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Ableitungsfunktion – Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle 10:50 min

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Transkript Ableitungsfunktion – Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle

Hallo. Hier ist Mandy. Jeden Winter findet die Vierschanzentournee im Skispringen statt. Die zweite Etappe, auch Neujahrsspringen genannt, wird an der großen Olympiaschanze in Garmisch-Partenkirchen ausgetragen. Es gelte für den nach der Zeit x zurückgelegten Weg s die folgende Funktionsgleichung: s(x)=2,6×x2, wobei x in Sekunden und s in Metern angegeben wird. Wie schnell ist der Skispringer nach einer Sekunde, nach drei Sekunden und nach fünf Sekunden, also wenn er kurz vor dem Absprung steht? Bislang hast Du gelernt, wie man durchschnittliche Geschwindigkeiten in bestimmten Zeitspannen über die mittlere Änderungsrate berechnet. Darüber hinaus hast Du bereits erfahren, dass man die momentane Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, zum Beispiel nach fünf Sekunden, mit Hilfe der lokalen Änderungsrate berechnen kann. Dazu verwendet man den Differentialquotienten. Man bezeichnet den Grenzwert auch als Ableitung von f an der Stelle x0 beziehungsweise von f'(x0). Als Wiederholung wenden wir das Prinzip noch einmal an. Gegeben ist x0 mit 5 Sekunden und die Funktionsgleichung s(x). Gesucht ist die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x0 beziehungsweise die Steigung m des Graphen an der Stelle x0, also s'(5). Wir setzen x0 und die Funktionsgleichung in den Differentialquotienten ein. Dann erhalten wir m=(lim von h gegen 0) 2,6×(5+h)2-2,6×52)/h. Nun wenden wir auf diesen Term die Erste Binomische Formel an. Dann können wir die Klammer auflösen. Nun fassen wir den Term im Zähler zusammen, so dass wir 26h+2,6h2 im Zähler erhalten. Da sowohl im Nenner als auch in jedem Summanden des Zählers ein h als Faktor enthalten ist, können wir zunächst h ausklammern und dann kürzen. Somit verbleibt letztlich (lim für h gegen 0) 26+2,6h=26m/s. Diesen Wert multiplizieren wir mit 3,6 und erhalten 93,6km/h. Nach fünf Sekunden ist der Skispringer also 93,6km/h schnell. Diesen Grenzwert kann man auch als Ableitung von s an der Stelle 5, also s'(5) bezeichnen. Nun müsste man diese lange Rechnung für jeden der Zeitpunkte, also auch für den Zeitpunkt eine Sekunde und drei Sekunden durchführen. Da wäre es doch viel hilfreicher, eine allgemeine Gleichung zu haben, mit der wir die momentane Geschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnen können. Dies gelingt uns durch die allgemeine Ableitungsfunktion der Funktion s(x), durch die wir die Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle berechnen können. Dazu führen wir diese Rechnung allgemein mit x0 durch. Als Ausgangsgleichung haben wir dann s'(x0)=(lim von h gegen 0) (2,6×(x0+h)2-2,6×(x0)2)/h. Analog zur speziellen Rechnung wenden wir die Erste Binomische Formel an und erhalten für diesen Term (x0)2+2×x0×h+h2. Nun lösen wir die Klammer auf und fassen zusammen. Jetzt klammern wir h aus und können damit h kürzen, sodass zum Schluss der Term (lim von h gegen 0) 5,2x0+2,6h verbleibt, was wiederum 5,2x0 ist. Allgemein können wir dann die Ableitungsfunktion s'(x)=5,2x formulieren und mit ihr für jedes beliebige x den jeweiligen Anstieg schnell berechnen. Diese Vorgehensweise bezeichnet man übrigens als “h-Methode”. Vielleicht hast Du in der Schule eine andere Methode gelernt, nämlich die “x-Methode”. Die schauen wir uns jetzt auch noch einmal an. Bei der x-Methode fasst man das betrachtete Intervall für die Berechnung der lokalen Änderungsrate von x0 bis x. Das ist nur eine andere Bezeichnung derselben Sache. Aber dadurch ändert sich der Differentialquotient zu (lim von x gegen x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0). Wenn wir hier nun die Ableitung der Gleichung s(x)=2,6×x2 bestimmen wollen, ist die Rechnung etwas anders als bei der h-Methode. Setzen wir die Gleichung s(x) in die Formel für den Grenzwert ein, erhalten wir: s'(x0)=(lim von x gegen x0) (2,6×x2-2,6×(x0)2)/(x-x0). Der Übersichtlichkeit halber werden wir 2,6 ausklammern. Nun kommen wir an die Stelle, an der wir überlegen müssen. Wir benötigen einen Term im Zähler, dessen Faktor x-x0 ist, damit wir diesen Faktor später kürzen können. Für dieses Beispiel sehen wir schnell, dass wir die Dritte Binomische Formel anwenden können. In anderen Fällen müsste man allerdings eine Polynomdivision durchführen. Bezogen auf dieses Beispiel würde es dann so aussehen: (x2-(x0)2)/(x-x0) und zu diesem Grenzwert führen. Nun können wir nämlich x-x0 kürzen und erhalten (lim von x gegen x0) 2,6×(x+x0). Als nächsten Schritt können wir zum Beispiel die Klammer auflösen und nun den Grenzwert bilden. Wir erhalten 5,2×x0 beziehungsweise allgemein s'(x)=5,2x. Moment mal, das ist die gleiche Ableitungsfunktion, wie wir sie auch über die h-Methode ermittelt haben. Du siehst also, dies sind zwei verschiedene Wege, die aber zum gleichen Ziel führen. Zusammenfassend können wir den gleichen Merksatz für beide Methoden formulieren. “Die Funktion f sei auf dem Intervall I definiert und x0 ist Element von diesem Intervall I. Wenn der Differenzenquotient Δy/Δx=(f(x0+h-f(x0))/h beziehungsweise Δy/Δx=(f(x)-f(x0))/(x-x0) für h gegen 0 beziehungsweise x gegen x0 einen Grenzwert besitzt, so heißt f an der Stelle x0 differenzierbar. Man nennt den Grenzwert (lim von h gegen 0) (f(x0+h)-f(x0))/h beziehungsweise (lim von x gegen x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0) die Ableitung von f an der Stelle x0 und schreibt dafür f'(x0).” Neben der h-Methode gibt es auch die x-Methode. Zum Schluss wollen wir uns noch die Anstiege zu den verbleibenden Zeitpunkten x1=1sek und x2=3sek mit Hilfe der Funktionsgleichung s(x)=2,6×x2 berechnen. Dies sind die gegebenen Werte und gesucht sind demnach die Geschwindigkeiten v1 und v2, die das Gleiche sind wie die Steigung m der Funktion s(x) an den Stellen x1=1 und x2=3 oder auch die Ableitung s'(x) an den Stellen x1=1 und x2=3. Für die schnellste Lösung verwenden wir nun die Ableitungsfunktion, die wir gerade ermittelt haben. Wir setzen nun beispielsweise x1=1 in s'(x) ein und erhalten 5,2×1. Das ist schnell gelöst mit 5,2m/s beziehungsweise 18,72km/h. Analog setzen wir x2=3 ein und erhalten 15,6m/s beziehungsweise 56,16km/h. Zum Vergleich notieren wir uns noch einmal die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 5 Sekunden. Nun weißt Du, wie stark ein Skispringer an Geschwindigkeit zulegt und wie schnell er beim Absprung auf der großen Olympiaschanze in Garmisch-Partenkirchen ist. Darin unterscheiden sich die Skispringer wenig. Wichtig ist der richtige Absprung und die Flugphase, um große Weiten zu erzielen. Bisheriger Weltrekordhalter an dieser Schanze ist übrigens der Schweizer Simon Ammann mit 143,5m im Jahr 2010. Das war es schon wieder von mir. Daher sag ich nun bye bye und bis zum nächsten Mal.

8 Kommentare
  1. Solche kleinen Beitraege, wie hier am Schluss sind irgendwie toll, auch wenn sie Inhaltlich eigentlich nicht wichtig sind fuer das Video.

    Von Hangu, vor 4 Monaten
  2. Hallo Yaseminsariguel ,
    "lim" wird "Limes" ausgesprochen, kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie Grenze.
    In der Mathematik benutzt man das, um herauszufinden, was mit dem Wert eines Terms passiert, wenn eine darin enthaltene Variable sich einer bestimmten Zahl oder dem Unendlichen nähert. So was nennen wir dann "Grenzwertbetrachtung".
    Was bringt uns das nun bei den Ableitungen und woher kommt das h?
    Von den linearen Funktionen solltest du ja wissen, dass man die Steigung aus zwei bekannten Punkten P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) mit (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) berechnen kann. Damit können wir auch die Steigung einer Sekante (Verbindung zweier Punkte auf der Funktion) einer Funktion bestimmen. Dabei haben die x- und y-Werte der beiden Punkte jeweils einen bestimmten Abstand zueinander. Wenn wir diesen Abstand nun gegen 0 laufen lassen, dann landen wir ja genau in einem Punkt, da ein Abstand von 0 bedeutet, dass es gar nicht mehr zwei, sondern nur noch einen Punkt gibt, womit wir die Steigung genau in diesem Punkt bestimmen können.
    Um dir das besser vorzustellen, solltest du mal unsere Themenseite dazu besuchen:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen/ableitungen/ableitung-einer-funktion-an-einer-stelle-f-x
    Speziell folgendes Video wird dir sicher weiterhelfen:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/steigung-in-einem-punkt?topic=1025

    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Florian H., vor etwa einem Jahr
  3. Ich hätte eine Frage...was bedeutet lim und woher kommt das h?

    Von Yaseminsariguel 4, vor etwa einem Jahr
  4. @Sunnyyeu889:
    Wir arbeiten gerade fleißig daran so viele Videos wie möglich mit einer Übung zu bestücken.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 5 Jahren
  5. Wo sind denn hier bitte schön die Übungen dazu?

    Von Sunnyyeu889, vor fast 5 Jahren
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Ableitungsfunktion – Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitungsfunktion – Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne den Merksatz zur Ableitung einer Funktion.

    Tipps

    In diesem Bild siehst du veranschaulicht, wie die mittlere Änderungsrate bestimmt wird. Man wählt zwei Punkte $P$ und $Q$, die auf dem Graphen einer Funktion liegen. Dann bildet man die Gerade, die durch beide Punkte geht.

    Die mittlere Änderungsrate ist nun die Steigung dieser Sekante. Du kannst sie mit dem Differenzenquotienten bestimmen.

    Die Idee des Differentialquotienten ist dann folgende:

    Wir wählen statt der Punkte $P$ und $Q$ zwei Punkte, die sehr nah aneinander auf dem Graphen liegen (unendlich nah beieinander).

    Dies erreichen wir mit Hilfe des Grenzwertes (Limes).

    Auf diese Weise erhältst du die Steigung des Graphen im Punkt $x_0$.

    Lösung

    Gegeben sei die Funktion $f$, welche auf einem Intervall $I$ definiert ist. Sei $x_0$ eine feste Stelle in dem Intervall ($x_0\in I$).

    Wir betrachten zunächst den Differenzenquotienten

    • $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ bzw.
    • $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
    Wenn wir nun die Grenzwerte dieser Differenzenquotienten für $h\to 0$ beziehungsweise $x\to x_0$ betrachten, sprechen wir von Differentialquotienten. Wenn diese Grenzwerte existieren, so heißt $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar.

    Hier siehst du die mathematische Schreibweise für den Grenzwert:

    $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

    Man nennt diesen Grenzwert auch die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$. Für diese schreibt man abkürzend $f'(x_0)$.

    Diese Ableitung entspricht der Steigung einer Tangente an den Funktionsgraphen an der Stelle $x_0$, also der lokalen Änderungsrate.

    Hier siehst du die anschauliche Bedeutung der ersten Ableitung:

    • Sei $x_0=3$ und $x_0+h=1$. Dann gibt der Differenzenquotient $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ die Steigung der grün eingezeichneten Sekante an.
    • Wenn $h$ gegen $0$ geht, bedeutet dies, dass $x_0+h$ gegen $x_0$ geht. Dies ist hier mit dem waagerechten Pfeil angedeutet.
    • Unter der Voraussetzung der Stetigkeit geht mit $h$ gegen $0$ auch der Funktionswert von $f(x_0+h)$ gegen $f(x_0)$. Das bedeutet anschaulich, dass der Punkt $(x_0+h|f(x_0+h))$ gegen den Punkt $(x_0|f(x_0))$ geht. Dies ist mit dem gekrümmten Pfeil angedeutet.
    • Die erste Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten ist damit die Steigung der rot eingezeichneten Tangente.
  • Bestimme die Momentangeschwindigkeit nach $5$ Sekunden.

    Tipps

    Die 1. binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Schaue dir die ausführliche Rechnung an:

    $\frac{2,6(25+10h+h^2)-2,6\cdot 5^2}{h}=\frac{2,6\cdot 25+26h+2,6h^2-2,6\cdot 25}{h}$

    Es ist $2,6\cdot 25-2,6\cdot 25=0$.

    Wenn in dem Term, für welchen du den Grenzwert berechnen sollst, kein $h$ mehr im Nenner steht, kannst du für $h$ den Wert $0$ einsetzen.

    Lösung

    Mit Hilfe des Differentialquotienten kann die Momentangeschwindigkeit für $x_0=5$ (also nach $5$ Sekunden) berechnet werden.

    Wir benutzen $s(x)=2,6x^2$:

    $\lim\limits_{h\to 0}\frac{s(x_0+h)-s(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2,6(5+h)^2-2,6\cdot 5^2}{h}$

    Mit Hilfe der 1. binomischen Formel ergibt sich $(5+h)^2=25+10h+h^2$ und somit folgt:

    $\lim\limits_{h\to 0}\frac{2,6(5+h)^2-2,6\cdot 5^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2,6(25+10h+h^2)-2,6\cdot 25}{h}$

    Nun fasst du den Term im Zähler zusammen und klammerst $h$ aus.

    $\begin{array}{rcl} \lim\limits_{h\to 0}\frac{2,6(25+10h+h^2)-2,6\cdot 25}{h}&=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{2,6\cdot 25+26h+2,6h^2-2,6\cdot 25}{h}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{26h+2,6h^2}{h}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{\not h(26+2,6h)}{\not h}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}(26+2,6h) \end{array}$

    Da $h$ nicht mehr im Nenner steht, kannst du nun $h=0$ einsetzen.

    $\lim\limits_{h\to 0}(26+2,6h)=26$

    Die Momentangeschwindigkeit beträgt also $26~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Multiplikation mit $\frac{3600}{1000}=3,6$ führt zu der Geschwindigkeit $93,6~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

  • Bestimme die lokale Änderungsrate der Funktion $f(x)=3x^2+2$ an verschiedenen Stellen.

    Tipps

    Die Ableitungsfunktion ist gegeben durch $f'(x)=6x$.

    Setze jeweils den für $x_0$ gegebenen Wert in diese Ableitungsfunktion ein.

    Schaue dir ein Beispiel an: $x_0=2,5$

    Damit ist $f'(2,5)=6\cdot 2,5=15$ die lokale Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x_0=2,5$.

    Lösung

    Merke dir:

    • Die mittlere Änderungsrate bei einem gegebenen Intervall ist die Steigung einer Sekante.
    • Die lokale Änderungsrate an einer Stelle ist die Steigung einer Tangente.
    • Die lokale Änderungsrate kannst du mit Hilfe der Ableitungsfunktion berechnen.
    Sei $f(x)=3x^2+2$, dann ist $f'(x)=6x$ die zugehörige Ableitungsfunktion.

    Zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate setzt du den jeweiligen Wert für $x_0$ in diese Ableitungsfunktion ein.

    • $x_0=1$ führt zu $f'(1)=6\cdot 1=6$
    • $x_0=1,5$ führt zu $f'(1,5)=6\cdot 1,5=9$
    • $x_0=3$ führt zu $f'(3)=6\cdot 3=18$
    • $x_0=5,5$ führt zu $f'(5,5)=6\cdot 5,5=33$
  • Ermittle die Ableitungsfunktion der Funktion $f(x)=3x^2+2$.

    Tipps

    Verwende diese Definition der Ableitung:

    $f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

    Ziel ist es, den Differenzenquotienten $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ so umzuformen, dass $h$ gekürzt werden kann.

    Schaue dir das folgende Beispiel an: $f(x)=4x^2$

    $\begin{array}{rclll} f'(x_0)&=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}&|&f(x)=4x^2\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{4(x_0+h)^2-4x_0^2}{h}&|&\text{1. binomische Formel}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{4(x_0^2+2x_0h+h^2)-4x_0^2}{h}&|&\text{Klammern aufl} \ddot{\text{o}}\text{sen}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{4x_0^2+8x_0h+4h^2-4x_0^2}{h}&|&4x_0^2-4x_0^2=0\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{8x_0h+4h^2}{h}&|&\text{Ausklammern}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{\not h(8x_0+4h)}{\not h}&|&\text{K}\ddot{\text{u}}\text{rzen}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}(8x_0+4h)\\ &=&8x_0 \end{array}$

    Lösung

    Die lokale Änderungsrate (die Steigung einer Tangente) lässt sich als Grenzwert des Differenzenquotienten (Steigung einer Sekante) berechnen.

    Hierfür werden häufig binomische Formeln verwendet. Ziel ist es immer, dass schließlich $h$ nicht mehr im Nenner steht.

    Hier siehst du die komplette Rechnung.

    1. Zunächst verwendest du die vorgegebene Funktionsgleichung.
    2. Mit Hilfe der 1. binomischen Formel formst du $(x_0+h)^2$ zu $x_0^2+2x_0h+h^2$ um.
    3. Nun kannst du die Klammern auflösen und den Term im Zähler vereinfachen: $3(x_0^2+2x_0h+h^2)+2-\left(3x_0^2+2\right)=3x_0^2+6x_0h+3h^2+2-3x_0^2-2=6x_0h+3h^2$
    4. Schließlich kannst du $h$ im Zähler ausklammern. Das ergibt $6x_0h+3h^2=h(6x_0+3h)$.
    5. Nun kannst du kürzen. Dadurch löst du den Bruch auf.
    6. Zuletzt kannst du den Grenzwert durch Einsetzen von $h=0$ berechnen.
    Es ist somit die Ableitungsfunktion zu $f(x)=3x^2+2$ gegeben durch $f'(x)=6x$.

  • Gib die Momentangeschwindigkeit nach $1$ sowie nach $3$ Sekunden an.

    Tipps

    Beachte:

    • $s(x)$ steht für den zurückgelegten Weg.
    • $s'(x)$ steht für den zurückgelegten Weg in Relation zu der dafür benötigten Zeit.

    Schaue dir ein Beispiel an:

    • Nach $2$ Sekunden beträgt die Momentangeschwindigkeit $s'(2)=5,2\cdot 2~\frac{\text{m}}{\text{s}}=10,4~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
    • Multipliziere dies mit $3,6$. So erhältst du $37,44~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
    Lösung

    Es wäre recht aufwändig, jedes Mal mit Hilfe des Differentialquotienten die Momentangeschwindigkeit oder, allgemeiner, die lokale Änderungsrate zu berechnen.

    Merke dir: Die lokale Änderungsrate ist die erste Ableitung an der entsprechenden Stelle. Das bedeutet für dich: Um die lokale Änderungsrate zu bestimmen, bildest du die Ableitungsfunktion und setzt den jeweils gegebenen Wert $x_0$ dort für $x$ ein.

    Es ist $s(x)=2,6x^2$ und damit $s'(x)=5,2x$.

    So ergibt sich:

    • $s'(1)=5,2\cdot 1~\frac{\text{m}}{\text{s}}=5,2~\frac{\text{m}}{\text{s}}\hat =5,2\cdot 3,6~\frac{\text{km}}{\text{h}}=18,72~\frac{\text{km}}{\text{h}}$
    • $s'(3)=5,2\cdot 3~\frac{\text{m}}{\text{s}}=15,6~\frac{\text{m}}{\text{s}}\hat =15,6\cdot 3,6~\frac{\text{km}}{\text{h}}=56,16~\frac{\text{km}}{\text{h}}$
  • Prüfe, wann die lokale Änderungsrate der Funktion $f(x)=2x^2+3x$ genau $25$ beträgt.

    Tipps

    Bestimme die Ableitungsfunktion.

    Die Ableitungsfunktion ist gegeben durch $f'(x)=4x+3$.

    Die lokale Änderungsrate ist gegeben, gesucht ist $x_0$.

    Du musst also die Gleichung $f'(x_0)=25$ lösen.

    Lösung

    Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ zu $f(x)=2x^2+3x$ ist gegeben durch $f'(x)=4x+3$.

    Diese kannst du entweder mit Hilfe des Differentialquotienten oder mit Ableitungsregeln herleiten. Die hier verwendeten Ableitungsregeln sind:

    • die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
    • die Faktorregel $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
    • die Summenregel $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
    Gesucht ist also eine Stelle $x_0$, so dass $f'(x_0)=25$ ist.

    Du musst somit die folgende Gleichung lösen: $4x_0+3=25$.

    • Subtrahiere $3$, so erhältst du $4x_0=22$.
    • Dividiere nun durch $4$. Dies führt zu $x_0=\frac{22}{4}=5,5$.