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Die Linsengleichung

Inhaltsverzeichnis zum Thema Die Linsengleichung
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Team Digital
Die Linsengleichung
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Die Linsengleichung

Die Linsengleichung

Du weißt schon, was optische Linsen sind, wie man den Strahlengang zeichnet und was eine reelle Abbildung ist. Aber wie bestimmt man eigentlich, in welcher Entfernung das reelle Bild entsteht oder wie stark es vergrößert wird? Dazu benötigen wir die Linsengleichung. Diese Gleichung wollen wir im Folgenden herleiten.

Die Linsengleichung – Herleitung

Wir betrachten den Strahlengang für die reelle Abbildung, die durch eine Konvexlinse erzeugt wird. Dabei nennen wir die Höhe des Gegenstands $G$ (Gegenstandshöhe), die Entfernung zwischen Gegenstand und Mittelebene der Linse $g$ (Gegenstandsweite), die Höhe des Bilds $B$ (Bildhöhe) und die Entfernung zwischen Bild und Mittelebene $b$ (Bildweite).

Der Mittelstrahl bildet gemeinsam mit der optischen Achse, der Gegenstandshöhe $G$ und der Bildhöhe $B$ je ein rechtwinkliges Dreieck.

Linsengleichung Physik, Herleitung

Weil die Winkel $\alpha$ und $\alpha ‘$ identisch sind, müssen auch die Verhältnisse von $G$ zu $g$ und von $B$ zu $b$ identisch sein – denn in beiden Fällen entsprechen sie dem Tangens des Winkels $\alpha$. Damit können wir unsere erste Linsengleichung aufschreiben:

$\frac{G}{g} = \frac{B}{b}$

Diese Gleichung können wir auch umstellen, indem wir Bild- und Gegenstandshöhe auf die eine Seite bringen und Bild- und Gegenstandsweite auf die andere:

$\frac{b}{g} = \frac{B}{G}$

Wir betrachten jetzt die zwei rechtwinkligen Dreiecke, die durch den Parallelstrahl, die optische Achse und Bild- beziehungsweise Gegenstandshöhe gebildet werden.

Linsengleichung Erklärung, Herleitung

Der bildseitige Parallelstrahl schneidet die optische Achse genau im Brennpunkt $F_1$, der sich in der Entfernung der Brennweite $f$ von der Mittelebene befindet. Wie zuvor sind die Winkel der beiden Dreiecke identisch und wir bezeichnen sie mit $\alpha$. Im Fall des rot eingefärbten Dreiecks hat die Strecke auf der optischen Achse die Länge $f$. Im Fall des violett eingefärbten Dreiecks hat die Strecke auf der optischen Achse die Länge $b-f$, denn die gesamte Strecke entspricht gerade der Bildweite. Damit können wir über die Verhältnisse, die wieder jeweils dem Tangens des Winkels entsprechen, die zweite Gleichung aufstellen:

$\frac{G}{f} = \frac{B}{b-f} $

Wir stellen auch diese Gleichung noch um, indem wir alle Terme mit der Brennweite $f$ auf eine Seite ziehen. So erhalten wir:

$\frac{b-f}{f} = \frac{B}{G}$

In beiden Gleichungen, die wir bisher hergeleitet haben, steht auf einer Seite des Gleichheitszeichens der Term $\frac{B}{G}$. Wir können sie also gleichsetzen und erhalten:

$ \frac{b}{g} = \frac{b-f}{f} = \frac{b}{f} -\frac{f}{f} = \frac{b}{f} -1$

In den letzten beiden Termen haben wir schon vereinfacht, indem wir den Bruch auseinandergezogen und $f$ mit $f$ gekürzt haben. Jetzt können wir die $1$ durch Addition auf beiden Seiten auf die linke Seite ziehen und anschließend beide Seiten durch $b$ teilen. Damit erhalten wir:

$\frac{1}{b} + \frac{1}{g} = \frac{1}{f} $

Das ist die Definition der Linsengleichung, die manchmal auch Abbildungsgleichung genannt wird. Je nachdem welche Größe du mit der Linsengleichung berechnen willst, musst du sie umformen. Du kannst zum Beispiel die Linsengleichung umstellen, um die Bild- und Gegenstandsweite zu berechnen, die du für eine bestimmte Vergrößerung benötigst.

Transkript Die Linsengleichung

Ein alter Dachboden steckt voller Überraschungen. Luca hat so eine Art Beamer gefunden. Einen ALTmodischen Beamer. Da steckt so ein kleines Plastikteil drin. Von denen gibt es noch ganz viele. In den Rahmen sind Folien mit kleinen Bildchen. Luca schaltet das Ding mal an. Voll unscharf. Wie bekommt man denn so ein Bild scharf? Na ja, offensichtlich ist in dem Ding eine Sammellinse. Die Brennweite steht auf dem Projektor. f ist gleich einhundertzwanzig Millimeter. Das beleuchtete Plastikding ist auch ungefähr soweit von der Linse entfernt. Kann man damit ausrechnen, wo ein scharfes Bild entsteht? Ja. Da hilft: die Linsengleichung. Wir wiederholen zunächst, was wir über Sammellinsen wissen müssen. Zur Konstruktion des Bildes eines Gegenstands an einer Sammellinse brauchen wir die Mittelebene oder Linsenebene der Linse und die optische Achse. Dann zeichnen wir die beiden Brennpunkte "F eins" und "F zwei" ein, sowie exemplarisch eine der beiden Brennweiten f. Im Abstand klein g, der Gegenstandsweite, platzieren wie den abzubildenden Gegenstand, dessen Gegenstandsgröße groß G ist. Der Gegenstand soll nun beleuchtet werden. Von den von ihm ausgehenden Lichtstrahlen interessieren uns nur die drei Wichtigsten. Der parallel zur optischen Achse laufende sogenannte PARALLELSTRAHL wird an der Brennebene so gebrochen, dass er durch den Brennpunkt F eins läuft. Der durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt laufende BRENNPUNKTSTRAHL wird an der Brennebene so gebrochen, dass er parallel zur optischen Achse verläuft. Das Bild des Punktes, den wir abbilden wollen, liegt am Schnittpunkt der beiden Strahlen. Der Vollständigkeit halber zeichnen wir noch den MITTELPUNKTSTRAHL ein, der gar nicht gebrochen wird. Jetzt haben wir den Bildpunkt des oberen Endes des Gegenstands konstruiert. Da das untere Ende des Gegenstands auf der optischen Achse liegt, liegt dessen Bildpunkt AUCH auf der optischen Achse und wir können das Bild einzeichnen. Die Höhe des realen, auf dem Kopf stehenden, vergrößerten Bildes bezeichnen wir mit der Bildgröße groß B und seinen Abstand von der Brennebene mit klein b, der Bildweite. Du kennst schon die Abbildungsgleichung "klein b durch groß B" gleich "klein g durch groß G". Umgeformt auch "klein b durch klein g" gleich "groß B durch groß G". Um jetzt die Linsengleichung herleiten zu können, zeichnen wir die Gegenstandsgröße nochmal auf der Linie der Brennebene ein Wir betrachten einen Ausschnitt, in welchem wir den zweiten STRAHLENSATZ auf die Brennweite f anwenden können. Die Gegenstandsgröße groß G verhält sich zur Brennweite klein f, wie die Bildgröße groß B zur markierten Strecke. Die markierte Strecke ist, wie man sieht, klein b minus klein f. Da wir den Quotienten aus groß B und groß G auch in der Abbildungsgleichung haben, multiplizieren wir die Gleichung auf beiden Seiten mit klein b minus klein f geteilt durch groß G und erhalten "klein b minus klein f geteilt durch klein f" gleich "groß B durch groß G" gleich klein b durch klein g – wegen der Abbildungsgleichung. Wir können den Ausdruck "klein b minus klein f durch f" aufteilen in "klein b durch klein f" minus "klein f durch klein f". Dann vereinfachen wir, indem wir die Brennweite kürzen. Und jetzt teilen wir noch auf beiden Seiten durch b und erhalten "eins durch klein f" minus "eins durch klein b" gleich "eins durch klein g". Nun bringen wir "eins durch klein b" noch auf die andere Seite und erhalten die Linsengleichung. TADAAAAA! In Worten: Der Kehrwert der Brennweite ist die Summe aus den Kehrwerten der Bildweite und der Gegenstandsweite. Dies wenden wir jetzt an: Wir erinnern uns. Der altmodische Beamer, übrigens ein sogenannter DIAPROJEKTOR, hat eine Brennweite von einhundertzwanzig Millimeter. Das Plastikding, das sogenannte DIA, wird beleuchtet, also genauer gesagt durchleuchtet. Es stellt also den Gegenstand dar. Es befindet sich etwa "zwölf komma zwei Zentimeter" von der Linse entfernt. Das ist die Gegenstandsweite klein g. Und das scharfe Bild befindet sich in der Bildweite klein b. Dort müsste also die Projektionsfläche stehen. Dann wollen wir mal klein b ausrechnen. Zunächst mal ist es ungünstig, dass die Brennweite und die Gegenstandsweite verschiedene Einheiten haben. Was tun? Drück ruhig den Pause-Button. Wir entscheiden uns für EINE der beiden Einheiten. Sagen wir Millimeter. Dann ist g gleich "zwölf komma zwei Zentimeter" gleich "einhundertzweiundzwanzig Millimeter". Nun betrachten wir die Linsengleichung. Gleichungen mit Kehrwerten sind immer ein wenig kompliziert. Wir gehen daher auf Nummer Sicher und ziehen auf beiden Seiten eins durch g ab, damit wir die gesuchte Variable schon mal isoliert haben. Natürlich kannst du diese Formel auch direkt in deinen Taschenrechner eintippen. Dabei musst du darauf achten, am Ende den Kehrwert der gesamten rechten Seite zu bilden. Aber da meist auch der Lösungsweg erfragt wird, nehmen wir uns hier die Zeit und lösen nach b auf. Um an b zu kommen, müssen wir die rechte Seite der Gleichung so umformen, dass wir leicht ihren Kehrwert bilden können. Wie war das? Man subtrahiert Brüche, indem man sie zunächst durch Erweitern oder Kürzen auf den gleichen Nenner bringt und dann die Zähler subtrahiert. Bei Variablen ist EIN gleicher Nenner immer das Produkt der beiden Größen im Nenner. Wir erweitern daher "eins durch f" mit g und "eins durch g" mit f. Im Produkt ist die Reihenfolge der Faktoren egal, wir können also beide Nenner als f mal g schreiben und sie wieder zu einem Bruch zusammenfügen: "Eins durch b" gleich "g minus f" geteilt durch "f mal g". Jetzt bilden wir den Kehrwert und erhalten: b ist gleich "f mal g" geteilt durch "g minus f". Jetzt setzen wir ein: Es ergeben sich als Bildweite sieben Meter zweiunddreißig. Kein Wunder, dass das Bild unscharf ist. Die Wand ist viel zu nah dran. Und wir sind nah am Ende: Mithilfe von Brennpunkt-, Parallel- und Mittelpunktstrahlen können wir das Bild an einer Sammellinse konstruieren. Dabei gilt die Abbildungsgleichung. Und die Linsengleichung, die wir hergeleitet haben. Der Kehrwert der Brennweite ist die Summe aus den Kehrwerten der Bildweite und der Gegenstandsweite. Eine Frage zum Schluss: Wenn das Dia drei Komma sechs Zentimeter groß ist, wie groß ist dann sein scharfes Bild an der Wand? Schreib es uns in die Kommentare.

2 Kommentare
2 Kommentare
  1. dieses video war sehr hilfreich und hat mir den tag gerettet schreibe morgen eine klausur und habe die materie bis jetzt nicht verstanden durch dieses video wurde mir alles klar vielen dank für die hilfe mein lieber

    Von Ekin, vor 17 Tagen
  2. zur abschlus Frage 2,16 cm

    Von Lancelot Mls, vor 9 Monaten

Die Linsengleichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die Linsengleichung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Strahlengang an einer Sammellinse.

    Tipps

    Der pinke Strahl im Bild ist ein Mittelpunktstrahl.

    Der grüne Strahl im Bild ist der Parallelstrahl.

    Der blaue Strahl im Bild ist der Brennpunktstrahl.

    Lösung

    Betrachte noch einmal das Bild:

    Der vom Gegenstand ausgehende Parallelstrahl (in Grün) wird an der Linsenebene gebrochen und verläuft danach als Brennpunktstrahl weiter.
    Der vom Gegenstand ausgehende Brennpunktstrahl (in Blau) wird an der Linsenebene gebrochen und verläuft danach als Parallelstrahl weiter.

    Ein Mittelpunktstrahl (in Pink) wird nicht gebrochen.
    Der Weg des Lichtes ist immer umkehrbar.

  • Vervollständige die Darstellung zur Bildentstehung an einer Sammellinse.

    Tipps

    Die Höhe der Kerze links ist die Gegenstandsgröße $G$.

    Die Brennweite $f$ ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Linse und dem Brennpunkt $F_1$ oder $F_2$.

    Lösung

    Schaue dir das Bild genau an: Fast alle Elemente sind mit Buchstaben beschriftet. Daran kannst du erkennen, welche Begriffe in diese Lücken gesetzt werden müssen:

    • $G$: Gegenstandsgröße
    • $g$: Gegenstandsweite
    • $F$: Brennpunkte
    • $f$: Brennweite
    • $B$: Bildgröße
    • $b$: Bildweite

    Die großen Buchstaben beschreiben den Gegenstand, das Bild und den Brennpunkt.
    Die kleinen Buchstaben beschreiben Abstände (Weiten): Gegenstandsweite, Bildweite und Brennweite.
    Die optische Achse verläuft mittig und waagerecht durch die Linse.
    Die Linsenebene verläuft mittig und senkrecht durch die Linse.

  • Gib an, welche der aufgeführten Formeln das Abbildungsgesetz oder die Linsengleichung beschreiben.

    Tipps

    Im Abbildungsgesetz wird der Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite $g$, der Gegenstandsgröße $G$, der Bildweite $b$ und der Bildgröße $B$ dargestellt:

    $\dfrac{b}{B} = \dfrac{g}{G}$

    Mit der Linsengleichung wird der Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite $g$, der Bildweite $b$ und der Brennweite $f$ dargestellt:

    $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{g}$

    Lösung

    Im Abbildungsgesetz wird der Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite $g$, der Gegenstandsgröße $G$, der Bildweite $b$ und der Bildgröße $B$ dargestellt. Die Bildweite verhält sich zur Bildgröße wie die Gegenstandsweite zur Gegenstandsgröße. Aus diesem Zusammenhang ergibt sich die erste gesuchte Gleichung zum Abbildungsgesetz:

    $\color{#99CC00}{\dfrac{b}{B} = \dfrac{g}{G}}$

    Die andere gesuchte Gleichung kann durch Umstellen abgeleitet werden:

    $\dfrac{b}{B} = \dfrac{g}{G} \quad | \cdot {(B \cdot G)}$

    $\Rightarrow \quad \dfrac{b \cdot B \cdot G}{B} = \dfrac{g \cdot B \cdot G}{G}$

    Durch Kürzen von $B$ auf der linken Seite und $G$ auf der rechten Seite der Gleichung erhältst du die zweite gesuchte Gleichung, die dem Abbildungsgesetz zugeordnet werden kann:

    $\color{#99CC00}{b \cdot G = g \cdot B}$

    Hurra, das Abbildungsgesetz ist erledigt.


    Mit der Linsengleichung wird der Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite $g$, der Bildweite $b$ und der Brennweite $f$ dargestellt.

    Die Summe aus den Kehrwerten von Bildweite und Gegenstandsweite ergibt den Kehrwert der Brennweite. Daraus folgt die erste der gesuchten Gleichungen, die zur Linsengleichung zugeordnet werden kann:

    $\color{#99CC00}{\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{g}}$

    Die andere gesuchte Gleichung erhältst du ebenfalls durch Umstellung dieser Gleichung:

    $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{g} \quad | - \dfrac{1}{g}$

    $\Rightarrow \quad \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{g} = \dfrac{1}{b} \quad | \cdot {f \cdot g}$

    $\Rightarrow \quad \dfrac{f \cdot g}{f} - \dfrac{f \cdot g}{g} = \dfrac{f \cdot g}{b}$

    Du kannst dann auf der linken Seite der Gleichung beim Minuend $f$ kürzen und beim Subtrahend $g$ kürzen:

    $g - f = \dfrac{f \cdot g}{b} \quad | \cdot \dfrac{b}{g - f}$

    Das ist dann die zweite der gesuchten Gleichungen, die der Linsengleichung zugeordnet werden kann:

    $\color{#99CC00}{b = \dfrac{f \cdot g}{g - f}}$

    Hurra, die Linsengleichung ist auch geschafft.

  • Berechne die jeweils fehlende Größe mit der Linsengleichung.

    Tipps

    Die Linsengleichung lautet:

    $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{g} + \dfrac{1}{b}$

    Zur Umrechnung der Einheiten solltest du wissen:

    $\pu{1 m} = \pu{100 cm} = \pu{1 000 mm}$

    Stelle die Linsengleichung nach den gesuchten Größen um und beachte, dass du die verschiedenen Größen nur in der gleichen Einheit zusammenrechnen kannst.

    Lösung

    Du kannst die Linsengleichung nutzen und mit den Kehrwerten die fehlende Größe berechnen:

    $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{g} + \dfrac{1}{b}$

    Du kannst die Formel aber auch nach den einzelnen Größen umstellen.


    1. Rechnung:

    Wir wissen, dass für die Bildweite $b$ gilt:

    • Bildweite: $b = \dfrac{f \cdot g}{g - f}$

    Außerdem kennen wir diese Größen:

    • Gegenstandsweite: $g = \pu{100 mm}$
    • Brennweite: $f = \pu{50 mm}$

    Damit ergibt sich:

    $\quad \Rightarrow$ Bildweite: $\color{#99CC00}{b = 100~\text{mm}}$


    2. Rechnung:

    Wir wissen, dass für die Gegenstandsweite $g$ gilt:

    • Gegenstandsweite: $g = \dfrac{f \cdot b}{b - f}$

    Des Weiteren kennen wir in diesem Fall diese Größen:

    • Bildweite: $b = \pu{90 m}$
    • Brennweite: $f = \pu{9 m}$

    Damit ergibt sich:

    $\quad \Rightarrow$ Gegenstandsweite: $\color{#99CC00}{g = 10~\text{m}}$


    3. Rechnung:

    Wir wissen, dass für die Brennweite $f$ gilt:

    • Brennweite: $f = \dfrac{b \cdot g}{b + g}$

    Zudem haben wir schon diese Größen:

    • Bildweite: $b = \pu{60 cm}$
    • Gegenstandsweite: $g = \pu{12 cm}$

    Damit ergibt sich:

    $\quad \Rightarrow$ Brennweite: $\color{#99CC00}{f = 100\text{mm}}$

  • Gib an, mit welchen Strahlen die Konstruktion eines Bildes an einer Sammellinse möglich ist.

    Tipps

    Ein Mittelpunktstrahl verläuft durch den Schnittpunkt von optischer Achse und Linsenebene.

    Den physikalischen Begriff „Bildpunktstrahl“ gibt es bei der Betrachtung einer Sammellinse nicht.

    Lösung

    Schaue dir das Bild oben sehr gut an: Es sind drei wichtige Strahlen an der Sammellinse zu erkennen:

    • der Mittelpunktstrahl,
    • der Brennpunktstrahl und
    • der Parallelstrahl.

    Mit diesen Strahlen ist es möglich, das Bild eines Gegenstandes an einer Sammellinse zu konstruieren.

  • Gib an, welche Gleichungen zur Berechnung der Bildgröße an einer Projektionswand genutzt werden können.

    Tipps

    Du kannst das Abbildungsgesetz nutzen:

    $\dfrac{b}{B} = \dfrac{g}{G}$

    Du kannst den Strahlensatz nutzen.

    Welche Formeln richtig sind, kannst du herausbekommen, indem du das Abbildungsgesetz und die aus dem Strahlensatz resultierende Formel nach der Bildgröße $B$ umstellst.

    Lösung

    Die richtigen Gleichungen sind:

    $\color{#99CC00}{B = \dfrac{b \cdot G}{g}}$

    und

    $\color{#99CC00}{B = \dfrac{G}{f} \cdot({b - f})}$


    Die erste Gleichung kann aus dem Abbildungsgesetz ermittelt werden:

    $\dfrac{B}{G} = \dfrac{b}{g}$

    Beim Umstellen nach $B$ werden beide Seiten mit $G$ multipliziert. Daraus ergibt sich:

    $B = \dfrac{b \cdot G}{g}$


    Die zweite Gleichung kann aus dem 2. Strahlensatz abgeleitet werden. Dazu kannst du dir das Bild und die Formel anschauen. Aus dem 2. Strahlensatz ergibt sich:

    $\dfrac{G}{f} = \dfrac{b}{(b-f)}$

    Wenn du beide Seiten der Gleichung mit $(b - f)$ multiplizierst, dann kannst du die Bildgröße $B$ berechnen:

    $B = \dfrac{G}{f} \cdot{(b - f)}$