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Wurzeln und irrationale Zahlen (1)

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Martin Wabnik
Wurzeln und irrationale Zahlen (1)
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Wurzeln und irrationale Zahlen (1)

Eine Wurzel ist irrational? Warum sind Wurzeln im Allgemeinen irrationale und keine rationale Zahlen? Wir versuchen zunächst zu klären, warum die Wurzel aus 2 keine natürliche Zahl und keine ganze Zahl sein kann. Dies zu überprüfen ist relativ leicht. Könnte die Wurzel aus 2 nun eine endliche Dezimalzahl sein? Hier siehst du den Anfang einer Argumentation, warum die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl sein kann. Versuche das vorliegende Video zu verstehen, damit du den Erklärungen in den nachfolgenden Videos verstehen kannst. Es wird sich lohnen! Viel Spaß!

Transkript Wurzeln und irrationale Zahlen (1)

Hallo, warum sind Wurzeln normalerweise keine rationalen Zahlen? Normalerweise muss man dazusagen, denn wir haben ja schon viele Wurzeln gezogen z.B die √1 = 1, da 1×1=1 und √4=2, da 2×2=4 u.s.w. Das haben wir alles schon gemacht, aber wir haben nicht allgemein die Wurzeln bestimmt, z.B. haben wir noch nicht √2 bestimmt und die √3 oder √5 oder √7 oder keine Ahnung was oder √6. Das ist ja in der Regel nicht so richtig möglich, d. h. man kann die Zahlen nur annähern nicht hinschreiben und das möchte ich jetzt mal begründen, warum das im Allgemeinen nicht geht. Zunächst mal nehmen wir uns ein Beispiel, die 2 und versuchen zu klären, ob √2 eine rationale Zahl sein kann. Wir können mit den natürlichen Zahlen anfangen. Ist √2 eine natürliche Zahl? Das können wir einfach ausprobieren. 1×1=1, 2×2=4, 3×3=9, ich denke weitere Zahlen brauchen wir nicht zu betrachten. √2 kann keine natürliche Zahl sein, haben wir nachgewiesen durch Ausprobieren. Kann √2 eine ganze Zahl sein? Nun wir können das auch ausprobieren, nämlich -1×-1=+1, -2×-2=4, -3×-3=9 und wenn wir jetzt noch -4 und sonst was noch dazunehmen, die Quadrate dieser Zahlen werden immer größer, sie werden nicht mehr 2. Also ganze Zahlen kommen auch nicht in Frage. Was ist mit rationalen Zahlen? Da können wir mal ganz sachte anfangen, und zwar Zahlen, die endlich viele Nachkommazahlen haben - endlich viel bedeutet, hier hörts irgendwann auf, es sind keine Nachkommastellen mehr da, im Unterschied zu Zahlen wie z. B. 0 Periode 3 bei der ja unendlich viele Nachkommastellen kommen es ist dann immer die 3, die unendlich weit, unendlich oft, nach dem Komma hingeschrieben werden muss. Könnte √2 eine solche Dezimalzahl sein? Eine endliche Dezimalzahl, das ist die Frage. Wenn wir das klären wollen, müssten wir uns überlegen, was passiert, wenn wir so eine endliche Dezimalzahl quadrieren. Die √2 ist ja die Zahl, die mit sich selbst quadriert 2 ergibt. Die mit sich selbst multipliziert (sagt man meist) 2 ergibt. Kann dies bei einer endlichen Dezimalzahl der Fall sein? Wir können uns Folgendes überlegen, wenn wir das jetzt schriftlich multiplizieren, dann funktioniert das ja so, das wir zunächst mal mit der letzten Nachkommastelle anfangen. Dann würden wir hier rechnen: 1×1 und dann kommt da noch mehr dazu 1×1=1. Das Ergebnis wird hier hingeschrieben. Danach kämen hier noch weitere Ergebnisse. Die schreibe ich jetzt nicht alle hin, weil wir die im Moment nicht brauchen. Die Frage ist, wie sieht das Ergebnis aus. Könnte das Ergebnis = 2 sein bzw. 2,00000 usw. So gesehen ist ja 2 auch eine Kommazahl, sie hat aber nur Nullen hinten. Also wir brauchen nur die letzte Stelle jeweils ankucken und uns überlegen, was passiert, wenn wir die jetzt miteinander multiplizieren. Ja und was da genau herauskommt, zeige ich im zweiten Teil dieses Films, bis dahin viel Spaß, tschüss.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. Ich meine dazu.

    Von Moritz Linde, vor etwa einem Jahr
  2. Kann das Team digital noch ein Video machen ? Die kann man so gut verstehen.

    Von Moritz Linde, vor etwa einem Jahr
  3. Hallo diana s.,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu A., vor mehr als 2 Jahren
  4. Mich hat das wieder auch sehr durcheinander gebracht

    Von diana s., vor mehr als 2 Jahren
  5. *mich

    Von Zaira, vor etwa 3 Jahren
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