Additionsverfahren – Erklärung

Additionsverfahren – Erklärung Übung

• Zeige auf, welche Aussagen über das Additionsverfahren dieses Gleichungssystems korrekt sind.

  Tipps

  In der Lösungsmenge befinden sich immer geordnete Paare der Form $(x;y)$.

  Sind bei den Gleichungen zwei Seiten bereits gleich, ist oft das Gleichsetzungsverfahren einfacher. Natürlich kannst du dann auch das Additionsverfahren nutzen, aber dafür ist es nicht zwingend notwendig, dass zwei Seiten gleich sind.

  $\begin{array}{|rcl|} ~b-a&=&1~\\ ~a+b&=&3~\\ \end{array}$

  Wendest du hier das Additionsverfahren an, erhältst du folgende Gleichung:

  $b-a+a+b=1+3$

  Dies kannst du zu $2b=4$ vereinfachen und so $b=2$ bestimmen.

  Lösung

  $\begin{array}{|rcl|} ~x+y&=&9~\\ ~x-y&=&5~\\ \end{array}$

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Beim Additionsverfahren hast du immer zwei Gleichungen, bei denen eine Seite gleich $0$ sein muss.

  Sind bei den Gleichungen zwei Seiten bereits gleich, ist oft das Gleichsetzungsverfahren einfacher. Natürlich kannst du dann auch das Additionsverfahren nutzen, aber dafür ist es nicht zwingend notwendig, dass zwei Seiten gleich sind.

  • Wenn man diese beiden Gleichungen addiert, bleibt links die Variable $y$ übrig.

  Für die linke Seite gilt $x+y+x-y=2x$, das heißt, dass nur $x$ übrig bleibt.

  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{2;7\}$.

  Addieren wir die beiden Gleichungen, erhalten wir: $~x+y+x-y=9+5$

  Dies können wir vereinfachen zu: $~2x=14$

  Teilen wir beide Seiten durch $2$, erhalten wir: $~x=7$

  Das $x$ setzen wir in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und erhalten: $~y=2$

  In der Lösungsmenge befinden sich nun immer geordnete Paare der Form $(x;y)$, daher gilt: $~\mathbb{L}=\{(7;2)\}$

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Wenn man diese beiden Gleichungen addiert, bleibt nur eine Variable übrig.

  Für die linke Seite gilt $x+y+x-y=2x$

  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{(7;2)\}$.

• Gib wieder, wie man dieses Gleichungssystem lösen kann.

  Tipps

  Für das Additionsverfahren addierst du die beiden rechten und die beiden linken Seiten jeweils miteinander.

  Das Ziel des Additionsverfahrens ist es, am Ende eine Gleichung mit nur einer Variablen zu haben.

  Hast du die erste Variable berechnet, kannst du sie in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen und somit die zweite Variable bestimmen.

  Lösung

  $1.$ Wir wollen das Additionsverfahren nutzen. Hierzu addieren wir zunächst die linken Seiten der beiden Gleichungen:

  • $x+y+x-y$

  $2.$ Für die rechte Seite erhalten wir:

  • $9+5$

  $3.$ Wir erhalten insgesamt folgende Gleichung:

  • $x+y+x-y=9+5$

  Auf der linken Seiten addieren sich $y$ und $-y$ zu $0$, sodass dieser Teil wegfällt. Da links $x+x=2x$ und rechts $9+5=14$ steht, können wir wie folgt vereinfachen:

  • $2x=14$

  $4.$ Nun enthält die Gleichung nur noch eine Variable, nämlich $x$. Um nach dieser aufzulösen, teilen wir beide Seiten durch $2$ und erhalten:

  • $x=7$.

  $5.$ Für den $y$-Wert musst du das erhaltene $x$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen:

  • $x+y=9 \Rightarrow 7+y=9$
  • $x-y=5 \Rightarrow 7-y=5$

  Beide kannst du dann nach $y$ umstellen:

  $\begin{array}{rrcl} \\ &7+y&=9&~|-7 \\ \Leftrightarrow &y&=2 \\ \end{array}$

  $\begin{array}{rrll} \\ &7-y&=5&~|-7\\ \Leftrightarrow &-y&=-2&~|\cdot(-1) \\ \Leftrightarrow &y&=2 \end{array}$

  $6.$ Somit ist die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{(7;2)\}$

• Ermittle die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens.

  Tipps

  So kannst du vorgehen:

  $\begin{array}{|rcl|} ~-y+2x&=&4~\\ ~x+y&=&2~\\ \end{array}$

  Addiere die Seiten:

  $\begin{array}{rrll} &-y+2x+x+y&=4+2 \\ \Leftrightarrow &3x&=6~&|:3 \\ \Leftrightarrow &x&=2 \\ \end{array}$

  Setze in die zweite Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrll} &x+y&=2 ~&|x=2 \text{ einsetzen} \\ \Leftrightarrow &2+y&=2~&|-2 \\ \Leftrightarrow &y&=0 \\ \end{array}$

  Lösung

  1. Gleichungssystem

  $\begin{array}{|rcl|} ~2y+x&=&6~\\ ~x-2y&=&2~\\ \end{array}$

  Addiere die Seiten:

  $\begin{array}{rrll} &2y+x+x-2y&=6+2 \\ \Leftrightarrow &2x&=8 &~|:2 \\ \Leftrightarrow &x&=4 \\ \end{array}$

  Setze in die erste Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrll} &2y+x&=6 ~&|x=4 \text{ einsetzen}\\ \Leftrightarrow &2y+4&=6 ~&|:2 \\ \Leftrightarrow &y+2&=3 ~&|-2\\ \Leftrightarrow &y&=1\\ \end{array} $

  Somit folgt: $\mathbb{L}=\{(4;1)\}$

  2. Gleichungssystem

  $\begin{array}{|rcl|} ~y+x&=&6~\\ ~-x+y&=&2~\\ \end{array}$

  Addiere die Seiten:

  $\begin{array}{rrll} &y+x-x+y&=6+2 \\ \Leftrightarrow &2y&=8 &~|:2\\ \Leftrightarrow & y&=4 \\ \end{array}$

  Setze in die erste Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrll} &y+x&=6 &~|y=4 \text{ einsetzen}\\ \Leftrightarrow &4+x&=6 &~|-4\\ \Leftrightarrow & x&=2 \\ \end{array}$

  $\mathbb{L}=\{(2;4)\}$

  3. Gleichungssystem

  $\begin{array}{|rcl|} ~3y+x&=&15~\\ ~-x+3y&=&3~\\ \end{array}$

  Addiere die Seiten:

  $\begin{array}{rrll} &3y+x-x+3y&=15+3 \\ \Leftrightarrow &6y&=18 &~|:6\\ \Leftrightarrow &y&=3 \\ \end{array}$

  Setze in die erste Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrll} &3y+x&=15 &~|y=3\text{ einsetzen}\\ \Leftrightarrow &9+x&=15 &~|-9 \\ \Leftrightarrow &x&=6 \\ \end{array}$

  $\mathbb{L}=\{(6;3)\}$

  4. Gleichungssystem

  $\begin{array}{|rcl|} ~3y+2x&=&6~\\ ~-2x+2y&=&4~\\ \end{array}$

  Addiere die Seiten:

  $\begin{array}{rrll} &3y+2x-2x+2y&=6+4\\ \Leftrightarrow &5y&=10 \\ \Leftrightarrow& y&=2 \\ \end{array}$

  Setze in die erste Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrll} &3y+2x&=6 &~|y=2 \text{ einsetzen}\\ \Leftrightarrow &6+2x&=6 &~|-6\\ \Leftrightarrow &2x&=0 &~|:2\\ \Leftrightarrow &x&=0\\ \end{array}$

  $\mathbb{L}=\{(0;2)\}$

• Bestimme die Lösungen der Gleichungssysteme.

  Tipps

  Du musst die Gleichungen teilweise erst umstellen oder ausmultiplizieren, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

  Addiere zuerst jeweils die beiden rechten und linken Seiten, sodass nur noch eine Variable übrig bleibt.

  Hast du die erste Variable berechnet, kannst du diese in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen und so die zweite Variable bestimmen.

  Lösung

  1. Gleichungssystem

  $\begin{array}{|rcl|} ~3y&=&15-x~\\ ~2y-x&=&10~\\ \end{array}$

  Stelle die erste Gleichung so um, dass du das Additionsverfahren anwenden kannst, indem du auf beiden Seiten $x$ addierst. So stehen wieder beide Variablen auf einer Seite:

  $3y+x=15$

  Addiere die Seiten:

  $\begin{array}{rrll} &3y+x+2y-x&=15+10 \\ \Leftrightarrow &5y&=25~|:5 \\ \Leftrightarrow &y&=5 \\ \end{array}$

  Setze in die erste Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrll} &3y+x&=15 ~|y=5\text{ einsetzen}\\ \Leftrightarrow &15+x&=15\\ \Leftrightarrow &x&=0 \end{array}$

  Somit folgt: $\mathbb{L}=\{(0;5)\}$

  2. Gleichungssystem

  $\begin{array}{|c|} x=12-y\\ y=10+x\\ \end{array}$

  Stelle beide Gleichungen so um, dass die Terme mit $x$ und $y$ auf der linken Seite stehen und die ohne Variable auf der rechten Seite.

  $\begin{array}{|rcl|} ~y+x&=&12~\\ ~y-x&=&10~\\ \end{array}$

  Addiere die Seiten:

  $\begin{array}{rrll} &y+x+y-x&=12+10 \\ \Leftrightarrow &2y&=22 &~|:2\\ \Leftrightarrow &y&=11 \\ \end{array}$

  Setze in die erste Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrll} &y+x&=12 &~|y=11 \text{ einsetzen}\\ \Leftrightarrow &11+x&=12 &~|-11\\ \Leftrightarrow &x&=1 \end{array}$

  Somit folgt: $\mathbb{L}=\{(1;11)\}$

  3. Gleichungssystem

  $\begin{array}{|c|} 2\cdot(y+2x)=12\\ -2y+3=1x\\ \end{array}$

  Multipliziere die linke Seite der ersten Gleichung aus und stelle die zweite um:

  $\begin{array}{|rcl|} ~2y+4x&=&12~\\ ~-2y-1x&=&-3~\\ \end{array}$

  Addiere die Seiten:

  $\begin{array}{rrll} &2y+4x-2y-x&=12-3 \\ \Leftrightarrow &3x&=9 &~|:3 \\ \Leftrightarrow &x&=3 \\ \end{array}$

  Setze in die erste Gleichung ein:

  $\begin{array}{rrll} &2y+4x&=12 &~|x=3 \text{ einsetzen}\\ \Leftrightarrow &2y+12&=12&~|-12\\ \Leftrightarrow &2y&=0&~|:2\\ \Leftrightarrow &y&=0 \end{array}$

  Somit folgt: $\mathbb{L}=\{(3;0)\}$

• Beschreibe die graphische Darstellung des Additionsverfahrens.

  Tipps

  Bei dem ersten Bild verlängerst du die Strecke, daher musst du die Längen addieren.

  Bei dem zweiten Bild verkürzt du die Strecke, daher musst du die Längen subtrahieren.

  Lösung

  Bild 1

  Du legst die rote und blaue Strecke zusammen und erhältst die Länge der grünen. Die Länge der grünen beträgt $9$ LE. Verlängert man also die Strecke, muss man die Längen addieren. Es gilt:

  $x+y=9$

  Bild 2

  Du legst an die rote Strecke die blaue Strecke in der entgegengesetzten Richtung an und erhältst die Länge der grünen. Die Länge der grünen beträgt $5$ LE. Verkürzt man also die rote Strecke um die blaue, muss man die Längen subtrahieren. Es gilt:

  $x-y=5$

  Bild 3

  Hier werden die beiden Gleichungen addiert, also auch alle Streckenlängen. Wir erkennen dabei, dass sich die beiden $y$ wegheben würden, dies vereinfacht unsere Rechnung, da die Gleichung dann nur noch eine Variable enthält. Es gilt:

  $x+y+x-y=9+5$

  Vereinfach kann man schreiben:

  $2x=14$

  Somit ist dann $x=7$. Durch Einsetzen in eine der beiden oberen Gleichungen erhält man $y=2$.

• Erkläre, wie das Additionsverfahren mit $3$ Variablen funktionieren kann.

  Tipps

  Hier wendest du insgesamt dreimal das Additionsverfahren an, um zunächst $x$ zu bestimmen. Danach setzt du $x$ in eine Gleichung mit nur zwei Variablen ein, um $y$ zu bestimmen.

  Lösung

  Um ein Gleichungssystem mit $3$ Variablen eindeutig zu lösen, brauchen wir $3$ Gleichungen.

  1. Schritt

  Wir addieren zunächst die erste und zweite Gleichung, um $z$ zu eliminieren.

  Wir erhalten als vierte Gleichung:

  $IV.$ $x+y+z+x+y-z=6+0$

  Vereinfacht erhalten wir mit $x+x=2x$, $y+y=2y$ und $z-z=0$:

  $IV.$ $2x+2y=6$

  2. Schritt

  Wir addieren nun die erste und dritte Gleichung, um auch hier $z$ zu eliminieren.

  Wir erhalten als fünfte Gleichung:

  $V.$ $x+y+z+x-3y-z=6-8$

  Vereinfacht erhalten wir mit $x+x=2x$, $y-3y=-2y$ und $z-z=0$:

  $V.$ $2x-2y=-2$

  3. Schritt

  Wir wenden ein weiteres mal das Additionsverfahren an und addieren nun die vierte und fünfte Gleichung, um $x$ zu bestimmen.

  Wir erhalten:

  $2x+2y+2x-2y=6-2$

  Vereinfacht erhalten wir mit $2x+2x=4x$ und $2y-2y=0$:

  $4x=4$

  Und es gilt $x=1$.

  4. Schritt

  Setzen wir nun $x$ in $IV.$ oder $V.$ ein, erhalten wir

  $IV.$

  $\begin{array}{rrll} &2x+2y&=6 &~|x=1 \text{ einsetzen} \\ \Leftrightarrow &2+2y&=6 &~|-2\\ \Leftrightarrow &2y&=4 &~|:2\\ \Leftrightarrow &y&=2\\ \end{array}$

  Setzen wir zum Schluss $x$ und $y$ in $I.$, $II.$ oder $III.$ ein, erhalten wir

  $I.$

  $\begin{array}{rrll} &x+y+z&=6 \\ \Leftrightarrow &1+2+z&=6 ~|-3 \\ \Leftrightarrow &z&=3 \end{array}$