren. Dadurch fällt das h weg, weil sich „minus zwei h“ und „plus zwei h“ gegenseitig aufheben. Wir teilen durch zwei, und haben so die Anzahl an Kühen bestimmt. Es sind zwölf! Jetzt müssen wir das Ergebnis nur noch in eine unserer beiden Ausgangsgleichungen einsetzen – hier bietet sich die erste Gleichung an – und können so auch die Anzahl der Hühner bestimmen: Es sind fünfzehn. Um unsere Lösung zu überprüfen, können wir die berechneten Werte in unsere beiden Ausgangsgleichungen einsetzen. Die Probe zeigt: beide Gleichungen sind erfüllt. Unsere Lösung ist also richtig. Wie wir das Additionsverfahren bei einer Textaufgabe anwenden können, haben wir jetzt gesehen. Doch um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, können wir nicht nur das Additionsverfahren, sondern auch das Einsetzungs- oder das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Hier siehst du drei lineare Gleichungssysteme: Bei welchen würdest du das Additionsverfahren verwenden? Pausiere das Video kurz und überlege selbst, dann schauen wir uns das Ganze gemeinsam an. Bei dem ersten Gleichungssystem ist das Additionsverfahren definitiv am Besten geeignet, denn wenn wir die beiden Gleichungen addieren, fällt die Variable x direkt weg. Bei dem zweiten Gleichungssystem bietet sich hingegen eindeutig das Einsetzungsverfahren an. Die erste Gleichung ist schließlich schon nach y aufgelöst. Bei dem dritten Gleichungssystem wären für das Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren mehrere Umformungsschritte nötig. Für das Additionsverfahren reicht hingegen ein einziger Schritt: Wir müssen die erste Gleichung nur mit zwei multiplizieren und die Gleichungen anschließend addieren. So fällt y weg. Wie du siehst, kann uns das Additionsverfahren manchmal also sehr viel Rechenaufwand sparen! Wir fassen das Gelernte also noch einmal kurz und knapp zusammen. Das Additionsverfahren ist ein mögliches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Wenn wir eine Textaufgabe lösen wollen, müssen wir zuerst aus den gegebenen Informationen zwei Gleichungen mit zwei Variablen aufstellen. Das Ziel ist es dann, die Gleichungen so zu addieren, dass eine Variable wegfällt. Deshalb formen wir die Gleichungen, wenn nötig, so um, dass die Vorfaktoren einer Variablen in der ersten und zweiten Gleichung Gegenzahlen voneinander sind. Danach müssen wir die Gleichungen nur noch addieren. So fällt eine Variable weg und wir können den Wert der anderen berechnen. Anschließend müssen wir den berechneten Wert nur noch in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen und können so auch den Wert für die zweite Variable ermitteln. Zum Schluss führen wir eine Probe durch, um unsere Lösung zu überprüfen. Außerdem lohnt es sich, bei einem gegebenen Gleichungssystem kurz zu überlegen, welches Lösungsverfahren am schnellsten – also mit den wenigsten Umformungsschritten – zum Ziel führt. Das kann uns viel Rechenaufwand sparen. Zum Beispiel, wenn wir in einer Mathearbeit mal wieder berechnen sollen, ob Bauer Heinrich noch alle Kühe im Stall, alle Hühner im Gehege oder alle Latten am Zaun hat.

Additionsverfahren – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Additionsverfahren – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man die Textaufgabe mithilfe eines linearen Gleichungssystems lösen kann.

    Tipps

    Damit ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, benötigen wir genauso viele Gleichungen wie Variablen.

    Die Lösung eines Gleichungssystem sind die Werte für die Variablen, in unserem Fall also für $k$ und $h$.

    Lösung

    Verfahren bei Textaufgaben:

    Textaufgaben, in denen zwei Größen gesucht werden, können häufig mit linearen Gleichungssystemen gelöst werden. Dazu werden die Angaben in zwei Gleichungen formuliert. Das lineare Gleichungssystem besteht dann aus diesen zwei Gleichungen, welche die beiden Unbekannten, also zwei Variablen enthalten. So ist es auch in dieser Aufgabe. Somit gilt:

    Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir drei Gleichungen aufstellen. $\mapsto$ falsch

    Aufstellen des Gleichungssystems:

    Wir definieren zunächst die Variablen:
    $k$: Anzahl der Kühe
    $h$: Anzahl der Hühner

    Nun stellen wir das Gleichungssystem zu der Textaufgabe auf, und betrachten dazu die folgenden Angaben:
    Insgesamt gibt es $27$ Tiere. Also: $k+h=27$
    Und diese haben zusammen $78$ Beine. Da Kühe vier Beine und Hühner zwei Beine haben gilt: $4k+2h=78$. Also ist:

    Die Gleichung $2+4+k+h=78$ beschreibt die Gesamtzahl der Beine. $\mapsto$ falsch

    Wir können nun das zugehörige Gleichungssystem formulieren, es lautet:

    $\text{I}:~~k+h=27$

    $\text{II}:~~4k+2h=78$ $\mapsto$ richtig

    Lösen des Gleichungssystems:

    Bei diesem Gleichungssystem bietet sich zum Lösen das Additionsverfahren an, da $2h$ ein Vielfaches von $h$ ist.

    Um das Gleichungssystem zu lösen, wollen wir die beiden Gleichungen so addieren, dass eine Variable dabei wegfällt. $\mapsto$ richtig

    Dadurch können wir in unserem Fall erst die Variable $k$ berechnen. Anschließend setzen wir den ermittelten Wert in eine der beiden Gleichungen ein, und lösen nach $h$ auf.

    Wir berechnen erst die eine und dann die andere Variable. $\mapsto$ richtig

    Interpretation der Lösung:

    Wenn wir die Variablen $k$ und $h$ berechnet haben, ist das Gleichungssystem gelöst. Die Lösung entspricht also der Anzahl der auf dem Bauernhof lebenden Kühe ($k$) und der Anzahl der auf dem Bauernhof lebenden Hühner ($h$).

  • Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren.

    Tipps

    Der erste Schritt beim Additionsverfahren ist es, die Gleichungen so anzupassen, dass die Koeffizienten einer Variable Gegenzahlen sind. Dazu können wir in unserem Fall eine der beiden Gleichungen mit einer ganzen Zahl multiplizieren.

    Als letzten Schritt können wir die Lösung des Gleichungssystems angeben.

    Lösung

    Das Additionsverfahren ist ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Ziel ist es dabei, die beiden Gleichungen so zu addieren, dass eine der Variablen wegfällt.

    Wir betrachten unser Beispiel:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & k & +h & = & 27 \\ \text{II}: & 4k & +2h & = & 78 \\ \end{array}$

    Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $(-2)$ und erhalten:

    $\text{Ia}:~~-2k-2h=-54$

    Wir addieren das so entstandene Gleichungssystem:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{Ia}: & -2k & -2h & = & -54 \\ \text{II}: & 4k & +2h & = & 78 \\ \hline \text{Ia}+\text{II}: & 2k & & = & 24 \\ \end{array}$

    Wir erhalten die Summe als neue Gleichung und bestimmen damit $k$:

    $\begin{array}{rrrrr} 2k & & = & 24 & |:2 \\ k & & = & 12 & \\ \end{array}$

    Wir setzen diesen Wert für $k$ in die erste Gleichung ein und lösen nach $h$ auf:

    $\begin{array}{rrrrr} k & +h& = & 27 & \\ 12 & +h& = & 27 & |-12 \\ & h & = & 15 & \\ \end{array}$

    Die Lösung des Gleichungssystems lautet:

    $k=12$; $h=15$

  • Entscheide, bei welchen Gleichungssystemen sich das Additionsverfahren ohne weitere Umformungsschritte anbietet.

    Tipps

    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & +3y & = & 4 \\ \text{II}: & 5x & -3y & = & 1 \\ \end{array}$

    Hier bietet sich das Additionsverfahren an, denn die Koeffizienten vor dem $y$ sind Gegenzahlen: $3$ und $-3$, .

    Das Ziel des Additionsverfahren ist es, die beiden Gleichungen so zu addieren, dass eine Variable dabei wegfällt. Dazu dürfen sich die Koeffizienten einer Variable in beiden Gleichungen nur im Vorzeichen unterscheiden.

    Lösung

    Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, können wir nicht nur das Additionsverfahren, sondern auch das Einsetzungs- oder das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Alle Lösungsverfahren sind stets möglich. Häufig bietet sich jedoch eines der Verfahren an, um möglichst wenig umformen zu müssen.

    Das Ziel des Additionsverfahren ist es, die beiden Gleichungen so zu addieren, dass eine Variable dabei wegfällt. Dazu dürfen sich die Koeffizienten einer Variable in beiden Gleichungen nur im Vorzeichen unterscheiden. Beispielsweise $2x$ und $-2x$. Ist dies bereits der Fall, bietet sich das Additionsverfahren an. Auch wenn man eine der beiden Gleichungen nur mit einer Zahl multiplizieren oder dividieren muss, ist das Additionsverfahren sinnvoll.

    Wir betrachten nach diesen Kriterien die gegebenen Gleichungssysteme:

    Beispiel 1:

    $\text{I}:~~4x+2y=7$

    $\text{II}:~~5y=3x-1$

    Hier ist kein Koeffizient der einen Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung. Das Additionsverfahren bietet sich daher nicht an.

    Beispiel 2:

    $\text{I}:~~4x+y=6$

    $\text{II}:~~x-y=2$

    Hier unterscheidet sich der Koeffizient von $y$ nur im Vorzeichen: $y$ und $-y$ bzw. $1$ und $-1$. Das Additionsverfahren bietet sich an. Wir können die Gleichungen direkt addieren, die Variable $y$ fällt dabei weg.

    Beispiel 3:

    $\text{I}:~~y=3x+8$

    $\text{II}:~~4x+5y=9$

    Hier ist kein Koeffizient der einen Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung. Das Additionsverfahren bietet sich daher nicht an.

    Beispiel 4:

    $\text{I}:~~1,5x=4$

    $\text{II}:~~2y-x=-2$

    Hier ist kein Koeffizient der einen Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung. Das Additionsverfahren bietet sich daher nicht an. Da in der ersten Gleichung nur eine Variable vorkommt können wir ihren Wert direkt berechnen und dann in die zweite Gleichung einsetzten.

    Beispiel 5:

    $\text{I}:~~-3x+y=0$

    $\text{II}:~~3x+2y=-2$

    Hier unterscheidet sich der Koeffizient der Variable $x$ nur im Vorzeichen: $3$ und $-3$. Das Additionsverfahren bietet sich an. Wir können die Gleichungen direkt addieren, dabei fällt die Variable $x$ weg.

    Beispiel 6::

    $\text{I}:~~3=-2x+4y$

    $\text{II}:~~x-4y=1$

    Hier ist es sinnvoll, die Gleichungen erst so zu ordnen, dass gleiche Variablen untereinanderstehen:

    $\text{I}:~~-2x+4y=3$

    $\text{II}:~~x-4y=1$

    Wir erkennen, dass sich die Koeffizienten von $y$ nur im Vorzeichen unterscheiden: $4$ und $-4$. Das Additionsverfahren bietet sich an. Wir können die Gleichungen addieren, wobei die Variable $y$ wegfällt.

  • Berechne die Lösung des linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren.

    Tipps

    Multipliziere die zweite Gleichung so, dass der Koeffizient von $x$ die Gegenzahl von $2$ ist. Achte beim Multiplizieren der Gleichung darauf, dass du alle Zahlen und Koeffizienten mit dieser Zahl multiplizierst.

    Bei der Probe setzen wir die berechneten Werte für $x$ und $y$ in die beiden Ausgangsgleichungen ein. Wenn bei beiden Gleichungen eine wahre Aussage, wie z.B. $3=3$ entsteht, sind die Lösungen korrekt.

    Lösung

    Das Additionsverfahren ist ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Das Ziel ist es dabei, die beiden Gleichungen so addieren, dass eine Variable dabei wegfällt.

    Wir betrachten unser Beispiel:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & -3y & = & 13 \\ \text{II}: & -x & +2y & = & -8 \\ \end{array}$

    Damit beim Addieren eine der beiden Variablen wegfällt, dürfen sich die Koeffizienten einer Variable in beiden Gleichungen nur im Vorzeichen unterscheiden. Wir multiplizieren dazu die zweite Gleichung mit $2$. Dabei achten wir darauf, alle Zahlen und Koeffizienten mit $2$ zu multiplizieren. Wir erhalten:

    $\text{IIa}:~~-2x+4y=-16$

    Wir addieren das so entstandene Gleichungssystem:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & -3y & = & 13 \\ \text{IIa}: & -2x & +4y & = & -16 \\ \hline \text{I}+\text{IIa}: & & y& = &-3 \\ \end{array}$

    Wir setzen diesen Wert in die zweite Gleichung ein und lösen nach $x$ auf:

    $\begin{array}{rrrrr} -x & +2 \cdot (-3)& = & -8 & \\ -x & -6& = & -8 &|+x \\ & -6& = & -8+x & |+8 \\ & 2 & = & x & \\ \end{array}$

    Die Lösung des Gleichungssystems ist also:

    $x=2$; $y=-3$

    Um zu überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben, führen wir die Probe durch:

    Wir setzen in die erste Gleichung ein:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & -3y & = & 13 \\ & 2 \cdot 2 & -3 \cdot (-3) & = &13 \\ &4 & +9 & = &13 \\ & & 13 & = &13 \\ \end{array}$

    Wir setzen in die zweite Gleichung ein:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{II}: & -x & +2y & = & -8 \\ & -2 & +2 \cdot (-3) & = &-8 \\ &-2 & -6 & = &-8 \\ & & -8 & = &-8 \\ \end{array}$

    Die Lösung ist also richtig.

  • Addiere jeweils die beiden Gleichungen.

    Tipps

    Wir gehen dabei genauso vor wie beim schriftlichen Addieren von großen Zahlen: Wir schreiben die beiden Gleichungen "stellengerecht" untereinander, also so, dass gleiche Variablen untereinander stehen. Wir addieren dann die Koeffizienten der jeweiligen Variablen. Dabei müssen wir auf negative Vorzeichen achten.

    Beispiel:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 2x & +3y & = & 4 \\ \text{II}: & 5x & -3y & = & 1 \\ \hline \text{I}+\text{II}: &7x & & = & 5 \\ \end{array}$

    Lösung

    Der zentrale Rechenschritt beim Additionsverfahren ist das Addieren zweier Gleichungen. Wir gehen dabei genauso vor wie beim schriftlichen Addieren von großen Zahlen: Wir schreiben die beiden Gleichungen "stellengerecht" untereinander, also so, dass gleiche Variablen untereinander stehen. Wir addieren dann die Koeffizienten der jeweiligen Variablen. Dabei müssen wir auf negative Vorzeichen achten. Somit ergibt sich:

    Beispiel 1:
    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 4x & +4y & = & 8 \\ \text{II}: & 2x & -4y & = & 2 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & 6x & & = & 10 \\ \end{array}$

    Beispiel 2:
    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & -2x & +y & = & -3 \\ \text{II}: & 2x & +3y & = & 1 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & &4y & = & -2 \\ \end{array}$

    Beispiel 3:
    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & x & -y & = & 11 \\ \text{II}: & 2x & -y & = & 2 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & 3x & & = & 13 \\ \end{array}$

    Beispiel 4:
    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & -1,5x & +2y & = & 3 \\ \text{II}: & 3x & -2y & = & 1,5 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & 1,5x & & = & 4,5 \\ \end{array}$

  • Erstelle ein lineares Gleichungssystem und löse es anschließend.

    Tipps

    In einem Hostel gibt es $5$-Bett-Zimmer und $3$-Bett-Zimmer. Wenn insgesamt $59$ Gäste im Hostel schlafen können, gilt:

    $5a+3b=59$

    mit:

    • $a$: Anzahl der $5$-Bett-Zimmer
    • $b$: Anzahl der $3$-Bett-Zimmer

    Du kannst das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren lösen. Dazu multiplizierst du zuerst die zweite Gleichung mit $-2$.

    Lösung

    Wir formulieren zuerst das Gleichungssystem:

    Insgesamt können $64$ Personen auf dem Bauernhof übernachten. Da in jedem Familien-Bungalow $4$ Personen und in jedem Paar-Bungalow $2$ Personen übernachten, gilt:
    $4f+2p=64$

    Außerdem gibt es insgesamt $24$ Bungalows:
    $f+p=24$

    Wir erhalten das lineare Gleichungssystem:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 4f & +2p & = & 64 \\ \text{II}: & f & +p & = & 24 \\ \end{array}$

    Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit $-2$:

    $-2f-2p=-48$

    Wir addieren das so entstandene Gleichungssystem:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{I}: & 4f & +2p & = & 64 \\ \text{II}: & -2f & -2p & = & -48 \\ \hline \text{I}+\text{II}: & 2f & & = & 16 \\ \end{array}$

    Die Summe ist: $2f=16$.

    Wir dividieren auf beiden Seiten durch $2$ und erhalten:

    $\begin{array}{rrrrr} 2f & & = & 16 & |:2 \\ f & & = & 8 & \\ \end{array}$

    Wir setzen diesen Wert in die zweite Gleichung ein und lösen nach $p$ auf:

    $\begin{array}{rrrrr} 2f & -p& = & 0 & \\ 2 \cdot 8 & -p& = & 0 & \\ 16 & -p& = & 0 & |+p \\ 16&&=& p & \\ \end{array}$

    Die Lösung des Gleichungssystems lautet:

    $f=8$; $p=16$

    Es gibt also $16$ Paar-Bungalows und $8$ Familien-Bungalows auf dem Bauernhof.

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