Das hookesche Gesetz

Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Erklärung

Die Federkraft und das Hooke’sche Gesetz hängen physikalisch eng miteinander zusammen. Doch wie lautet das Gesetz von Hooke? Und wie funktioniert die Federkraft? In diesem Text werden Federkraft und das Hooke’sche Gesetz auf einfache Weise erklärt. Für die Herleitung des Hooke’schen Gesetzes ist es notwendig, sich zunächst die Federkraft anzuschauen.

Federkraft – Definition

Federkraft – Formel

Die Federkraft lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

$F=-D \cdot \Delta \ell$

Dabei ist $F$ die Federkraft in Abhängigkeit einer Änderung der sogenannten Ruhelänge, also der Ursprungslänge der Feder. Die Federkraft wird in der Einheit Newton $\left(\pu{N}\right)$ angeben. Die Variable $D$ beschreibt die Federkonstante in der Einheit Newton pro Meter $\left(\frac{\pu{N}}{\pu{m}}\right)$ und $\Delta \ell$ beschreibt die Längenänderung in Metern $\left(\pu{m}\right)$. Zur Bestimmung der Federkraft ist es also notwendig, die Federkonstante und die Längenänderung zu kennen. Die Ruhelänge der Feder beschreibt die Ausgangslänge, in welcher die Feder sich befindet, bevor sie auseinandergezogen wird. Ziehen wir die Feder in die Länge, so ändern wir ihre Länge. Dabei gilt:

• Es muss umso mehr Kraft aufgewendet werden, um die Änderung zu vergrößern, je größer die Längenänderung der Feder bereits ist.
• Die aufzuwendende Kraft ist abhängig von der Federkonstante.

Aus diesen beiden Beobachtungen fasste Robert Hooke das Hooke’sche Gesetz zusammen.

Hooke’sches Gesetz – Defintion

Die unterschiedlichen Bauformen und das damit verbundene Dehnungsverhalten linear elastischer Körper werden durch die Federkonstante $D$ ausgedrückt. Man spricht hier auch von der Härte einer Feder.

Hooke’sches Gesetz – Formel

Wirkt eine Kraft $F$ auf eine Feder mit der Federkonstante $D$, wird diese um die Längenänderung $\Delta \ell$ ausgelenkt.

$\Delta \ell = \dfrac{F}{D}$

Am häufigsten wird jedoch die Stärke einer wirkenden Kraft $F$ bestimmt. Dafür stellen wir die Formel nach $F$ um. Daraus ergibt sich die allgemeine Formulierung der Formel für das Hooke’sche Gesetz:

$F=D \cdot \Delta \ell$

Dabei wird die Kraft $F$ in der Einheit $\pu{N}$, die Längenänderung $\Delta \ell$ (manchmal auch $\Delta s$ oder $\Delta x$) in der Einheit $\pu{m}$ und die Federkonstante $D$ in der Einheit $\frac{\pu{N}}{\pu{m}}$ angegeben.

Hooke’sches Gesetz – Gültigkeit

Für welches Material gilt das Hooke’sche Gesetz?

Das Gesetz gilt nicht für alle elastischen Körper. Es gilt nur für linear elastische Körper. Beispiele für linear elastische Körper sind Schraubenfedern.

Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Zusammenhang

Es ist deutlich zu erkennen, dass die Formeln für die Federkraft und die für das Hooke’sche Gesetz sich nur durch das Vorzeichen vor der Federkonstante unterscheiden:

Federkraft: $F=-D \cdot \Delta \ell$

Hooke’sches Gesetz: $F=D \cdot \Delta \ell$

Das Hooke’sche Gesetz beschreibt die Kraft, welche die Feder auseinander zieht. Die Federkraft hingegen beschreibt die Kraft, welche der Zugkraft entgegenwirkt. Wenn die Feder im ausgedehnten Zustand festgehalten wird, müssen die Zugkraft und die Federkraft gleich groß sein. Wäre die Federkraft größer, so würde sich die Feder wieder zusammen ziehen. Wäre die Zugkraft größer, so könnte die Feder weiter auseinander gezogen werden. Daher berechnen sich beide Kräfte mithilfe der gleichen Formel. Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Kräfte in entgegengesetzte Richtungen wirken.

Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Federkonstante

Die Federkonstante ist für unterschiedliche Federn verschieden, sie ist die Kenngröße für jede Feder und beschreibt ihre Härte. Je größer die Federkonstante ist, desto schwerer lässt die Feder sich auseinanderziehen. Eine Feder mit einer größeren Federkonstante lässt sich bei gleicher Krafteinwirkung weniger stark ausdehnen als eine Feder mit einer kleineren Federkonstante. Die Federkonstante bleibt jedoch bei einer bestimmten Feder konstant.

Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Federkonstante berechnen

Um die Federkonstante einer Feder zu bestimmen, wird die Formel für das Hooke’sche Gesetz nach $D$ umgestellt und wir erhalten:

$D=\dfrac{F}{\Delta \ell}$

Um $D$ zu berechnen, müssen die aufgewendete Kraft $F$ und die Längenänderung $\Delta \ell$ bekannt sein.

Federkraft und Hooke’sches Gesetz – graphisch darstellen

Das Hooke’sche Gesetz kann auch anhand eines Diagramms veranschaulicht werden. Dort wird auf der $x$-Achse die Längenänderung $\Delta \ell$ und auf der $y$-Achse die Kraft $F$ abgetragen. Ein solches Diagramm wird Ausdehnungs-Kraft-Diagramm genannt. Der Anstieg der Geraden entspricht der Federkonstanten der genutzten Feder.

Betrachten wir die folgenden Messwerte:

Tragen wir diese Werte nun in das Diagramm ein, so erhalten wir die mittlere, rote Gerade.

Die beiden anderen Geraden zeigen Federn mit je einer größeren und einer kleineren Federkonstante als die oben verwendete. Es gilt:

• Je größer die Federkonstante, desto größer ist der Anstieg der Geraden im Diagramm.

Ein größerer Anstieg bedeutet, dass die Gerade steiler verläuft. Eine größere Federkonstante bedeutet, dass die Feder härter ist. Da das Hooke’sche Gesetz nicht für alle elastischen Körper, sondern nur für linear elastische Körper gilt, muss die Kennlinie im Diagramm eine Gerade sein.

Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal die wichtigsten Informationen zur Federkraft und dem Hooke’schen Gesetz zusammen.

Federkraft

• Die Federkraft ist die Kraft, welche wirkt, wenn ein Körper elastisch verformt wird. Sie versucht, den Körper in die Ursprungsform zurückzubringen.
• Die Federkraft lässt sich mit der folgenden Formel berechnen: $F=-D \cdot \Delta \ell$

Hooke’sches Gesetz

• Das Hooke’sche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf linear elastische Körper.
• Die Formel für das Hooke’sche Gesetz lautet: $F=D \cdot \Delta \ell$

Federkonstante

• Die Federkonstante ist die Kenngröße für jede Feder. Sie bleibt für eine bestimmte Feder immer konstant.
• Eine Feder mit einer größeren Federkonstante lässt sich bei gleicher Krafteinwirkung weniger stark ausdehnen als eine Feder mit einer kleineren Federkonstante.
• Die Federkonstante lässt sich berechnen mit: $D=\dfrac{F}{\Delta \ell}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Federkraft und Hooke’sches Gesetz