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Logarithmusgleichungen

Beim Lösen von Logarithmusgleichungen, welche Logarithmen enthaltende Gleichungen sind, muss man geschickt vorgehen.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was sind Logarithmusgleichungen?

Zunächst einmal wenden wir uns der Frage zu, was Logarithmusgleichungen sind: In einer Logarithmusgleichung kommt die Variable als Argument eines Logarithmus vor.

Wir wiederholen hierfür einmal, was ein Logarithmus ist: Das Logarithmieren ist die Umkehroperation zum Potenzieren. Schau dir ein Beispiel an:

  • Du weißt bestimmt, dass $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2 =32$ ist.
  • Umgekehrt könnte die Frage lauten: Mit welcher Zahl musst du die $2$ potenzieren, damit $32$ herauskommt?

Diese Frage führt uns zu der Gleichung $2^{x}=32$. Die obige Frage beantwortet der Logarithmus $x=\log_2{32}$.

Etwas allgemeiner gilt, dass die Gleichung $a^x=b$ durch $x=\log_a{b}$ gelöst wird. Dabei muss die Basis $a$ des Logarithmus immer positiv sein.

Nun lernst du noch verschiedene spezielle Logarithmen kennen, welche du am häufigsten verwenden wirst:

  • Der Logarithmus zur Basis $10$ wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet und schreibt sich abgekürzt so: $\log_{10}=\lg$.
  • Der Logarithmus zur Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: $\log_e=\ln$.
  • Der Logarithmus zur Basis $2$ wird auch als Logarithmus dualis bezeichnet: $\log_{2}= \text{ld}$.

Nun kommen wir zu einem ersten Beispiel für eine Logarithmusgleichung: $\text{ld}(8x)=5$.

Logarithmusgleichungen lösen

Um eine Logarithmusgleichung zu lösen, musst du potenzieren. Die Basis der Potenz ist dabei die Basis des Logarithmus. Wir kommen noch einmal zu dem obigen Beispiel $\text{ld}(8x)=5$ zurück.

Da der $\text{ld}$ die Basis $2$ hat, musst du mit der Basis $2$ potenzieren. Das führt zu $8x=2^{5}=32$. Nun kannst du durch $8$ dividieren und erhältst damit die Lösung $x=\frac{32}{8}=4$.

Beispielaufgaben

Im Folgenden siehst du noch weitere Beispiele für das Lösen von Logarithmusgleichungen.

Beispiel 1: $\lg(3x+1)=3$

  1. Potenziere. Die Basis ist $10$. So erhältst du die Gleichung $3x+1=10^{3}$, also $3x+1=1000$.
  2. Subtrahiere $1$ zu $3x=999$.
  3. Dividiere durch $3$. So kommst du zu der Lösung $x=\frac{999}3=333$.

Beispiel 2: $3\ln(5x-1)=1,5$

  1. Hier dividierst du zunächst durch $3$. So isolierst du den Logarithmus und erhältst $\ln(5x-1)=0,5$.
  2. Nun potenzierst du zur Basis $e$, der Euler'schen Zahl. Es folgt $5x-1=\sqrt{e}$.
  3. Addiere die $1$ und dividiere schließlich durch $5$. So gelangst du zu $x=\frac{\sqrt{e}+1}{5}\approx0,53$.

Beispiel 3: $\text{ld}\left(x^{2}-4\right)=5$

Diese Gleichung sieht nun etwas komplizierter aus. Das Vorgehen ist allerdings analog zu den vorigen Beispielen:

  1. Potenziere zur Basis $2$ zu $x^{2}-4=32$.
  2. Addiere die $4$ zu $x^{2}=36$.
  3. Zuletzt ziehst du die Wurzel und erhältst die beiden Lösungen $x_{1}=\sqrt{36}=6$ sowie $x_{2}={-\sqrt{36}}={-6}$.

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Logarithmusgleichungen (2 Arbeitsblätter)