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Optische Abbildungen

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Physik-Team
Optische Abbildungen
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Grundlagen zum Thema Optische Abbildungen

Inhalt

Was ist eine optische Abbildung?

Unter einer optischen Abbildung versteht man per Definition die Erzeugung eines Bildes ausgehend von einem Gegenstand mithilfe eines optischen Systems. Einfache optische Systeme sind z. B. Spiegel oder Linsen. Allgemein können sich optische Systeme aber auch aus vielen hintereinander liegenden Linsen und Spiegeln zusammensetzen, so wie es z. B. in Kameraobjektiven oder Teleskopen der Fall ist.

Eine einfache und anschauliche Bestimmung der durch ein optisches System erzeugten Abbildung liefert die Strahlenoptik. Mithilfe dieser lassen sich Gegenstand und Bild aus einer Vielzahl von zusammengesetzten Gegenstandspunkten bzw. Bildpunkten beschreiben, wobei jeder Gegenstandspunkt einem Bildpunkt zugeordnet werden kann. Die Zusammensetzung aller Bildpunkte ergibt dann das gesamte Bild.

Konstruktion von Abbildungen

Doch wie entsteht nun eine optische Abbildung bzw. ein Bild?

In den meisten Fällen musst du jedoch nicht alle Gegenstands- und Bildpunkte betrachten, um die Bildeigenschaften deiner optischen Abbildung bestimmen zu können. Hierfür genügt es in der Regel, dir nur die Entstehung des Bildpunktes ausgehend vom höchsten Punkt deines Gegenstandes anzuschauen. Dieser entsteht, wenn sich der Parallelstrahl, der Mittelpunktstrahl und der Brennpunktstrahl nach der Lichtbrechung oder Reflexion an einem optischen System (einer Linse oder einem Spiegel) wieder vereinigen.

Optische Abbildung Strahlengang Erzeugung konvexes reelles Bild

Veranschaulichen kannst du dir das besonders gut mit einer Zeichnung. In diese zeichnest du zunächst die optische Achse sowie die Position der Linse auf dieser ein. In diesem Beispiel betrachten wir die optische Abbildung durch eine Sammellinse (konvexe Linse).

Danach folgen die Brennpunkte f und f'. f bezeichnet in der Regel den Brennpunkt auf der Gegenstandsseite und f' den Brennpunkt auf der Bildseite. Die Unterscheidung zwischen f und f' wird hierbei gemacht, da bei nicht symmetrischen Linsen der Brennpunkt auf der Gegenstandsseite von der Linse einen anderen Abstand haben kann, als der Brennpunkt auf der Bildseite. Platziere nun deinen Gegenstand im von dir gewählten oder vorgegebenen Abstand von der Linse. Dieser Abstand wird auch Gegenstandsweite g genannt. Die Höhe des Gegenstands wird auch als Gegenstandsgröße G bezeichnet.

Beginne nun damit, den Parallelstrahl sowie Mittelpunktstrahl und Brennpunktstrahl bis zur Mittelebene der Linse (auch Linsenebene) auf der Gegenstandsseite einzuzeichnen. Diese Strahlen zeichnest du vom höchsten Punkt des Gegenstandes ausgehend ein. Dabei verläuft der Parallelstrahl parallel zur optischen Achse und der Brennpunktstrahl durch den gegenstandseitigen Brennpunkt. Der Mittelpunktstrahl passiert die Linse in ihrer Mitte.
Bei der Brechung an der Linsenebene werden Parallelstrahlen zu Brennpunktstrahlen und Brennpunktstrahlen zu Parallelstrahlen. Der Mittelpunktstrahl bleibt unverändert. Zeichne nun ausgehend vom Schnittpunkt des gegenstandsseitigen Parallelstrahls mit der Linsenebene einen Brennpunktstrahl auf der Bildseite ein und ausgehend vom Schnittpunkt des Brennpunktstrahls der Gegenstandsseite mit der Linsenebene einen Parallelstrahl auf der Bildseite.

Hast du nun alle drei Strahlen eingezeichnet, so sollten sich diese im gezeigten Beispiel und im Falle einer Sammellinse (konvexen Linse) auf der Bildseite schneiden. Dieser Schnittpunkt ist der zu deinem Gegenstandspunkt gehörige Bildpunkt. Die Höhe des Bildpunktes über der optischen Achse wird auch als Bildgröße B bezeichnet und der Abstand von der Linse entlang der optischen Achse als Bildweite b. Für Zerstreuungslinsen (konkave Linsen) wirst du feststellen, dass sich die Strahlen auf der Bildseite nicht schneiden werden.

Das Verhältnis zwischen Bildgröße B und Gegenstandsgröße G wird als Abbildungsmaßstab A bezeichnet. Gleichzeitig definiert der Abbildungsmaßstab aber auch das Verhältnis zwischen der Bildweite b und der Gegenstandsweite g.

$A = \frac{B}{G} = \frac{b}{g}$

Mit dieser Formel lässt sich unter Kenntnis der Bildweite somit die Bildgröße deiner optischen Abbildung wie folgt bestimmen:

$ B = \frac{b}{g} \cdot G $

Reelle und virtuelle Bilder

Das Bild, welches du gerade konstruiert hast, wird als reelles Bild bezeichnet, da sich die Lichtstrahlen auf der Bildseite schneiden. Somit ist es möglich, das erzeugte Bild mit einem Blatt Papier oder einem Schirm aufzufangen und anzuschauen. Das Gegenstück zu einem reellen Bild wird als virtuelles Bild bezeichnet. Hier vereinigen sich die Lichtstrahlen auf der Bildseite nicht mehr. Das Bild kann somit nicht mit einem Schirm aufgefangen werden.

Oben haben wir schon erwähnt, dass sich bei Zerstreuungslinsen die Strahlen auf der Bildseite nicht vereinigen. Hier entstehen, auf der Gegenstandsseite, immer virtuelle Bilder. Doch auch mit Spiegeln oder konvexen Linsen kann man unter bestimmten Umständen virtuelle Bilder erzeugen. Unter welchen Bedingungen das bei Sammellinsen der Fall ist, erfährst du in der folgenden Tabelle.

Reelle Bilder Virtuelle Bilder
Eigenschaften Die Strahlen vereinigen sich auf der Bildseite.
--> Die Strahlen können mit einem Schirm aufgefangen werden.
Die Strahlen vereinigen sich auf der Bildseite nicht mehr.
--> Es kann auf einem Schirm kein Bild erzeugt werden.
Erzeugung (bei Sammellinsen) Werden erzeugt, wenn sich das Objekt von der Linse aus gesehen hinter
dem Brennpunkt befindet.
Werden erzeugt, wenn sich das Objekt zwischen dem Brennpunkt und der Linse
befindet.

Abbildungsfehler einer optischen Abbildung

Als Abbildungsfehler werden Effekte bezeichnet, welche, ausgenommen einer Vergrößerung oder Verkleinerung, eine ungewollte Veränderung (z. B. eine Verzerrung) der optischen Abbildung bewirken. Die zwei häufigsten Abbildungsfehler sind die sphärische und die chromatische Aberration.

Zusammenfassung zu den optischen Abbildungen

In diesem Video wird dir die Entstehung von optischen Abbildungen auf einfache Weise erklärt. Die folgenden Stichpunkte fassen die wichtigsten Informationen zu diesem Thema noch einmal zusammen:

  • Durch ein optisches System wird das Bild eines Gegenstands erzeugt.
  • Das Verhältnis von Bildgröße zu Gegenstandsgröße ist der sogenannte Abbildungsmaßstab.
  • Es können reelle und virtuelle Bilder entstehen.

Als Beispiel wird dir die Rekonstruktion einer optischen Abbildung mit einer Linse gezeigt.

Transkript Optische Abbildungen

Vor etwa 500 Jahren bemühten sich Künstler wie Albrecht Dürer mit “Abbildungsapparaten” perfekte Bilder von Gegenständen zu erschaffen. Dabei hätte Herr Dürer doch nur eine geeignete Linse oder einen Spiegel benötigt.

Videoübersicht

Damit du nicht 500 Jahre nach dem perfekten optischen Abbild suchen musst, präsentiert dir dieses Video ein Rezept zur Konstruktion von Abbildungen an Linsen und Spiegeln. Du wirst erfahren, was eine optische Abbildung eigentlich ist, und wie dir besondere Punkte und Strahlen bei der Konstruktion helfen. Außerdem erkläre ich dir, was der Unterschied zwischen reellen und virtuellen Bildern ist. Und abschließend erfährst du, was man unter dem Abbildungsmaßstab versteht und wie man ihn berechnet.

Die optische Abbildung

Eine Optische Abbildung nennt man den Vorgang, bei dem Licht, das von einem Gegenstandspunkt ausgeht und in einem Bildpunkt vereinigt wird. Das passiert beispielsweise, wenn Licht durch eine Linse tritt oder wenn Licht an einem Spiegel reflektiert wird.

Jedem Gegenstandspunkt lässt sich dabei ein Bildpunkt zuordnen. So entsteht eine optische Abbildung des gesamten Gegenstandes. Nun erstellen wir gemeinsam ein Rezept zur Konstruktion einer optischen Abbildung: Zunächst zeichnest du die optische Achse als waagerechte Gerade. Senkrecht dazu platzierst du die Linse und beidseitig ihre Brennpunkte F und F Strich.

Die Brennpunktstrahlen

Als Gegenstand dient ein Pfeil. Seine Länge ist die Gegenstandsgröße groß G und sein Abstand zur Linse die Gegenstandsweite klein g. Beim Auffinden eines Bildpunktes helfen dir nun drei Hilfsstrahlen, für die beim Durchlaufen der Linsenebene folgende Regeln gelten: Die Parallelstrahlen werden zu Brennpunktstrahlen. Der Mittelpunktstrahl bleibt unabgelenkt. Und die Brennpunktstrahlen werden zu Parallelstrahlen.

Das reelle Bild

Ordnest du so jedem Gegenstandspunkt des Pfeils einen Bildpunkt zu, entsteht ein Bildpfeil. Die Länge dieses Bildpfeils wird als Bildgröße groß B bezeichnet. Sein Abstand zur Linse heißt Bildweite klein b. Das Bild des Pfeils, das wir gerade konstruiert haben, ist ein reelles Bild. Reelle Bilder kann man mit einem Schirm oder einer Leinwand wie im Kino auffangen.

Das virtuelle Bild

Dagegen können virtuelle Bilder, wie sie am ebenen Spiegel entstehen, nicht mit einem Schirm aufgefangen werden. Die von einem Gegenstandspunkt ausgehenden Lichtstrahlen werden nicht hinter dem Spiegel vereinigt. Erst unser Gehirn verlängert reflektierten Strahlen und denkt sich ein Bild hinter dem Spiegel.

Im Gegensatz zum ebenen Spiegel hat ein Hohlspiegel genau wie die Sammellinse einen Brennpunkt und eine Brennweite. Dieser Hohlspiegel kann die von einem Gegenstandspunkt ausgehenden Lichtstrahlen wieder vereinigen und deshalb reelle Bilder erzeugen. Für Sammellinsen und Hohlspiegel gelten also die gleichen Abbildungsregeln. Die Bilder entstehen allerdings auf der jeweils anderen Seite.

Die Bildgrößen

Nähert man einen Gegenstand aus weiter Entfernung der Sammellinse oder dem Hohlspiegel an, entsteht ein umgekehrtes, reelles und verkleinertes Bild zwischen f und 2 f. Die doppelte Brennweite markiert eine besondere Stelle. Befindet sich dort ein Gegenstand, so entsteht auf der anderen Seite der Linse an selber Stelle ein Bild mit derselben Größe.

Der Krümmungsmittelpunkt

Das Gleiche gilt für einen Gegenstand im Krümmungsmittelpunkt des Hohlspiegels. Für einen Gegenstand zwischen 2 F und F oder zwischen M und F, entsteht ein vergrößertes, umgekehrtes Bild. Dieses Bild wird immer größer und wandert weiter in die Ferne, je näher der Gegenstand heranrückt. Aber Achtung. Für einen Gegenstand innerhalb der Brennweite entsteht ein vergrößertes, aufrechtes und vor allem virtuelles Bild.

Der Abbildungsmaßstab

Genau diesen Effekt nutzt du bei einer Lupe oder wenn du dich in einem Kosmetikspiegel betrachtest. Kommen wir nun noch zum Abbildungsmaßstab A. Diesen erhält man, wenn man die Bildgröße groß B durch die Gegenstandsgröße groß G teilt. Dieser Abbildungsmaßstab vergleicht einfach die Größe des Gegenstandes mit der Größe seines Bildes. Ist dieser Abbildungsmaßstab gleich eins, bedeutet das: Gegenstand und Bild sind gleichgroß.

Ist der Abbildungsmaßstab kleiner als eins, so ist auch das entstandene Bild kleiner als der Gegenstand. Und ist der Abbildungsmaßstab größer als eins, dann ist das Bild dieser optischen Abbildung größer als der Gegenstand. Wollen wir abschließend noch einmal Ordnung in den Abbildungssalat bringen.

Zusammenfassung zu optischen Abbildungen

Du hast erfahren, dass drei Hilfsstrahlen dabei helfen, jedem Gegenstandspunkt einen Bildpunkt zuzuordnen. Dabei bestimmt der Abstand zwischen Gegenstand und Linse beziehungsweise dem Hohlspiegel, die Größe, die Lage und die Art des Bildes. Und der Abbildungsmaßstab A vergleicht, wie groß das entstandene Bild im Vergleich zum Gegenstand ist.

Übrigens brauchst du nicht einmal eine Glaslinse, um selbst ein optisches Abbild zu erzeugen. Du kannst dir einfach eine Wasserlinse bauen. Dafür formst du aus einer Büroklammer einen Ring und tauchst ihn in ein Wasserglas. Dabei bleibt ein Tropfen im Ring hängen, den du super als Lupe verwenden kannst. Viel Spaß beim Basteln!

15 Kommentare

15 Kommentare
  1. Ich habe nicht verstanden was f und f strich ist.

    Von Jacob Cherian, vor 6 Monaten
  2. ok ich habe es verstanden

    Von Luis, vor etwa einem Jahr
  3. mmh

    Von Luis, vor etwa einem Jahr
  4. Vielen Dank für die tolle Hilfe 😃

    Von Zaaboutfamily, vor mehr als einem Jahr
  5. sehr gut besser geht es nicht danke
    Ps.: es hatte auch spaß gemacht

    Von Doreen Tischer 1, vor mehr als 2 Jahren
Mehr Kommentare

Optische Abbildungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Optische Abbildungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was man unter einer optischen Abbildung versteht.

    Tipps

    Auch dein Spiegelbild ist eine optische Abbildung.

    Lösung

    Um Gegenstände sehen zu können, müssen sie Licht so reflektieren, dass es in unser Auge trifft. Auch bei der optischen Abbildung machen wir uns das Licht zu Nutze, welches vom Gegenstand ausgesendet wird. Mit Hilfe einer Linse oder eines Spiegels lässt sich ein Bild vom Gegenstand herstellen.

    Jeder einzelne Gegenstandspunkt sendet dabei Licht aus, welches im Bild als Bildpunkt wiederzufinden ist. Somit kann jedem Gegenstandspunkt genau ein Bildpunkt zugeordnet werden.

    Alle Bildpunkte zusammen ergeben letztlich das Bild, also die optische Abbildung des Gegenstandes.

  • Gib an, was die verwendeten Abkürzungen bei der Bildkonstruktion bedeuten.

    Tipps

    Die Brennweite beschreibt den Abstand zwischen Linsenmitte und Brennpunkt.

    Die Bildweite beschreibt den Abstand zwischen Linsenmitte und dem entstehenden Bild.

    Die Gegenstandsweite beschreibt den Abstand zwischen Linsenmitte und dem Gegenstand.

    Lösung

    Eine optische Linse, egal ob sie konkav oder konvex geformt ist, besitzt immer einen Brennpunkt vor und einen hinter der Linse. Am Brennpunkt $F$ schneiden sich die Strahlen, die parallel zur Achse durch die Linse fallen. Der Abstand zwischen Brennpunkt und Hauptebene der Linse nennt man Brennweite und wird mit $f$ gekennzeichnet.

    Wenn ein Gegenstand in einem geeigneten Abstand vor eine Linse positioniert wird, entsteht ein Bild dieses Gegenstandes. Die Größe des Gegenstandes wird dabei mit $G$ abgekürzt. Die Gegenstandsweite, also der Abstand zwischen Gegenstand und der Hauptebene der optischen Linse, wird mit $g$ abgekürzt. Die Hauptebene liegt bei dünnen Linsen in der Linsenmitte.

    Das entstehende Bild besitzt die Bildgröße $B$ und der Abstand des Bildes zur Hauptebene der Linse wird mit $b$ bezeichnet.

    Aus diesen Größen lassen sich interessante Zusammenhänge herstellen. So gilt:

    $\begin{align} \frac{B}{G}=\frac{b}{g} \end{align}$

    Die Vergrößerung $\frac{B}{G}$, also das Verhältnis der Bild- zur Gegenstandsgröße, ist also gleich dem Verhältnis der Bildweite zur Gegenstandsweite.

  • Ordne den Abständen des Gegenstands zur Linse ihre Bildeigenschaften zu.

    Tipps

    Die Gegenstandsweite $g$ bezeichnet den Abstand zwischen dem Gegenstand und der Hauptebene der optischen Linse. Da wir es hier mit einer dünnen Linse zu tun haben, liegt die Hauptebene in der Linsenmitte.

    Mach dir eine Skizze: Benutze die Hilfsstrahlen, um das Bild zu konstruieren.

    Lösung

    Die Eigenschaften des Bildes, welches mit einer Sammellinse von einem Gegenstand erzeigt wird, hängt von der Gegenstandsweite $g$ und der Brennweite $f$ der Linse ab.

    Wir schauen uns ein paar Möglichkeiten an:

    $g>2f$

    Der Gegenstand befindet sich beliebig weit außerhalb der doppelten Brennweite. In diesem Fall entsteht hinter der Linse ein umgekehrtes, reelles und verkleinertes Bild. Das Bild ensteht dabei immer zwischen $f'$ und $2f'$.

    $g = 2f$

    Der Gegenstand befindet sich bei der doppelten Brennweite. Das Bild ist nun umgekehrt und reell, aber genauso groß wie der Gegenstand. Außerdem liegt das Bild im gleichen Abstand zur Linse bei $2f'$.

    $f<g<2f$

    Der Gegenstand liegt nun zwischen der einfachen und der doppelten Brennweite. Wir erhalten ein vergrößertes, umgekehrtes und reelles Bild. Dieses Bild wird immer größer, desto näher der Gegenstand an die Linse gerückt wird.

    $g<f$

    Der Gegenstand liegt innerhalb der Brennweite. Es ensteht ein aufrechtes, vergrößertes und virtuelles Bild. Das Bild lässt sich also nicht auf einem Schirm abbilden. Eine Sammellinse, mit der wir Gegenstände innerhalb der Brennweite der Linse betrachten, ist nichts anderes als eine Lupe.

  • Berechne den Abbildungsmaßstab.

    Tipps

    Schau dir noch einmal die Formel für den Abbildungsmaßstab an.

    Der Abbildungsmaßstab lässt sich mit der Formel $A=\frac{B}{G}$ berechnen.

    Was bedeutet es, wenn der Abbildungsmaßstab $A=1$ ist?

    Lösung

    Der Abbildungsmaßstab vergleicht die Größe eines Gegenstandes mit der Größe seines Bildes. Die Formel lautet also:

    $\begin{align} A =\frac{B}{G} \end{align}$

    Wenn $A=1$ ist, dann sind Gegenstand und Bild gleich groß. In diesem Fall liegt der Gegenstand im Abstand von $2f$ vor der Linse. Sobald $A<1$ gilt, ist der Gegenstand größer als sein Bild. Wenn $A>1$ ist, dann ist das Bild größer als der Gegenstand.

    In der Aufgabe ist die Gegenstandsgröße gegeben. Es gilt $G=12\,cm$. Für die drei verschiedenen Bildgrößen erhalten wir:

    $\begin{align} A_1 &= \frac{B_1}{G} = \frac{48\,cm}{12\,cm} = 4 \\ A_2 &= \frac{B_2}{G} = \frac{3\,cm}{12\,cm} = 0,25 \\ A_3 &= \frac{B_3}{G} = \frac{12\,cm}{12\,cm} = 1\\ \end{align}$

  • Beschrifte die Hilfsstrahlen.

    Tipps

    Optische Linsen besitzen einen Brennpunkt vor und einen hinter der Linse.

    Lösung

    Die Bildkonstruktion an einer dünnen Linse lässt sich geometrisch lösen. Jeder einzelne Punkt eines Gegenstandes kann mit Hilfe von Parallelstrahlen, Mittelpunktstrahl und Brennpunktstrahlen genau einem Punkt des Bildes zugeordnet werden.

    Wenn wir die Spitze eines Pfeils abbilden wollen, setzen hier die drei Hilfstrahlen an. Der Parallelstrahl verläuft nun, wie der Name es vermuten lässt, parallel zur Achse bis zur Linsenmitte. Hier wird der Strahl so abgelenkt, dass er durch den Brennpunkt hinter der Linse fällt. Aus Parallelstrahlen werden also Brennpunktstrahlen.

    Der Mittelpunktstrahl verläuft durch den Linsenmittelpunkt und bleibt unabgelenkt.

    Der Brennpunktstrahl verläuft vor der Linse durch den Brennpunkt und wird, nachdem er die Linse durchlaufen hat, zu einem Parallelstrahl.

    Alle drei Strahlen treffen sich hinter der Linse in einem Punkt. An dieser Stelle befindet sich das Bild der Pfeilspitze.

  • Bestimme zeichnerisch die Bildweite $b$.

    Tipps

    Die Bildweite $b$ beschreibt den Abstand zwischen der Linse und dem Bild.

    Verwende Parallelstrahlen, Brennpunktstrahlen und den Mittelpunktstrahl.

    Aus Parallelstrahlen werden Brennpunktstrahlen. Aus Brennpunktstrahlen werden Parallelstrahlen. Der Mittelpunktstrahl wird nicht abgelenkt.

    Lösung

    Gesucht ist die Bildweite $b$, also der Abstand zwischen der Hauptebene der Linse und dem enstehenden Bild. Aus der Aufgabenstellung lassen sich die Brennpunkte $F$ und $F'$, die Gegenstandsweite $g$ und die Gegenstandsgröße $G$ entnehmen.

    Um die Aufgabe zeichnerisch zu lösen, muss zunächst die optische Achse mit der Linse gezeichnet werden. Ausgehend von der Mitte der Linse können nun im Abstand von $2\,cm$ vor und hinter der Linse die Brennpunkte markiert werden.

    Der Gegenstand, z.B. ein Pfeil, befindet sich $6\,cm$ vor der Linse und ist $1\,cm$ groß. Sobald der Gegenstand und die Brennpunkte eingezeichnet sind, können die Hilfsstrahlen verwendet werden, um das Bild zu konstruieren.

    Die Abbildungsregeln dafür lauten: Aus dem Parallelstrahl, der von der Spitze des Gegenstandes ausgeht wird nach der Linse ein Brennpunktstrahl. Der Brennpunktstrahl wird hinter der Hauptebene der Linse zum Parallelstrahl. Der Mittelpunktstrahl wird nicht abgelenkt.

    Alle drei Strahlen schneiden sich hinter der Linse in einem Punkt. Dies ist der Bildpunkt der Pfeilspitze. Nun kann das vollständige Bild eingezeichnet werden. Wir sehen, dass der Abstand des Bildes zur Linse, also die gesuchte Bildweite $b$, $3\,cm$ beträgt.

    Gleichzeitig haben wir die Bildgröße $B$ ermittelt. Sie beträgt $0,5\,cm$. Das Bild ist also verkleinert. Dies ist immer so, wenn der Gegenstand außerhalb der doppelten Brennweite der Linse liegt.

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