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Zentrische Streckung – Eigenschaften

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Zentrische Streckung – Eigenschaften
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Zentrische Streckung – Eigenschaften

Wenn du bereits weißt, was eine zentrische Streckung ist und die Bedeutung der Begriffe Streckzentrum und Streckfaktor kennst, dann möchte ich dir in diesem Video Neues zum Thema vorstellen. Ich möchte dir diese zwei Eigenschaften der zentrischen Streckung an Beispielen veranschaulichen: (1) Eine mit dem Streckfaktor k zentrisch gestreckte Strecke hat die k-fache Länge. (2) Zentrisch gestreckte Strecken sind parallel und Winkel bleiben beim Strecken erhalten. Viel Spaß nun beim Lernen!

Transkript Zentrische Streckung – Eigenschaften

Hallo! Es gibt 3 Eigenschaften zentrischer Streckungen, die du kennen solltest. 2 haben wir schon an Strecken gesehen und die erwähne ich gleich. Ich fasse die 3 Eigenschaften gleich zusammen, aber eine Eigenschaft fehlt uns noch und die hat mit Winkeln zutun und deshalb habe ich hier mal einen Winkel aufgemalt. Und hier ist Z, das Streckzentrum. Wenn dieser Winkel jetzt gestreckt wird, dann können wir das machen wie beim strecken von Strecken - ja, das ist ja fast ein Zungenbrecher. Ich find den gut mit den schleimigen Schleimschnecken. Wie geht das? Schleimige Schleimschnecken, die an Schleimschnecken schlecken, erschrecken, weil zum Schrecken der Schnecken Schleimschnecken nicht schmecken. Ist egal. Hier sind diese Hilfsstrahlen, die da also helfen, diesen Winkel zu strecken. Und wenn wir jetzt zum Beispiel den Streckfaktor 2 nehmen, dann müssen wir diese Strecke einmal verdoppeln, und diese Strecke verdoppeln, das ist hier ungefähr. Und diese Strecke auch verdoppeln, das ist hier. Und es entsteht dann folgende Figur, wenn ich die Punkte jetzt einfach miteinander verbinde, so und so. So, und was dir jetzt dabei auffallen soll, ist, dass der Winkel, dieser Winkel hier, der ist gleich geblieben. Der und der, die sind beide gleich groß. Und das kann man nicht nur mit dem Streckfaktor 2 so machen, sondern mit allen möglichen Streckfaktoren. Ich möchte kurz einfach mal so aus dem Hangelenk zeigen, was rauskommt, wenn man einen Winkel hat, der so aussieht und das Streckzentrum ist hier zum Beispiel und der wird jetzt mit einer negativen Zahl gestreckt, dann - ich sage mal -1 zum Beispiel - kann man hier sich eine Hilfsgerade vorstellen. Die Strecke wird hier angetragen, da ist der Punkt, der Punkt geht hier rüber nach da hin ungefähr, hier die gleiche Länge, ja, ein bisschen weiter. Und der Punkt geht hier hin. Und jetzt muss man aufpassen bei der Nummerierung, was man jetzt womit verbindet, damit ihr hier auch sehen könnt, dass der Winkel auch tatsächlich erhalten bleibt. Also hier ist der Punkt A, da ist der Punkt B - möchte ich hier hin setzen. Ich weiß, dass Dreiecke andersherum nummeriert werden, immer gegen den Uhrzeigersinn, aber das ist jetzt kein Dreieck, deshalb erlaube ich mir das jetzt mal so rum. Also, Punkt A, Punkt B, Punkt C, A ist hier hingegangen und ist jetzt A', B ist hier und ist jetzt, also B nicht, sondern der Bildpunkt von B ist hier, ist jetzt bei B' und hier ist C'. Und wenn wir jetzt von A nach B gehen, müssen wir hier auch von A' nach B' gehen und dann von B nach C, hier entsprechend von B' nach C'. Und jetzt kann man das sehen, dieser Winkel hier ist genauso groß wie dieser Winkel. Auch wenn ich das jetzt einfach nur mal schnell hier hingezeichnet habe. Ich halte es noch mal groß in die Kamera, damit du das nochmal gut sehen kannst. Die beiden Winkel sind erhalten geblieben. Also der Winkel ist erhalten geblieben, die beiden Winkel sind gleich groß, so muss es richtig heißen. Jetzt können wir also die 3 Eigenschaften, die du wissen solltest, zusammenfassen: Zum einen, was ist es? Die Bildstrecke ist k-mal so lang, wie die Originalstrecke. Das haben wir schon gesehen bei den Strecken, als wir Strecken gestreckt haben. Das ist die 1. Eigenschaft, hier habe ich es kurz angedeutet. Ja, wenn man diese Strecke hier mit dem Faktor 2 streckt und hier das Streckzentrum ist, dann ist die Bildstrecke also dann doppelt so groß. Also, das ist der Punkt Nummer 1. 2. Eigenschaft: Strecke und Bildstrecke sind parallel. Haben wir auch schon gesehen, als wir Strecken gestreckt haben. Das gilt übrigens auch für Geraden. Man kann auch Geraden strecken. Dann würden die halt unendlich lang sein, aber auch wenn man Geraden streckt, kommen parallele Geraden heraus. Das also Punkt Nummer 2. Und Punkt Nummer 3, das ist das, was wir gerade gesehen haben, und zwar: Winkel und Bildwinkel sind gleich groß. Ja, das waren die 3 Eigenschaften, die ich jetzt also nicht weiter beweise hier, da fehlt uns das mathematische Rüstzeug noch ein bisschen für. Einfach mal so von der Anschauung her, wie wir das gesehen haben, sind das die 3 Eigenschaften zentrischer Streckungen. Viel Spaß damit! Tschüss!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Gut erklärt

    Von Andreasimon 1, vor mehr als 2 Jahren
  2. Von Tim O., vor fast 6 Jahren
  3. danke :D

    Von Leoni Knipp, vor mehr als 7 Jahren

Zentrische Streckung – Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentrische Streckung – Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen bei einer zentrischen Streckung.

    Tipps

    Für eine zentrische Streckung benötigst du:

    • ein Streckzentrum sowie
    • einen Streckfaktor.

    Das Streckzentrum ist ein Punkt.

    Bei einer zentrischen Streckung eines Punktes erhältst du einen Bildpunkt dieses Punktes.

    Ein Strahl hat einen Anfangspunkt, allerdings keinen Endpunkt.

    Lösung

    Was ist eine zentrische Streckung?

    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Für eine zentrische Streckung benötigst du:

    • ein Streckzentrum (einen Punkt) $Z$ sowie
    • einen Streckfaktor $k$.
    In dem hier zu sehenden Beispiel ist der Streckfaktor $k=2$.

    1. Du zeichnest von dem Streckzentrum $Z$ ausgehend Hilfsstrahlen zu dem Scheitel (rotes Kreuz) und darüber hinaus sowie zu den Enden der Schenkel (jeweils ebenfalls ein rotes Kreuz) und darüber hinaus.
    2. Nun misst du die Länge der Strecke von $Z$ zu dem Scheitel beziehungsweise zu den Enden der Schenkel.
    3. Anschließend multiplizierst du die gemessenen Längen mit dem hier verwendeten Streckfaktor $k=2$. So erhältst du die Abstände der Bildpunkte zum Streckzentrum $Z$.
    4. Dann zeichnest du auf dem Hilfsstrahl ausgehend vom Streckzentrum $Z$ in dem berechneten Abstand die jeweiligen Bildpunkte ein. Diese sind hier als blaue Kreuze eingezeichnet.
    5. Zuletzt verbindest du den Bildpunkt des Scheitels jeweils mit den Bildpunkten der Endpunkte der Schenkel.
  • Benenne drei Eigenschafen einer zentrischen Streckung.

    Tipps

    Hier siehst du die zentrische Streckung der grünen Strecke $\overline{AB}$ mit mehreren Streckfaktoren.

    Hier siehst du die zentrische Streckung eines Winkels.

    Lösung

    Für eine zentrische Strecke benötigst du ein Streckzentrum $Z$ sowie einen Streckfaktor $k$.

    Es gibt drei Eigenschaften zentrischer Streckungen, die du kennen solltest:

    1. Die Bildstrecke ist $|k|$-mal so lang wie die Originalstrecke.
    2. Strecke und Bildstrecke sind parallel zueinander.
    3. Winkel und Bildwinkel sind gleich groß.
  • Entscheide, welche Figur durch zentrische Streckung entstanden ist.

    Tipps

    Beachte die Eigenschaften einer zentrischen Streckung:

    1. Die Bildstrecke ist $|k|$-mal so lang wie die Originalstrecke.
    2. Strecke und Bildstrecke sind parallel zueinander.
    3. Winkel und Bildwinkel sind gleich groß.

    Die Anzahl der Ecken einer Figur ändert sich bei einer zentrischen Streckung nicht.

    Schaue dir das nebenstehende Beispiel an.

    • Die Winkel bleiben erhalten. Das bedeutet, dass das Bild eines Rechtecks ein Rechteck sein muss.
    • Die Bildstrecke ist $k$-mal so lang wie die Originalstrecke. Das bedeutet zum Beispiel, dass das Bild eines Quadrates ein Quadrat sein muss.
    Lösung

    Hier siehst du beispielhaft die zentrische Streckung eines rechtwinkligen Dreiecks. Das Bilddreieck muss ebenfalls rechtwinklig sein, da die Winkel sich bei einer zentrischen Streckung nicht verändern.

    • Darüber hinaus kann das Bild eines Dreiecks nur ein Dreieck sein und das eines Vierecks ebenfalls nur ein Viereck.
    • Das Bild eines Quadrates ist ein Quadrat, da die Bildstrecke $|k|$-mal so lang ist wie die Originalstrecke. Dabei ist $k$ der Streckfaktor. Wenn alle Seiten der Originalfigur gleich lang sind, muss dies auch für die Bildfigur gelten.
    • Die Eigenschaft, dass die Bildstrecke $|k|$-mal so lang ist wie die Originalstrecke, bedeutet, dass die Teilungsverhältnisse einander entsprechender Strecken in Original- und Bildfigur übereinstimmen müssen. So kannst du entscheiden, welches der Rechtecke und welches der gleichschenkligen Dreiecke zu den gegebenen Originalfiguren gehören.
  • Berechne die fehlenden Größen.

    Tipps

    Bei einer zentrischen Streckung bleiben die Winkel gleich groß.

    Die Bildstrecke ist bei einer zentrischen Streckung $|k|$-mal so lang wie die Originalstrecke.

    Lösung

    Das rote Dreieck ist rechtwinklig. Somit ist auch das orange Dreieck rechtwinklig. Es stimmen übrigens alle Winkel überein, da diese sich bei einer zentrischen Streckung nicht ändern. Damit ist

    • $\alpha=90^\circ$,
    • $\beta=34^\circ$ und
    • $\gamma=56^\circ$.
    Die Streckenlängen verändern sich bei einer zentrischen Streckung um den Faktor $|k|$, wobei $k$ der Streckfaktor ist:

    • $a=1,5\cdot 3,6~cm=5,4~cm$,
    • $b=1,5\cdot 3~cm=4,5~cm$ und
    • $c=1,5\cdot 2~cm=3~cm$.
  • Benenne die einzelnen Elemente bei der zentrischen Streckung.

    Tipps

    Für eine zentrische Streckung benötigst du ein Streckzentrum.

    Hier siehst du das Ausgangsbild mit den roten Kreuzen und das gestreckte Bild mit den blauen Kreuzen.

    • Ein Winkel liegt in einem Punkt, dem Scheitelpunkt.
    • Ein Winkel wird von zwei Schenkeln eingeschlossen.
    Lösung

    • Die roten Kreuze sind die Punkte, welche zentrisch gestreckt werden: der Scheitel sowie die Endpunkte der Schenkel.
    • Diese werden ausgehend von dem Streckzentrum $Z$ gestreckt.
    • Hierfür benötigst du Hilfsstrahlen. Diese sind gestrichelt eingezeichnet.
    • Die blauen Kreuze sind die entsprechenden Bildpunkte, welche die Bildschenkel und den Bildwinkel ergeben.
    Weißt du noch, dass Strecke und Bildstrecke bei einer zentrischen Streckung parallel zueinander sind? Das bedeutet, dass die Bildstrecken der beiden Schenkel jeweils parallel zu den Originalschenkeln sind. Also schließen auch die Bildschenkel den gleichen Winkel ein.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Sei ein Dreieck mit den Seitenlängen $a$, $2a$ sowie $3a$ gegeben.

    Dann hat das Bilddreieck die Seitenlängen $|k|\cdot a$, $|k|\cdot 2a$ sowie $|k|\cdot 3a$.

    Betrachte ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$. Dessen Flächeninhalt ist $A=a^2$.

    Das Bildquadrat hat die Seitenlänge $|k|\cdot a$.

    Der Umfang eines Kreises beträgt $u=\pi\cdot d=2\pi\cdot r$.

    Sowohl der Radius als auch der Durchmesser des Bildkreises sind $|k|$-mal so groß wie die des Originalkreises.

    Lösung

    Es gibt noch weitere Eigenschaften einer zentrischen Streckung, welche sich mit denen bereits genannten nachweisen lassen:

    1. Die Bildstrecke ist $|k|$-mal so lang wie die Originalstrecke.
    2. Strecke und Bildstrecke sind parallel zueinander.
    3. Winkel und Bildwinkel sind gleich groß.
    Kreis

    Wenn ein Kreis zentrisch gestreckt wird, führt dies dazu, dass der Radius $|k|$-mal so lang wird. Damit folgt für den Umfang des Bildkreises. $u=2\pi\cdot |k|\cdot r=|k|\cdot 2\pi\cdot r$. Dies ist gerade das $|k|$-fache des Umfanges des Originalkreises.

    Längenverhältnisse

    Die Längenverhältnisse innerhalb einer Fläche bleiben bei einer zentrischen Streckung gleich. Schauen wir uns hierfür ein Beispiel an: In einem gleichschenkligen Dreieck seien die Schenkel jeweils $2a$ und die Basis $a$. Die Schenkel sind also doppelt so lang wie die Basis. In dem Bilddreick sind die Schenkel $|k|\cdot 2a=2\cdot|k|\cdot a$ lang und die Basis $|k|\cdot a$. Auch in dem Bilddreieck sind die Schenkel doppelt so lang wie die Basis.

    Flächeninhalt

    Bei einer zentrischen Streckung, egal welcher Fläche, wird der Inhalt dieser Fläche mit dem Faktor $k^2$ multipliziert. Dies schauen wir uns am Beispiel eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ an. Dies hat den Flächeninhalt $A=a^2$. Das Bildquadrat hat die Seitenlänge $|k|\cdot a$ und damit den Flächeninhalt $A=(|k|\cdot a)^2=k^2\cdot a^2$.

    Spiegelung

    Der Streckfaktor kann auch negativ sein. Dies führt neben einer Streckung auch zu einer Spiegelung. Bei $k=-1$ wird die Originalfigur an dem Streckzentrum gespiegelt.

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