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Potenz- und Wurzelgleichungen

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Themenübersicht in Potenz- und Wurzelgleichungen

Was sind Potenzgleichungen?

Eine Potenzgleichung hat die Form $x^{n}=b$. Wir betrachten hier nur solche, bei der $n\in\mathbb{N}$ gilt. Dieser Zusatz bedeutet, dass $n$ eine natürliche Zahl sein muss. In diesen Gleichungen kommt die Variable $x$ als Basis einer Potenz vor. Hier siehst du ein Beispiel für eine solche Potenzgleichung:

$x^{4}=81$.

Lösen einer Potenzgleichung

Wie kannst du eine solche Gleichung lösen? Du kehrst das Potenzieren um. Die Umkehrung des Potenzierens ist das Ziehen einer Wurzel. Man sagt dazu auch radizieren. Dabei stimmt der Wurzelexponent mit dem Exponent der Potenz überein. Für das obige Beispiel bedeutet dies:

$\begin{array}{rclll} x^4&=&81&|&\sqrt[4]{~~~}\\\ x&=&\pm\sqrt[4]{81}\\\ &=&\pm 3 \end{array}$

Hinweis: Die „normale“ Wurzel hat den Wurzelexponenten $2$. Dieser wird oft nicht aufgeschrieben. Es gilt $\sqrt{x} = \sqrt[2]{x}$.

Worauf ist bei Potenzgleichungen zu achten?

Die Anzahl der Lösungen einer Potenzgleichung $x^{n}=b$ hängt vom Exponenten $n$ und von $b$ ab. Genauer siehst du dies hier:

  • Wenn $n$ gerade und $b$ negativ ist, hat die Gleichung keine Lösung.
  • Wenn $n$ gerade und $b=0$ ist, dann gibt es nur die Lösung $x=0$.
  • Wenn $n$ gerade und $b$ positiv ist, gibt es zwei Lösungen.
  • Wenn $n$ ungerade ist, dann gibt es unabhängig von $b$ genau eine Lösung.

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann die folgende Form haben:

$ax^{2}+bx+c=0$

.

Zur Lösung einer solchen Gleichung dividierst du durch $a$ auf beiden Seiten und wendest die pq-Formel an. Alternativ kannst du auch direkt die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) benutzen.

Gleichungen dritten Grades

Eine Gleichung dritten Grades kann in der folgenden Form vorliegen:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

.

Im Folgenden siehst du drei Möglichkeiten, wie man Gleichungen dritten Gerades lösen kann.

Polynomdivision

Dies schauen wir uns an dem Beispiel $x^{3}+4x-5=0$ an.

Du musst eine erste Lösung dieser Gleichung finden. Eine solche gibt es bei Gleichungen dritten Grades immer. Es ist $1^{3}+4\cdot 1-5=0$, also ist $x_{1}=1$ eine Lösung der Gleichung. Führe nun eine Polynomdivision durch:

$\left(x^{3}+4x-5=0\right):(x-1)=x^{2}+x+5$.

Du dividierst dabei immer durch den Term $(x - \text{gefundene Lösung})$.

Die weiteren Lösungen, sofern vorhanden, findest du durch Lösen der Gleichung $x^{2}+x+5=0$. Dazu kannst du wieder die Lösungsmöglichkeiten für quadratische Gleichungen nutzen. Hinweis: Diese Gleichung besitzt keine weiteren Lösungen.

Ausklammern

Wenn bei einer Gleichung dritten Grades kein Term ohne $x$ vorliegt, kannst du $x$ ausklammern.

Somit ist $x$ ein Faktor und führt zur Lösung $x_{1}=0$. Da der andere Faktor ein quadratischer Term ist, findest du weitere Lösungen mit Hilfe der pq-Formel.

Gleichungen dritten Grades in faktorisierter Form

Eine Gleichung dritten Grades kann auch als Produkt vorliegen. Schau dir zum Beispiel die Gleichung $(x-2)^{2}\cdot (x+1)=0$ an. Du kannst nun den Satz vom Nullprodukt verwenden. Dieser besagt, dass ein Produkt $0$ ist, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Du kannst also die Lösungen der Gleichung sozusagen „ablesen“. Diese sind in diesem Beispiel $x_{1}=2$ und $x_{2}=-1$.

Was sind Wurzelgleichungen?

In Wurzelgleichungen kommt die Variable $x$ unter einer Wurzel vor. Du weißt nun bereits, dass du Potenzgleichungen löst, indem du die entsprechende Wurzel ziehst. Ebenso löst du Wurzelgleichungen, indem du mit dem entsprechenden Exponenten potenzierst. Dabei musst du gegebenenfalls die Wurzel zunächst isolieren.

Wir schauen uns abschließend das Beispiel $2\sqrt{x+1}-4=2$ an:

$\begin{array}{rclll} 2\sqrt{x+1}-4&=&2&|&+4\\\ 2\sqrt{x+1}&=&6&|&:2\\\ \sqrt{x+1}&=&3&|&(~~~)^{2}\\\ x+1&=&9&|&-1\\\ x&=&8 \end{array}$

Wichtig: Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, kann die gefundene Lösung auch eine Scheinlösung sein. Deshalb musst du auf jeden Fall eine Probe durchführen. Es gilt $2\sqrt{8+1}-4=2\sqrt 9-4=2\cdot 3-4=6-4=2$. ✓