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Klammerrechnung – Wie vereinfachst du Terme mit Klammern?

Exkurs

In vielen Termen tauchen Klammern auf. Wie du mit ihnen rechnen kannst, lernst du hier.

Klammerrechnung

In Termen ohne Klammern rechnest du von links nach rechts, wenn es sich um Strichrechnung (Addition und Subtraktion) handelt:

$1 + 2 + 3 - 4 = 2.$

Sobald eine Punktrechnung (Multiplikation und Division) vorkommt, wird diese vor der Strichrechnung ausgeführt. Es wird Punkt- vor Strichrechnung ausgeführt:

$\begin{array}{llll} 5 - 2 + 3\cdot 2&=&5 - 2 + 6\\ &=&3 + 6\\ &=&9 \end{array}$

Soll zuerst eine Strichrechnung ausgeführt werden, so setzt man Klammern:

$\begin{array}{lll} 10 : 5 + (3 - 2)\cdot (4 + 1)&=& 10:5 + 1\cdot 5\\ &=&2 + 5\\ &=&7 \end{array}$

Bei verschachtelten Termen werden Doppelklammern gesetzt:

$\begin{array}{lll} (16 : (2 + 6)) - 1&=&(16 : 8) - 1\\ &=&2 - 1\\ &=&1 \end{array}$

Für das Auflösen von Klammern wendet man das Distributivgesetz an:

$\begin{array}{lll} 5\cdot (2 - a + b)&=&5\cdot 2 - 5\cdot a + 5\cdot b\\ &=&10 - 5a + 5b \end{array}$

Dies funktioniert ebenso, wenn Klammerterme miteinander multipliziert werden:

$\begin{array}{lll} (a + 2)\cdot (b - 3)&=&ab - 3a + 2b - 6 \end{array}$

Dies lässt sich ebenso auf die Klammerrechnung mit Potenzen (erste und zweite binomische Formel) anwenden, die man auf das Ausmultiplizieren von Klammern zurückführen kann:

$\begin{array}{lll} (a + 3)^{2}&=&(a + 3)\cdot (a + 3)\\ &=&a\cdot a + a\cdot 3 + 3\cdot a + 3\cdot 3\\ &=&a^2 + 3a + 3a + 9\\ &=&a^2 + 6a + 9 \end{array}$