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Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kommen in vielen Zusammenhängen vor. Egal, welches Lösungsverfahren du anwendest, du erhältst immer die gleichen Lösungen.

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Themenübersicht in Lineare Gleichungssysteme

Was sind lineare Gleichungssysteme?

In einer linearen Gleichung wie zum Beispiel $5x+10=0$ kommt die Variable (hier $x$) in linearer Form vor. Betrachtet man nun mehrere lineare Gleichungen (normalerweise kommen dann auch mehrere Variablen vor), spricht man von einem linearen Gleichungssystem.

Wir schauen uns im Folgenden folgendes lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen an:

$\begin{array}{rrcl} I. & x + y & = & 32 \\ II. & 2x + 4y & = & 84 \end{array}$

Das Ziel ist es nun $x$ und $y$ herauszufinden. Dabei müssen beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein.

Mögliche Lösungsverfahren

Es gibt verschiedene Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Welches dieser Verfahren du wählst, hängt vor allem davon ab, welches dir am besten gefällt.

Zeichnerische Lösung

Wenn du die beiden obigen Gleichungen umformst, erhältst du zu $y={-x}+32$ und zu $y=-\frac12x+21$.

Dies sind zwei lineare Funktionsgleichungen. Deren Funktionsgraphen sind Geraden. Du kannst nun diese Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem einzeichnen. Wenn es eine Lösung für das lineare Gleichungssystem gibt, schneiden sich diese Geraden. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die gesuchten Lösungen für $x$ und $y$.

In den folgenden Absätzen siehst du, wie du rechnerisch zur Lösung gelangst.

Das Gleichsetzungsverfahren

Du gehst beim Gleichsetzungsverfahren so vor:

  • Du formst beide Gleichungen so um, dass sie die Form $x=...$ haben. Dabei steht $x$ für eine beliebige Variable. Diese Variable darf auf der jeweils anderen Seite nicht mehr vorkommen.
  • Dann setzt du die jeweils anderen beiden Seiten gleich.
  • Du erhältst so eine lineare Gleichung mit einer Variablen.
  • Diese Gleichung löst du nun durch Äquivalenzumformungen.
  • Mit der gefundenen Lösung berechnest du die Lösung für die andere Variable.

Das Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren formst du eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen um. Diese setzt du dann in die andere Gleichung ein. Du erhältst so eine lineare Gleichung, welche du löst. Verwende die gefundene Lösung, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.

Das Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren addierst (oder subtrahierst) du die beiden Gleichungen so, dass eine der beiden Variablen „verschwindet“. Gegebenenfalls musst du hierfür vorher eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl multiplizieren. Auch bei diesem Verfahren erhältst du schließlich eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten.

Das Gauß-Verfahren

Im Gauß-Verfahren wird das Gleichungssystem in Form einer erweiterten Koeffizientenmatrix aufgeschrieben. Diese wird auf obere Dreiecksgestalt gebracht. Schließlich löst du das Gleichungssystem rückwärts.

Dieses Verfahren entspricht einer formalisierten Schreibweise des Additionsverfahrens.

Alle Wege führen zu der Lösung $x=22$ und $y=10$.