Ableitung der Flächeninhaltsfunktion

Ableitung der Flächeninhaltsfunktion Übung

• Beschreibe, was eine Flächeninhaltsfunktion ist.

  Tipps

  Wenn du die Flächeninhaltsfunktion ableitest, erhältst du wieder die Randfunktion.

  Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=x$ ist $A_0(x)=\frac12^2$.

  Es ist $AS_0(x)=\frac16x^2+2x$ die Flächeninhaltsfunktion für die Fläche unter der Randfunktion $f(x)=\frac13x+2$.

  $A_0(4)$ ist der Inhalt der roten Fläche.

  Lösung

  Die Flächeninhaltsfunktion wird benötigt, wenn man bei einer positiven Funktion den Inhalt der Fläche berechnen möchte, die von dem Graphen der Funktion sowie der x-Achse auf einem Intervall $I=[0;x]$ eingeschlossen wird.

  Hier ist der Graph einer linearen Funktion zu sehen sowie der Flächeninhalt, den die Gerade mit der x-Achse über dem Intervall $I=[0;4]$ einschließt.

  Das bedeutet, dass man zu einer gegebenen Funktion – der sogenannten Randfunktion – die zugehörige Flächeninhaltsfunktion berechnen muss.

  Beachte, dass stets $A_0'(x)=f(x)$ gilt.

• Bestimme jeweils die Flächeninhaltsfunktion.

  Tipps

  Bei linearen Funktionen $f(x)=ax$ gilt

  $A_0(x)=\frac12\cdot x\cdot f(x)$.

  Für konstante Randfunktionen $f(x)=c$ gilt

  $A_0(x)=cx$.

  Leite doch mal $\frac13x^3$ ab. Was fällt dir auf?

  Lösung

  Wenn die Randfunktion $f(x)$ eine konstante Funktion ist, dann ist $A_0(x)$ die Flächeninhaltsfunktion: Für die Randfunktion $f(x)=2$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=x\cdot f(x)=2x$.

  Sei die Randfunktion eine lineare Funktion $f(x)=ax$, dann gilt $A_0(x)=\frac12\cdot x\cdot f(x)$. Für $f(x)=\frac12x$ gilt also $A_0(x)=\frac12\cdot x\cdot \frac12\cdot x=\frac14x^2$.

  Die Flächeninhaltsfunktion von einer Summen- oder Differenzfunktion ist die Summe oder Differenz der Flächeninhaltsfunktionen der einzelnen Funktionen. Das bedeutet für $f(x)=\frac12x+2$, dass wir folgende Flächeninhaltsfunktion erhalten:

  $A_0(x)=\frac14x^2+2x$.

  Bei quadratischen Funktionen $f(x)=x^2$ gilt $A_0(x)=\frac13\cdot x\cdot f(x)=\frac13x^3$.

  Wenn man sich die obigen Flächeninhaltsfunktionen anschaut, kann man feststellen, dass für alle gilt:

  $A_0'(x)=f(x)$.

• Ermittle zu den gegebenen Randfunktionen die zugehörige Flächeninhaltsfunktion.

  Tipps

  Zu $f(x)=c$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=cx$.

  Zu $f(x)=ax$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac{a}2 x^2$.

  Zu $f(x)=x^2$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3$.

  Sei $f(x)=g(x)\pm h(x)$, dann ist durch

  $A_0(x)=A_0^g(x)\pm A_0^h(x)$

  die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)$ gegeben, wobei

  • $A_0^g(x)$ die Flächeninhaltsfunktion zu $g(x)$ und
  • $A_0^h(x)$ die Flächeninhaltsfunktion zu $h(x)$ ist.

  Die merkwürdige Schreibweise mit dem höher gestellten $g$ bzw. $h$ kennzeichnet die einzelnen Flächeninhaltsfunktionen, aus denen sich $A_0(x)$ zusammensetzt.

  Lösung

  Im Folgenden verwenden wir die Eigenschaften von Funktionen, dass

  • zu konstanten Funktionen $c$ die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=cx$,
  • zu linearen Funktionen $ax$ die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac a2x^2$,
  • zu quadratischen Funktionen $x^2$ die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3$

  gehört.

  Darüber hinaus gilt, dass die Flächeninhaltsfunktion einer Funktion, die sich aus einer Summe oder Differenz zusammensetzt, die Summe oder Differenz der entsprechenden Flächeninhaltsfunktionen ist. Kurz: Wir können die Herleitung der Flächeninhaltsfunktion Schritt für Schritt durchführen, also für jeden Summanden einzeln.

  Somit gilt:

  • Zu $3x-2$ gehört die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac32x^2-2x$,
  • zu $4x+3$ ist $A_0(x)=\frac42x^2+3x=2x^2+3x$,
  • zu $x^2+x$ ist $A_0(x)=\frac13x^3+\frac12x^2$ und
  • zu $2x^2-x$ ist $A_0(x)=\frac23x^3-\frac12x^2$.

• Prüfe die folgenden Aussagen zu Flächeninhaltsfunktionen.

  Tipps

  Du kannst jede der Aussagen überprüfen, indem du die Flächeninhaltsfunktion ableitest.

  Verwende die Potenzregel. Diese kannst du hier in der Abbildung sehen.

  Verwende die Faktorregel, welche hier abgebildet ist.

  Verwende auch die Summenregel, deren mathematische Bedeutung hier zu sehen ist.

  Lösung

  Es gelten die folgenden Ableitungsregeln:

  • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
  • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
  • Summenregel: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$

  Die jeweilige Umkehrung liefert die entsprechende Regel zur Bestimmung von Flächeninhaltsfunktionen. Diese können durch Ableiten nachgewiesen werden:

  • Mit $A_0(x)=\frac1{n+1}x^{n+1}$ erhält man $A_0'(x)=\frac1{n+1}\cdot (n+1)\cdot x^n=x^n$. ✓
  • Sei $A_0(x)=k\cdot A_0^g(x)$, dann ist $A_0'(x)=(k\cdot A_0^g(x))'$. Da $A_0^g(x)$ Flächeninhaltsfunktion von $g(x)$ ist, ist $(A_0^g)'(x)=g(x)$. Damit ist $A_0'(x)=k\cdot g(x)=f(x)$. ✓
  • Zuletzt betrachten wir $A_0(x)=A_0^g(x)\pm A_0^h(x)$. Ableiten führt zu $A_0'(x)=g(x)\pm h(x)=f(x)$. ✓

• Gib den Zusammenhang zwischen der Flächeninhaltsfunktion und der Randfunktion an.

  Tipps

  Hier siehst du einige Beispiele für Flächeninhaltsfunktionen.

  Beachte, dass der Grad der Flächeninhaltsfunktion immer um $1$ größer ist als der der Randfunktion.

  Nach der Potenzregel der Differentiation

  $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

  gilt, dass beim Ableiten der Grad einer ganzrationalen Funktion immer um $1$ kleiner wird.

  Lösung

  Hier ist eine Tabelle einiger Randfunktionen und der zugehörigen Flächeninhaltsfunktionen zu sehen.

  Dabei fällt auf, dass jedes Mal die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion gerade die Randfunktion ist. Dies ist sicher kein Beweis.

  Man kann jedoch auch allgemein nachweisen, dass $A_0'(x)=f(x)$ immer gilt.

• Berechne den Flächeninhalt zu der jeweiligen Funktion.

  Tipps

  Bestimme jeweils zunächst die zugehörige Flächeninhaltsfunktion.

  Zum Beispiel ist zu $f(x)$ die Flächeninhaltsfunktion

  $A_0(x)=\frac13x^3+3x$.

  Da jeweils der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;a]$ berechnet werden soll, musst du jeweils $x=a$ in der Flächeninhaltsfunktion einsetzen.

  Drei Ergebnisse sind ganzzahlig. Ein Ergebnis ist eine Dezimalzahl mit erster und einziger Nachkommastelle $5$.

  Lösung

  Eine Flächeninhaltsfunktion dient dazu, einen Flächeninhalt zu berechnen. Dies lässt ja bereits der Name vermuten.

  Nachdem wir nun mehrfach geübt haben, wie eine Flächeninhaltsfunktion bestimmt werden kann, kommen wir nun zu der eigentlichen Anwendung dieser Funktion: der Flächenberechnung.

  Hierfür wird jeweils zunächst die Flächeninhaltsfunktion bestimmt:

  • $f(x)=x^2+3$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3+3x$. Soll nun der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;3]$ berechnet werden, wird $x=3$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(3)=\frac13 3^3+3\cdot 3=9+9=18$ [FE].
  • $g(x)=2x+2$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=x^2+2x$. Diesmal soll der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;2]$ berechnet werden: $A_0(2)=2^2+2\cdot 2=4+4=8$ [FE].
  • $h(x)=\frac12x+4$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac14x^2+4x$. Nun wird der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;2]$ berechnet. Es wird $x=2$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(2)=\frac14 2^2+4\cdot 2=1+8=9$ [FE].
  • $k(x)=\frac15x+5$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac1{10}x^2+5x$. Es wird der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;5]$ berechnet. Es wird $x=5$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(5)=\frac1{10} 5^2+5\cdot 5=2,5+25=27,5$ [FE].