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Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften

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Team Digital
Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften

Ein Kräfteparallelogramm zeichnen

Jakob hat sich eine Hängematte gekauft und möchte sie zwischen zwei Bäumen aufhängen. Bevor er sich die Arbeit macht, sie zwischen die Bäume zu hängen, überprüft er, ob die Seile sein Gewicht auch halten können. Dazu hängt er die Hängematte einfach gerade an einen Ast – die Seile halten sicher. Als er die Hängematte jedoch anschließend zwischen zwei Bäume hängt und sich freudig in die Hängematte legt, reißt ein Seil.

Hat er einen Fehler gemacht? Die Seile hatten ihn doch vorher gehalten? Um herauszufinden, weshalb die Hängematte dieses Mal nicht gehalten hat, beschäftigen wir uns im Folgenden mit Kräfteparallelogrammen.

Was ist ein Kräfteparallelogramm?

Bevor wir ein Kräfteparallelogramm zeichnen können, müssen wir verstehen, was dieser Begriff überhaupt bedeutet. Was eine Kraft in der Physik ist, weißt du schon. Außerdem weißt du auch, dass man Kräfte mithilfe von Vektorpfeilen darstellen kann. Denn sie haben eine Richtung und eine Stärke, die der Länge des Pfeils entspricht.

Wir stellen uns nun folgende Situation vor: Ein großes Frachtschiff soll in einen Hafen gezogen werden. Dazu ziehen zwei kleinere Schiffe mit den Kräften $\vec{F}_{1}$ und $\vec{F}_{2}$ am Bug des Frachtschiffs. Da es gefährlich ist, wenn sich die Schlepper zu nahe kommen, ziehen sie jeweils schräg nach vorne. Die Kräfte zeichnen wir mithilfe von Vektorpfeilen ein.

Kräfteparallelogramm Physik, Einführung

In der Abbildung sehen wir, dass die zwei Schlepper in unterschiedliche Richtungen an dem Frachtschiff ziehen. Allerdings gibt es eine resultierende Kraft, manchmal auch nur als Resultierende bezeichnet, die sich aus den einzelnen Kräften der Schlepperboote ergibt. Das liegt daran, dass die Kraft eine gerichtete Größe ist. Immer, wenn zwei Kräfte an demselben Punkt angreifen, kann man sie durch eine resultierende Gesamtkraft ersetzen.

Uns interessiert nun, welche Stärke und Richtung diese Resultierende hat. Und um das herauszufinden, nutzen wir das Kräfteparallelogramm. Um es zu zeichnen, wenden wir die Parallelverschiebung an. Wir zeichnen zu jedem der beiden Kraftpfeile eine parallel verschobene Linie von der Spitze des jeweils anderen Kraftpfeils aus. Auf diese Weise entsteht ein Parallelogramm. Die resultierende Kraft $\vec{F}_R$ können wir einzeichnen, indem wir einen Pfeil vom Angriffspunkt der beiden Einzelkräfte zum Schnittpunkt der parallel verschobenen Linien zeichnen.

Kräfteparallelogramm Physik, Beispiel

Das Schiff wird also nach vorne gezogen. Der Kraftpfeil der Resultierenden ist außerdem länger als die einzelnen Pfeile, aber kleiner als deren Summe. Wir können auch erkennen, dass die Länge der Resultierenden von dem eingeschlossenen Winkel abhängt. Je spitzer der Winkel ist, desto länger wird der resultierende Kraftpfeil. Beträgt der Winkel $0^{\circ}$, ist die Resultierende genauso lang wie die Summe der einzelnen Pfeile. Allerdings wäre das – wie wir schon festgestellt haben – zu gefährlich für die Schlepper.

Kräfteparallelogramm – Beispiele

Wir können mithilfe des Kräfteparallelogramms grundsätzlich jede beliebige Kombination von Kräften berechnen. Wir betrachten im Folgenden aber zwei spezielle Beispiele.

Beispiel 1: Gestreckter Winkel

Wir stellen uns vor, die beiden Schlepper aus der Erklärung würden nicht an einem Frachtschiff, sondern aneinander in unterschiedliche Richtungen ziehen. Dann beträgt der Winkel zwischen den Kräften $180^{\circ}$ und wir können kein Parallelogramm durch Parallelverschiebung zeichnen. Die resultierende Kraft können wir trotzdem ermitteln. Dazu müssen wir die beiden einzelnen Kraftpfeile einfach direkt übereinanderschieben. Steht ein Pfeil über, gibt das überstehende Ende Länge und Richtung der resultierenden Kraft vor.

Sind beide Pfeile gleich lang, steht keiner der beiden Pfeile über und die resultierende Kraft ist gleich null. Das ist genau wie beim Tauziehen: Wenn beide Teams gleich stark sind, bewegt sich das Seil nicht.

Beispiel 2: Die Hängematte

Kommen wir auf die Hängematte aus der Einleitung zurück. Wir wissen immer noch nicht, wieso die Seile gerissen sind. Jetzt haben wir allerdings das Werkzeug, um dieses Rätsel zu lösen! Wir können das Kräfteparallelogramm benutzen.

Zu Beginn hing die Hängematte an einem Ast. In vertikale Richtung, also nach unten, zeigt die Gewichtskraft $\vec{F}_G$ von Jakob. Weil in diesem Fall die Seile beide (näherungsweise) gerade nach oben zeigen, verteilt sich die Gewichtskraft gleichmäßig auf beide Seilstücke – für jedes Seilstück kann ein Kraftpfeil gezeichnet werden, der halb so lang ist wie der Kraftpfeil von Jakob.

Jetzt betrachten wir die Situation in der Hängematte. Auch für dieses Beispiel können wir ein Kräfteparallelogramm zeichnen. Allerdings ist hier die Vorgehensweise etwas anders, denn wir kennen die resultierende Kraft, die Gewichtskraft $\vec{F}_G$, und müssen die an den Seilen wirkenden Kräfte bestimmen. Wir zeichnen zunächst einen Kraftpfeil für Jakobs Gewichtskraft nach unten. Das ist die Resultierende. Dann verlängern wir in gerader Linie die beiden Seilenden und verschieben sie dann jeweils parallel, sodass sie an der Pfeilspitze der Gewichtskraft vorbeilaufen. So entsteht ein Parallelogramm aus den parallel verschobenen Linien. Die Kräfte $\vec{F}_1$ und $\vec{F}_2$, die auf die Seile wirken, erhalten wir, indem wir je einen Pfeil vom Angriffspunkt zu den Ecken des Parallelogramms zeichnen.

Kräfteparallelogramm Erklärung

Die Kräfte $\vec{F}_1$ und $\vec{F}_2$ sind jeweils größer als die Gewichtskraft von Jakob. Das Seil ist also gerissen, weil die Kraft zu groß wurde. Die Seile einer Hängematte müssen also mehr Kraft aushalten, als die Gewichtskraft der Person, die auf ihr sitzt. Je größer der Winkel zwischen den Seilen ist, desto größer wird die benötigte Kraft. Das liegt daran, dass die Seile immer mehr in die falsche Richtung ziehen. Weil die Kraftpfeile der beiden Seile immer den Kraftpfeil der Gewichtskraft ergeben müssen, werden sie länger, je größer der Winkel wird. Du kannst das selbst aufzeichnen. Dann siehst du, dass die Pfeile schnell nicht mehr auf dein Blatt passen.

Kurze Zusammenfassung zur Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften

In diesem Video lernst du, was ein Kräfteparallelogramm ist und wie man es zeichnet. Außerdem lernst du, Kräfte mithilfe der Parallelverschiebung zu zerlegen. Neben Text und Video findest du zum Thema Kräfteparallelogramm auch Aufgaben, mit denen du gleich üben kannst.

Transkript Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften

"Du glaubst es nicht! Mein Dad hat sich beim Aufhängen der Hängematte echt so mega dämlich angestellt! Erst hat er im Sitzen wie bei einer Schaukel "getestet", ob die Befestigung hält, dann hat er sie normal befestigt und sich reingelegt. "Natürlich" ist er sofort runter geknallt." Hätte dir das auch passieren können? Falls ja, schau dir vielleicht dieses Video an. Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften. Wir wiederholen noch einmal, was du über Kräfte wissen solltest. Kräfte haben eine Richtung UND einen Betrag. Je größer der Betrag ist, desto größer ist die Wirkung der Kraft. Um beide Aspekte einer Kraft darzustellen, verwendet man den KRAFTpfeil. Die Größe der Kraft, also der Betrag, wird durch die Länge des Pfeils dargestellt. Die Stelle am Körper, an dem die Kraft drückt oder zieht, heißt Angriffspunkt. Die Pfeilspitze zeigt die RICHTUNG der Kraft an. Die Linie, entlang derer die Kraft wirkt, nennt man Wirkungslinie. Um deutlich zu machen, dass die Kraft eine Größe mit einer Richtung, also eine sogenannte "gerichtete Größe" ist, wird ihr Formelzeichen F mit einem Pfeil versehen. Eine solche gerichtete Größe heißt auch Vektor. Wenn wir uns nur für den Betrag der Kraft interessieren, lassen wir den Pfeil weg oder benutzen Betragsstriche. Jetzt zum eigentlichen Thema: Schauen wir uns diese zwei Schlepper an, die ein großes Frachtschiff in den Hafen ziehen. Jeder Schlepper übt eine Kraft auf den Frachter aus, beide Kräfte haben denselben Angriffspunkt. Die beiden Kräfte setzen sich zu EINER Kraft zusammen, mit der das Schiff gezogen wird. Wir nennen diese zusammengesetzte Kraft auch resultierende Kraft F-R. Wie können wir ihre Richtung und Kraft ermitteln? In diesem Video zeigen wir dir ZEICHNERISCHE Lösungen. Wir verschieben zuerst F-zwei so parallel, dass der Anfang des Pfeils die Spitze von F-eins berührt. Jetzt verbinden wir den Anfang von F-eins mit der Spitze der verschobenen Kraft F-zwei und erhalten die resultierende Kraft. Oft findet man in Beschreibungen dieser sogenannten "Vektoraddition" die Aufforderung, ein Kräfteparallelogramm zu zeichnen, indem man auch F-eins parallel verschiebt. Ist schick, aber nicht zwingend nötig. Erspart allerdings, Längen abmessen zu müssen. Die resultierende Kraft ist in unserem Falle größer als die Einzelkräfte – aber keineswegs so groß, dass ihr Betrag der Summe der beiden Einzelbeträge entspräche. Könnte man jetzt das Zusammenspiel der beiden Schiffe im Sinne einer größeren resultierenden Kraft noch optimieren? Wir verringern mal den Winkel zwischen den Kräften und schauen, was sich ergibt. Wieder verschieben wir F-zwei. Und verbinden den Beginn von F-eins mit der Pfeilspitze der verschobenen Kraft F-zwei. Die resultierende Kraft ist deutlich größer als bei einem Neunzig-Grad-Winkel. Je spitzer der Winkel zwischen den beiden Kräften wird, desto größer wird die resultierende Kraft. Und je stumpfer er wird, desto kleiner wird sie. Und damit haben wir schon eine erste Antwort auf das Hängemattendesaster! Die Kräfte, die die Hängematte im ausgehängten Zustand halten, stehen in einem extrem STUMPFEN Winkel zueinander! Wir sollten uns noch zwei Sonderfälle anschauen: Erstens: Beide Kräfte zeigen in die selbe Richtung. Bei unserem Schlepperbeispiel ist das schwer zu realisieren, da sie sich dabei sehr nahekommen müssten. Rein zeichnerisch liegen die Pfeile aufeinander. Aber wir können genauso wie eben verfahren: Wir verschieben die Kraft F-zwei so, dass ihr Anfang die Pfeilspitze von F-eins berührt. Die resultierende Kraft ist dann wieder die Verbindung des Anfangs von F-eins mit der Pfeilspitze von F-zwei. Der BETRAG der resultierenden Kraft ist die Summe der Beträge der beiden Ausgangskräfte. Zweitens: Beide Kräfte zeigen genau in die entgegengesetzte Richtung. Das wäre in unserem Schlepperbeispiel eher nicht so klug. Aber Tauziehen funktioniert so! Unser Vorgehen ist dasselbe: Wir verschieben den Pfeil F-zwei so, dass sein Anfang die Pfeilspitze von F-eins berührt. Wenn beide Kräfte exakt gleich groß, aber einander entgegengesetzt gerichtet sind, ist die resultierende Kraft NULL. Sie heben sich gegenseitig auf. Wenn aber nun beide Kräfte NICHT gleich groß sind, ändert sich AUCH nichts an dem Vorgehen. Die resultierende Kraft zeigt in die Richtung der größeren Kraft, und ihr Betrag ist der Betrag der Differenz der Beträge der beiden Kräfte. Und wenn beide Sonderfälle gleichzeitig stattfinden, passiert das. Man kann natürlich auch zwei VERSCHIEDEN große Kräfte addieren, wenn der Winkel zwischen ihnen NICHT einhundertachtzig Grad beträgt. Anders als bei gleich großen Kräften liegt dann die resultierende Kraft nicht auf der Winkelhalbierenden. Manchmal kennt man die RESULTIERENDE Kraft und die Wirkungslinien der beiden Kräfte, aus denen sie sich zusammensetzt. Oder, was dasselbe ist, manchmal möchte man eine Kraft in zwei Komponenten, deren Richtungen man kennt, zerlegen. Genau das ist der Fall beim Hängemattenproblem. Die resultierende Kraft muss mindestens so groß sein wie die Gewichtskraft des Testers. Wie groß müssen dann die beiden seitlich wirkenden Kräfte sein, deren Wirkungslinien hier eingezeichnet sind? Wir erzeugen dazu durch Parallelverschiebung der gegebenen Wirkungslinien das erwähnte Kräfteparallelogramm. Dort, wo die verschobene Wirkungslinie die jeweils andere unverschobene Wirkungslinie berührt, setzen wir die Pfeilspitzen und haben so die gesuchten Kräfte ermittelt. Und sie sind deutlich größer als die resultierende Kraft! In unserem Beispiel mehr als doppelt so groß! Das konnte die Aufhängung nicht leisten! Und warum ist die Hängematte nicht beim ersten Test gerissen? Auch hier müssen die Seilkräfte zusammen mindestens so groß wie die Gewichtskraft sein. Aber weil sie in die gleiche Richtung zeigen, reicht es, wenn sie JEWEILS halb so groß wie die Gewichtskraft sind!!! c Die Kräfte F-eins und F-zwei addierst du zeichnerisch, wenn sie in EINEM Punkt angreifen, indem du den Pfeil von F-zwei so verschiebst, dass sein Anfang die Pfeilspitze von F-eins berührt und dann den Anfang von F-eins mit der Pfeilspitze des verschobenen Pfeils von F-zwei verbindest. Dabei ist die resultierende Kraft umso größer, je spitzer der Winkel zwischen den Kräften ist. Die Zerlegung einer Kraft entlang zweier Komponenten erfolgt durch Konstruktion eines Kräfteparallelogramms. Manche Leute haben Probleme.

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Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere das Kräfteprallelogramm.

    Tipps

    Ein Parallelogramm ist ein Vieleck mit zwei gegenüberliegenden Seiten, die parallel zueinander verlaufen.

    Das Parallelogramm wird aus den zwei gegebenen Kräften gebildet.

    Die diagonale Linie des Kräfteparallelogramms entspricht der resultierenden Kraft.

    Lösung

    Das Kräfteparallelogramm ist ein Hilfsmittel zur zeichnerischen Bestimmung von Kräften. Es beruht auf einem Prinzip der Mechanik, wonach zwei am selben Punkt angreifende Kräfte durch eine einzige Kraft ersetzt werden können.

    „Ein Kräfteparallelogramm ist ein mathematisches Verfahren zur Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts.“

    $\implies$ Diese Antwort ist falsch.

    „Ein Kräfteparallelogramm ist eine Messvorrichtung zur genauen Bestimmung von Temperaturänderungen in einem System.“

    $\implies$ Diese Antwort ist falsch.

    „Ein Kräfteparallelogramm ist eine zeichnerische Darstellung von zwei Kräften, bei der die resultierende Kraft durch die Länge der Diagonale des Parallelogramms dargestellt wird.“

    $\implies$ Diese Antwort ist richtig.

    „Ein Kräfteparallelogramm ist eine Methode zur Bestimmung der absoluten Größe einer Masse.“

    $\implies$ Diese Antwort ist falsch.

  • Beschreibe die Vorgehensweise zum Einzeichnen der resultierenden Kraft mithilfe eines Kräfteparallelogramms.

    Tipps

    Beachte die Eigenschaften eines Parallelogramms.

    Achte darauf, dass die Kräfte parallel und gleich lang sind.

    Lösung

    Das Kräfteparallelogramm ist eine zeichnerische Methode, um die resultierende Kraft aus zwei oder mehreren Kräften, die nicht entlang derselben Linie wirken, zu bestimmen. Die Zeichnung kann in folgender Reihenfolge erfolgen:

    1. Konstruiere das Parallelogramm, indem du von der Pfeilspitze der Kraft $\vec{F_2}$ einen Kraftpfeil ziehst, der sowohl parallel und gleich lang zu der Kraft $\vec{F_1}$ ist.

    2. Schließe das Parallelogramm, indem du den fehlenden Kraftpfeil von dem Endpunkt der Kraft $\vec{F_1}$ parallel und gleich lang zu der Kraft $\vec{F_2}$ zeichnest. Das Parallelogramm ist nun komplett.

    3. Zeichne nun die resultierende Kraft $\vec{F_\text{R}}$ ein, in dem du den Angriffspunkt der beiden Kräfte mit den Pfeilspitzen der parallel verschobenen Kräfte verbindest.

    4 Die Richtung und die Länge der resultierenden Kraft $\vec{F_\text{R}}$ entspricht der Diagonalen des Kräfteparallelogramms.

  • Bestimme die Einzelkräfte des Autos.

    Tipps

    Das Parallelogramm wird durch die Verschiebung der Wirkungslinie konstruiert.

    Dort, wo die verschobene Wirkungslinie die jeweils andere verschobene Wirkungslinie schneidet, setzen wir die Pfeilspitzen und haben so die gesuchten Kräfte ermittelt.

    Lösung

    Um die Teilkräfte aus den gegebenen Wirkungslinien zu bestimmen, werden die Wirkungslinien parallelverschoben. An dem Punkt, wo sich die Linien schneiden, entsteht ein Parallelogramm. Aus dem Parallelogramm lassen sich die beiden Teilkräfte ablesen.

  • Ermittle die resultierende Kraft.

    Tipps

    Die Länge der Diagonale des Kräfteparallelogramms entspricht der resultierenden Kraft.

    Zeichne die Kraftpfeile entsprechend ihrer Richtungen und Größen. Achte dabei, $\pu{1 cm}$ auf dem Papier $\pu{100 N}$ entspricht.

    Lösung

    Um die resultierende Kraft zu bestimmen, können wir das Kräfteparallelogramm konstruieren. Die Länge der Diagonale des Parallelogramms entspricht der resultierenden Kraft.


    Gegeben sind folgende Gößen:

    • Windkraft mit $\pu{800 N}$
    • Wasserkraft mit $\pu{600 N}$

    Zeichne die Kräfte entsprechend ihrer Richtungen und Größen. Das Parallelogramm wird konstruiert, indem die Kräfte parallel verschoben werden und anschließend die Diagonale eingezeichnet wird. Nach Konstruktion des Parallelogramms ergibt sich die resultierende Kraft von etwa $1\,000~\text{N}$.

  • Bestimme die resultierende Kraft nach ihrer Größe.

    Tipps

    Bei einem spitzen Winkel ist die resultierende Kraft größer als bei einem stumpfen Winkel.

    Am größten ist die resultierende Kraft, wenn beide Kräfte in die gleiche Richtung wirken.

    Bei entgegengesetzter Richtung müssen die Kräfte von einander abgezogen werden, um die resultierende Kraft zu erhalten.

    Lösung

    Die maximale resultierende Kraft tritt im Kräfteparallelogramm auf, wenn die Kräfte in einem Winkel von $180^\circ$ zueinander stehen, während die minimale resultierende Kraft bei einem Winkel von $0^\circ$ auftritt.

    Sind die beiden Einzelkräfte parallel, so ist die resultierende Kraft am größten. Zeigen die Kräfte in entgegengesetzte Richtung zueinander, ist die Kraft am kleinsten.

  • Erkläre die Bestimmung der resultierenden Kraft mit mehreren wirkenden Teilkräften.

    Tipps

    Kräfte können zeichnerisch zu einer Gesamtkraft zusammengefügt werden.

    Das Kräftepolygon ist eine grafische Methode zur Zusammenfassung von Kräften.

    Die resultierende Kraft im Kräftepolygon wird durch die Linie vom Anfangspunkt der ersten Kraft zur Spitze der letzten Kraft repräsentiert.

    Lösung

    Ein Kräftepolygon ist eine grafische Darstellung von Kräften, bei der die einzelnen Kräfte als aufeinanderfolgende Linien dargestellt werden. Die resultierende Kraft wird durch die Linie vom Anfangspunkt bis zur Pfeilspitze der letzten Kraft repräsentiert.


    Wenn mehrere Kräfte in verschiedene Richtungen auf einen Punkt wirken, können die Kräfte zeichnerisch zu einer resultierenden Kraft zusammenfügt werden.

    Diese Methode, bekannt als Kräftepolygon, verwendet eine grafische Zusammenfassung von Kräften.

    Die Kräfte werden beliebig nacheinander verbunden, und die resultierende Kraft ist die Linie vom Anfang der ersten zur Spitze der letzten Kraft.

    Das Kräftepolygon ist einfach die Verbindung aller Kräfte zu einer Figur in einer Ebene. Man kann es auch als Kräfteverkettung bezeichnen.