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Wozu werden Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten benötigt?

Du bist Kandidat bei einer Quizsendung. Der Moderator stellt dir die $1.$ Frage. Leider hast du keine Ahnung, wie die richtige Antwort lautet. Der Moderator gibt dir $4$ Antwortmöglichkeiten vor. Wie wahrscheinlich ist es, dass du die richtige Antwort errätst? Bis zum Hauptgewinn sind es $6$ Fragen. Wie wahrscheinlich ist es, dass du alle Fragen richtig erraten kannst? Um diese Fragen zu beantworten, kannst du das Wissen über Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten nutzen.

Gameshow_Moderator.jpg

Was ist ein Bernoulli-Experiment?

Ein Bernoulli-Experiment ist ein einstufiges Zufallsexperiment, bei dem es nur zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. Einer der Versuchsausgänge wird als Erfolg oder Treffer bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges wird über $p=P(X= \text{Erfolg})$ beschrieben.

Das Gegenereignis wird als Misserfolg oder Niete bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolges wird mit $q=P(X= \text{Misserfolg})$ angegeben.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Erfolges und Misserfolges ist $1$, da es nur diese beide möglichen Versuchsausgänge gibt. Die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolges kann demnach mit $q=1-p$ berechnet werden.

Was bedeutet das für unser Quizdilemma?

Da es $4$ Antwortmöglichkeiten gibt, jedoch nur eine der gegeben Antworten richtig ist, liegt deine Erfolgswahrscheinlichkeit bei $p=\frac{1}{4}$. Für die Wahrscheinlichkeit falsch zu raten, ergibt sich:

$q=1-p=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Würfel.jpg

Du bietest dem Moderator an, statt eine Antwort zu geben, lieber einen Würfel zu werfen. Sollte eine $5$ oder $6$ gewürfelt werden, bist du eine Runde weiter. Aber ist das eine gute Idee? Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges liegt nun bei $\frac{1}{3}$, da:

$p=P(X= 5 ~oder ~6)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln Erfolg zu haben ist also größer. Leider lässt sich der Moderator nicht auf deinen Vorschlag ein.

Was ist eine Bernoulli-Kette?

Eine Bernoulli-Kette ist ein mehrstufiges Bernoulli-Experiment, bei dem sich die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ nicht ändert.

Ein Bernoulli-Experiment, welches $n$-mal durchgeführt wird, heißt auch $n$-stufiges Bernoulli-Experiment oder Bernoulli-Kette der Länge $n$. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ genau $k$ Erfolge zu erhalten, wird mit $B_{n;p}(k)$ abgekürzt und lässt sich mit dem Binomialkoeffizienten wie folgt berechnen:

$P(X=k)=B_{n;p}(k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{(n-k)}$

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der die Anzahl der Erfolge $k$, die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ durch die Formel von Bernoulli, zugeordnet wird.

Unter Anwendung der Bernoulli-Kette kannst du nun die Wahrscheinlichkeit, den Hauptgewinn nur durch Raten zu gewinnen, ausrechnen. Du musst alle $6$ Fragen richtig beantworten. Die Anzahl der gewünschten Erfolge $k$ und die Anzahl deiner Durchgänge $n$ haben beide den Wert $6$. Bei jeder Fragen gibt es $4$ Antwortmöglichkeiten. Die Erfolgswahrscheinlichkeit liegt also bei jeder Fragen bei $\frac{1}{4}$. Setze jetzt die Größen in die Gleichung der Bernoulli-Kette ein:

$P(X=6)=B_{6;\frac{1}{4}}(6)=\begin{pmatrix} 6\\ 6\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{4}^{6} \cdot (1-\frac{1}{4})^{(6-6)}=\frac{6!}{6!} \cdot \frac{1}{4}^{6} \cdot \frac{3}{4}^{0}=1 \cdot \frac{1}{4096} \cdot 1=\frac{1}{4096}$

Die Wahrscheinlichkeit durch Raten alle Fragen richtig zu beantworten liegt mit $\frac{1}{4096}=0,000244140625 \approx 0,024~%$ also deutlich unter $1~$%.

Um sich das Ganze besser vorstellen zu können, werden Bernoulli-Ketten häufig in Form eines Baumdiagrammes dargestellt. Für das gegebene Beispiel seien die ersten drei Schritte dargestellt. Das Ereignis "Erfolg" sei hier mit der Farbe Orange dargestellt. In jeder Stufe gibt es genau zwei mögliche Versuchsausgänge.

Baumdiagramm.jpg

Bei jeder Fragerunde ist die Wahrscheinlichkeit richtig zu raten $p=\frac{1}{4}$. Für die Variante, dass du alle Fragen richtig rätst, ist nur der unterste Pfad mit allen drei orangen Punkten möglich.

Der Moderator bietet an, dir die Hälfte der Hauptgewinns zu geben, wenn du $4$ von den $6$ Aufgaben löst. Wie wahrscheinlich wäre das?

$P(X=4)=B_{6;\frac{1}{4}}(4)=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{4}^{4} \cdot (1-\frac{1}{4})^{(6-4)}=\frac{6!}{4!} \cdot \frac{1}{4}^{4} \cdot \frac{3}{4}^{2}=\frac{5 \cdot 6}{1} \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{9}{16}=\frac{270}{4096} \approx 0,066$

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei knappen $7$%. Würdest du dieses Angebot annehmen?

Wann ist eine Bernoulli-Kette sinnvoll?

Nicht immer sind alle Bedingungen für eine Bernoulli-Kette gegeben. Hier eine kleine Checkliste:

  • die Erfolgs- oder Trefferwahrscheinlichkeit ändert sich nicht
  • es gibt immer nur Erfolg und Misserfolg als mögliche Versuchsausgänge
  • die einzelnen Teilexperimente (Durchgänge) sind unabhängig voneinander