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„Punkt vor Strich“ und „Klammer zuerst“

Strichrechnung, Punktrechnung, Klammern, Vertauschen

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Punkt- und Strichrechnung

Du lernst recht früh in der Schule das Plusrechnen und das Malrechnen kennen.

Plus- und Minusrechnen

Plusrechnen ist eine Strichrechnung. Statt plusrechnen sagt der Mathematiker auch addieren. Es gibt noch eine weitere Strichrechnung, die Umkehrung des Plusrechnens. Das ist das Minusrechnen. Hier lautet der Fachbegriff subtrahieren.

Schau dir einmal Beispiele an:

  • $4+5=9$,
  • $13-2=11$.

Beide Rechenzeichen, sowohl das Pluszeichen $(+)$ als auch das Minuszeichen $(-)$, bestehen aus Strichen. So kannst du dir merken, dass es sich bei beiden Rechnungen um Strichrechnungen handelt.

Malrechnen und Teilen

Malrechnen ist eine Punktrechnung. Hier spricht der Mathematiker vom Multiplizieren. Auch bei der Punktrechnung gibt es eine weitere Rechenoperation, nämlich das Teilen oder auch Dividieren.

Schau dir wieder Beispiele an:

  • $4\cdot 5=20$,
  • $21:3=7$.

Sowohl das Malzeichen $(\cdot)$ für die Multiplikation als auch das Geteiltzeichen $(:)$ für die Division bestehen aus Punkten. Merke dir also, dass es sich bei diesen beiden Rechnungen um Punktrechnungen handelt.

Übrigens: Alle $vier$ Rechenarten werden als Grundrechenarten bezeichnet.

Nun kann es losgehen.

Die Regel „Punkt geht vor Strich“

Üblicherweise rechnest du von links nach rechts.

Zum Beispiel ist $2+3+6+12=5+6+12=11+12=23$. Du addierst also erst die ersten beiden Summanden. Zu dem Ergebnis addierst du dann den dritten und schließlich den vierten Summanden. Das gilt so allerdings nur, wenn du ausschließlich eine Strich- oder eine Punktrechnung hast.

Wenn in einer Aufgabe beide Rechenarten vorkommen, gilt die Regel Punkt vor Strich. Die Punktrechnung hat also Vorrang vor der Strichrechnung.

Wir schauen uns das einmal an folgendem Beispiel an: $3+2\cdot 5$.

  • Wenn du von links nach rechts rechnest, erhältst du $3+2\cdot 5=5\cdot 5=25$. Das ist allerdings falsch.
  • Du musst zunächst die Punktrechnung durchführen. Du rechnest also $3+2\cdot 5=3+10=13$. So ist das korrekt.

Übrigens: Diese Regel lässt sich nicht begründen. Sie hat sich so durchgesetzt.

Beispiele

Hier siehst du noch weitere Beispiele für die Regel Punkt vor Strich.

  1. $12-4\cdot 3$: Rechne zuerst $4\cdot 3=12$ und dann $12-12=0$.
  2. $3+7:7-8\cdot 2$: Führe zuerst die beiden Punktrechnungen durch $7:7=1$ und $8\cdot 2=16$. Es folgt dann $3+1-16$. Jetzt rechnest du wieder von links nach rechts $3+1-16=4-16=-12$. Fertig.
  3. Die Rechnungen können auch immer länger werden, z.B. $12-2\cdot 3\cdot 4+24:8-12:2\cdot 4=12-24+3-24=-33$.

Klammern zuerst

Kommt in einer Rechnung eine Klammer vor, rechnest du zunächst den Wert für den Term in der Klammer aus. Kurz kannst du auch Klammer zuerst sagen.

Auch hierfür schauen wir uns zunächst ein Beispiel sehr ausführlich an. Du sollst im Folgenden den Wert des Terms $2+3\cdot (4-2)$ berechnen.

  1. Berechne zuerst den Wert des Klammerterms $4-2=2$. Die Rechnung lautet jetzt $2+3\cdot 2$.
  2. Das kennst du bereits: Du führst als nächstes die Punktrechnung $3\cdot 2=6$ durch und erhältst nun $2+6$.
  3. Die Strichrechnung liefert $2+6=8$.

Zusammengefasst sieht das dann so aus: $2+3\cdot (4-2)=2+3\cdot 2=2+6=8$.

Nun kannst du an weiteren Beispielen Klammern zuerst und Punkt vor Strich üben.

Beispiele

1. Beispiel: $(3+4)\cdot (5-2)$

  • Berechne erst die Klammerterme $3+4=7$ und $5-2=3$.
  • Nun kannst du multiplizieren $7\cdot 3=21$.

2. Beispiel: $7-3\cdot (8-5)+3\cdot 4$

  • Auch hier berechnest du erst den Klammerterm $8-5=3$. So kommst du zu $7-3\cdot 3+3\cdot 4$.
  • Führe nun die Punktrechnungen $3\cdot 3=9$ sowie $3\cdot 4=12$ durch.
  • Schließlich kommt die Strichrechnung $7-9+12=10$.

3. Beispiel: $3\cdot \left(23-2\cdot (2+7)\right)+4\cdot 6$

Die Klammern können also auch verschachtelt sein. Puh, das sieht sehr kompliziert aus. Rechne Schritt für Schritt.

  • Es ist $23-2\cdot (2+7)=23-2\cdot 9=23-18=5$. Damit ist die große Klammer schon fertig.
  • Nun lautet die Aufgabe $3\cdot 5+4\cdot 6$. Hier musst du zunächst die Punktrechnungen durchführen. Es folgt $15+24$.
  • Zuletzt kommt die Strichrechnung mit $15+24=39$.

Viel Spaß beim Üben.

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