Zufallsexperimente modellieren

Was ist ein Zufallsexperiment?

Ein Experiment, bei welchem der Ausgang nicht vorhersehbar ist, ist ein Zufallsexperiment.

Der Ausgang eines Zufallsexperimentes ist ein Ergebnis. Alle Ergebnisse werden zu der Ergebnismenge zusammengefasst.

Definition: Ein Vorgang ist ein Zufallsversuch oder auch Zufallsexperiment, wenn

• mindestens zwei Ergebnisse möglich sind,
• er beliebig oft wiederholt werden kann und
• die Ergebnisse nicht vorhersehbar sind.

Wir schauen uns nun ein Beispiel an.

Beispiel: Werfen einer Münze

Du wirfst eine Münze viermal.

Nun könntest du die jeweiligen Ergebnisse in Vier-Tupel darstellen, zum Beispiel $($K$|$K$|$Z$|$K$)$. Dabei steht K für Kopf und Z für Zahl. Anstatt alle ($16$) Vier-Tupel aufzuschreiben, kannst du auch eine Zufallsgröße $X$ definieren. Diese könnte die Anzahl angeben, wie oft K vorkommt. $X$ kann dann die Ausprägungen $0$; ...; $4$ annehmen.

Du kannst zu jeder dieser Ausprägungen die Wahrscheinlichkeit berechnen:

• $P(X=0)=\frac1{16}$
• $P(X=1)=\frac4{16}=\frac14$
• $P(X=2)=\frac6{16}=\frac38$
• $P(X=3)=\frac4{16}=\frac14$
• $P(X=4)=\frac1{16}$

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Du kennst das sicherlich: Du unterhältst dich mit Freunden und jemand behauptet, dass am nächsten Tag sehr wahrscheinlich eine Klassenarbeit geschrieben wird. Damit wird zum Ausdruck gebracht, dass es sein könnte, dass eine Klassenarbeit geschrieben wird. Dies ist jedoch nicht sicher.

Der Begriff Wahrscheinlichkeit ist in der Mathematik wie folgt definiert:

• Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zuordnung, mittels derer jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine Zahl zwischen $0$ und $1$ zugeordnet wird.
• Addierst du nun all diese Werte zu allen möglichen Ergebnissen, so ergibt sich $1$.

Beispiel: Wenn du einen Würfel wirfst, kann jede der Augenzahlen von $1$ bis $6$ oben liegen. Du weißt vielleicht schon, dass die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Augenzahlen gleich groß ist, nämlich $\frac16$. Wir prüfen nun, ob dies wirklich eine Wahrscheinlichkeit ist:

• Jede dieser Wahrscheinlichkeiten erfüllt $0\le \frac16\le 1$.
• Addiere nun alle Wahrscheinlichkeiten: $\frac16+\frac16+\frac16+\frac16+\frac16+\frac16=\frac66=1$.

Du siehst, es ist korrekt, hier von einer Wahrscheinlichkeit zu sprechen.

Überlege dir doch einmal, in welchem Zusammenhang du die Begriffe wahrscheinlich oder Wahrscheinlichkeit verwendest.

Hier siehst du noch ein weiteres Beispiel:

Beispiel: Schokokekse

Der Hersteller von Schokokeksen hat sich eine Aktion einfallen lassen: In $10~\%$ aller Verpackungen versteckt sich ein Gutschein über $5~\text{€}$.

Du kannst diese Aktion als Zufallsexperiment modellieren. Du legst eine rote und neun weiße Kugeln in eine Urne. Die rote Kugel steht für eine Verpackung mit einem Gutschein und die weißen für die übrigen Verpackungen. Nun kannst du eine Kugel ohne Hinsehen aus der Urne ziehen.

Du kaufst vier Packungen Schokokekse: Dies ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment.

Du möchtest nun wissen, wie groß zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit dafür ist, vier Gutscheine zu erhalten: Hierfür multiplizierst du $0,1\cdot 0,1\cdot 0,1\cdot 0,1=0,0001$.

Die Wahrscheinlichkeit, vier Gutscheine zu erhalten, beträgt also $0,01\%$.