Was sind quadratische Gleichungen?
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Grundlagen zum Thema Was sind quadratische Gleichungen?
Herzlich Willkommen zum Einführungsvideo in die quadratischen Gleichungen. Du kennst bereits die linearen Gleichungen. Hier wird dir erklärt, was eine quadratische Gleichung ist und wo überhaupt quadratische Gleichungen auftauchen. Eine quadratische Gleichung in x ist eine Gleichung, die x² Terme, x- Terme und Zahlen enthält. Also eine Gleichung, die sich in der Form ax² + bx + c = 0 ( mit a ungleich null ) schreiben lässt. Die Gleichung ist in Normalform, wenn a=1, also wenn das quadratische Glied den Koeffizient 1 hat. Es wird die Normalform einer solchen Gleichung besprochen und gezeigt, wie man sie allgemein schreibt.
Transkript Was sind quadratische Gleichungen?
Hallo! Dieses Video ist eine Einführung in die quadratischen Gleichungen. Wir kennen schon lineare Gleichungen. Ein Beispiel dafür wäre die Gleichung: 3x+7=2. In solchen Gleichungen kommen x-Terme vor und Zahlen. Und wir nehmen uns jetzt mal dieses Quadrat hier. Das hat den Flächeninhalt 200cm² und wir möchten wissen: Wie lang ist denn die Seite dieses Quadrats? Wir nennen die Kantenlänge jetzt mal x, und dann berechnet sich der Flächeninhalt A aus Breite×Höhe, also x×x, und das ist x2 und das soll also 200cm² sein. Ihr wisst wahrscheinlich auch, dass x dann \sqrt200 ist. Das kann man dann mit dem Taschenrechner ausrechnen, das ist 14,14, ungefähr. Aber mir kommt es auf diese Gleichung hier an, denn das ist eine quadratische Gleichung. Wir haben dort einen x2-Term und eine Zahl. Da haben wir also jetzt schon mal eine Situation gefunden, die man mit einer quadratischen Gleichung beschreiben kann. Jetzt schauen wir uns mal noch eine andere Situation an. Das hier ist eine Gartenmauer und in dem Garten, in dem die Gartenmauer steht, sollen Kühe weiden. Die sehen zwar sehr zahm aus, aber wir brauchen da trotzdem einen Zaun für die Kühe und dieser Zaun soll eine Fläche von 800m² begrenzen. Wir haben aber nur 80m Zaun und die Mauer zur Verfügung. Die Breite der abgesteckten Fläche nennen wir dann mal x und die Länge y. Dann ist also x×y, Breite×Länge=800 und x+x+y=80, weil die Länge des Zauns sich ja aus zweimal der Breite und einmal der Länge der Fläche zusammensetzt. Das kann man umstellen zu y=80-2x, und diesen Term kann man dann für y in der 1. Gleichung einsetzen. Also x×(80-2x)=800. Auch das ist eine quadratische Gleichung, man sieht´s ihr nur nicht gleich an, aber wir lösen jetzt mal die Klammern auf. Da ergibt sich: -2x2+80x=800. Und dann sieht man auch, dass ein x2-Term drin vorkommt, ein x-Term und Zahlen. Jetzt haben wir also schon ein paar Beispiele für quadratische Gleichungen, die 2. und die 3. gehören zusammen, deswegen schreiben wir die mal unter einer Nummer auf. Allgemein können wir sagen: Eine quadratische Gleichung in x ist eine Gleichung, die x2-Terme, eventuell x-Terme, und Zahlen enthält. Es dürfen nur keine größeren Potenzen von x vorkommen als hoch 2. In unserer 1. Gleichung fehlen zum Beispiel die x-Terme und in der 2. haben wir x2-Terme, x-Terme und Zahlen. In der 1. Darstellung dieser Gleichung hätte man vielleicht gar nicht gesehen, dass die quadratisch ist, weil eben kein x2 vorkommt. Aber da muss man eben die Klammern noch ausrechnen. Als 3. Beispiel nehmen wir die Gleichung (x-3)×(x+5)=0. Wenn wir hier die Klammern ausrechnen, erhalten wir x2+2x-15=0. Und in der Gleichung (2x+3)2=1 müssen wir auch die Klammer noch auflösen, hier mit der binomischen Formel. Wir sehen also schon, so eine quadratische Gleichung kann verschiedene Gestalten haben. Davon ist diese hier eine besondere und die wollen wir uns jetzt mal herauspicken. Diese Gleichung ist schon in Normalform. Das bedeutet, alle Klammern sind aufgelöst und die einzelnen Summanden sind nach x-Potenzen geordnet, stehen alle auf einer Seite und auf der anderen Seite steht die 0 und vor dem x2 steht eine 1. Um also zum Beispiel die Gleichung 1 in Normalform zu bringen, brauchen wir nur die 200 auf die linke Seite zu bringen. Dann sind alle Terme zusammengefasst auf der linken Seite und vor dem x2 steht eine 1. Die 2. Gleichung müssen wir noch durch -2 teilen, damit vor dem x2 eine 1 steht. Das ergibt dann x2-40x, und dann hätten wir auf der rechten Seite -400 stehen, die bringen wir noch auf die linke Seite, so dass da dann steht +400=0. Die 3. Gleichung ist ja schon in Normalform und bei der 4. Gleichung müssen wir noch 1 subtrahieren. Das ergäbe dann links +8 und rechts 0, und dann teilen wir noch durch 4. Sodass wir dann erhalten: x2+3x+2=0. Allgemein bezeichnet man diese Gleichung als x2+px+q=0. Weil die Zahl vor dem x, das p, und die Zahl, die alleine steht, das q, besondere Bedeutung haben. In unserer 1. Gleichung wäre also p=0, weil gar kein x-Term vorkommt und q wäre -200. In Gleichung 2 ist p=-40 und q=400. In Gleichung 3 ist p=2 und q=-15 und in Gleichung 4 ist p=3 und q=2. Wenn man also eine quadratische Gleichung vorfindet oder aufgestellt hat, versucht man, die immer erst mal in diese Normalform zu bringen. Aus der kann nämlich dann ganz viel ablesen. Wie man da vorgeht, will ich jetzt anhand dieser Gleichung auch noch mal zeigen. Hier würde man als erstes mithilfe der binomischen Formel die Klammer auflösen. Dann auf der linken Seite die x2-Terme zusammenfassen. Dann die Terme, die rechts stehen, noch auf die linke Seite bringen und am Schluss noch durch 3 teilen. Dann ist also p=-2 und q=11/3. O. k., das war mein kleiner Einstieg in die quadratischen Gleichungen, und beim nächsten Video sehen wir, wie man sie dann löst.
Was sind quadratische Gleichungen? Übung
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Gib an, welche Gleichungen quadratische Gleichungen sind.
TippsManchmal kommt es vor, dass wir erst eine Klammer auflösen müssen, bevor wir einen quadratischen Term erhalten.
Charakteristisch für eine quadratische Gleichung in $x$ ist, dass sie $x^2$-Terme enthält.
Anwendung der binomischen Formel: $(x+1)^2=(x+1) \cdot (x+1)= x^2 +2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x +1 $
LösungNeben den linearen Gleichungen, wie etwa $3x+7 = 2$ eine ist, betrachten wir nun auch die quadratischen Gleichungen.
Charakteristisch für eine quadratische Gleichung in $x$ ist, dass sie $x^2$-Terme enthält. Es können auch $x$-Terme und Zahlen ohne $x$ vorkommen. Ein Beispiel wäre dann etwa die Gleichung $x^2 = 200$ oder $x^2 +x = 200$.
Manchmal kommt es vor, dass wir erst eine Klammer auflösen müssen, bevor wir einen $x^2$-Term erhalten. Schauen wir auch hier auf ein Beispiel:
$(x-3)(x+5) = 0 \rightarrow x^2 + 2x -15 = 0 $
Löse also zunächst die Klammern auf, wenn du herausfinden möchtest, ob es sich um eine quadratische Gleichung handelt oder nicht.
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Erkläre, wann eine quadratische Gleichung in Normalform ist.
TippsBei quadratischen Gleichungen stehen in Normalform alle Summanden auf einer Seite.
Vor dem Ausdruck $x^2$ steht der Faktor $1$.
Folgende quadratische Gleichungen liegen in der Normalform vor:
- $0=x^2-3x+4$
- $0=x^2+x+1$
- $0=x^2+2x-2$
LösungWenn eine quadratische Gleichung in Normalform ist, müssen einige Bedingungen erfüllt sein.
Schauen wir uns zunächst die Gleichung $x^2 = 200$ an, welche wir in Normalform bringen wollen.
Hier gibt es nur einen $x$-Term und keine Klammer.
Wir subtrahieren daher direkt $200$ und erhalten die Gleichung $x^2 - 200 = 0$. Damit ist die rechte Seite der Gleichung gleich $0$ und die entsprechende Bedingung ist erfüllt.
Wir haben nun bereits die Gleichung in Normalform, denn:
1) Alle Klammern sind aufgelöst.
2) Alle Summanden sind nach $x$-Potenzen geordnet.
3) Alle Summanden sind auf einer Seite, die andere Seite der Gleichung ist gleich $0$.
4) Vor dem $x^2$ steht der Faktor $1$.
Zusammengefasst: Alle Klammern sind aufgelöst und die Summanden sind nach $x$-Potenzen geordnet und stehen auf einer Seite der Gleichung. Auf der anderen Seite steht die Null. Außerdem steht der Faktor $1$ vor dem $x^2$.
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Gib die notwendigen Umformungen an, um die Gleichungen in Normalform zu bringen.
TippsDie Normalform der quadratischen Gleichung bedeutet zum Beispiel, dass alle Summanden nach $x$-Potenzen geordnet sind und auf einer Seite stehen. Außerdem steht vor dem $x^2$ der Faktor $1$.
Bringe zunächst alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, sodass auf der rechten Seite eine $0$ steht.
Achte darauf, eine Klammer zu nutzen, wenn du durch eine negative Zahl teilst.
LösungDie Normalform der quadratischen Gleichung bedeutet:
- Alle Klammern sind aufgelöst.
- Die Summanden sind nach $x$-Potenzen geordnet und stehen alle auf einer Seite der Gleichung.
- Auf der anderen Seite der Gleichung steht die Null.
- Vor dem $x^2$ steht der Faktor $1$, welchen man auch weglassen darf.
$4x^2 + 2x+4 = 3 $
Zunächst bringen wir alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, sodass auf der rechten Seite eine $0$ steht. Wir subtrahieren also $3$ auf beiden Seiten und erhalten:
$\begin{array}{llll} 4x^2 + 2x+4 &=& 3 &\vert -3 \\ 4x^2 + 2x+1 &=& 0 & \end{array}$
Nun muss der Faktor $4$ vor dem $x^2$ angepasst werden, denn in Normalform muss hier ja der Faktor $1$ stehen. Dazu dividieren wir die Gleichung durch $4$ und erhalten das Ergebnis in Normalform:
$\begin{array}{llll} 4x^2 + 2x+1 &=& 0 & \vert :4 \\ x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} &=& 0 & \end{array}$
Nach diesem Muster kannst Du auch die weiteren Aufgaben angehen.
Gleichung 1
$\begin{array}{llll} 2x^2 + 2x+4 &=& 0 & \vert :2 \\ x^2 + x+2 &=& 0 & \\ \end{array}$
Gleichung 3
$\begin{array}{llll} x^2 + 2x+4 &=& -3x & \vert +3x \\ x^2 + 5x+4 &=& 0 & \end{array}$
Gleichung 4
$\begin{array}{llll} -3x^2 + x+1 &=& 1 & \vert -1 \\ -3x^2 + x &=& 0 & \vert :(-3) \\ x^2 -\frac 13 x &=& 0 & \end{array}$
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Bringe die quadratischen Gleichungen in Normalform.
TippsDer Ausdruck $\frac{x^2}{2}$ kommt bei einer quadratischen Gleichung in Normalform nicht vor, denn der Faktor vor dem $x^2$ ist nicht $1$.
Zunächst bringst du am besten alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, sodass auf der rechten Seite eine $0$ steht.
Als zweiter Schritt muss der Faktor vor dem $x^2$ durch Multiplikation oder Division zu $1$ geändert werden.
LösungDie Normalform der quadratischen Gleichung bedeutet:
- Alle Klammern sind aufgelöst.
- Die Summanden sind nach $x$-Potenzen geordnet und stehen alle auf einer Seite der Gleichung.
- Auf der anderen Seite der Gleichung steht die Null.
- Vor dem $x^2$ steht der Faktor $1$, welchen man auch weglassen darf.
$- x^2 + 10x +5 = 8x + 5 $
Zunächst bringen wir alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, sodass auf der rechten Seite eine $0$ steht. So erhalten wir den Ausdruck:
$\begin{array}{llll} - x^2 + 10x +5 &=& 8x + 5 & \vert -8x \\ - x^2 + 2x +5 &=& 5 & \vert -5 \\ - x^2 + 2x &=& 0 & \end{array}$
Nun muss der Faktor $-1$ vor dem $x^2$ angepasst werden, denn in Normalform muss hier ja eine $1$ stehen. Dazu multiplizieren wir die Gleichung mit $-1$ und erhalten das Ergebnis in Normalform:
$\begin{array}{llll} - x^2 + 2x &=& 0 & \vert \cdot (-1) \\ x^2-2x &=& 0 \end{array}$
Nach diesem Muster kannst du auch die weiteren Aufgaben angehen.
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Gib an, welche Gleichungen in Normalform sind.
TippsIst eine quadratische Gleichung in Normalform, so sind zum Beispiel die Klammern aufgelöst und die Summanden nach $x$-Potenzen geordnet.
In der Normalform stehen alle Summanden auf einer Seite der Gleichung und der Faktor vor dem $x^2$ entspricht $1$.
Solange eines der Merkmale für die Normalform quadratischer Gleichungen nicht erfüllt ist, ist eine Gleichung auch nicht in Normalform.
LösungEs gibt vier wichtige Merkmale, an denen wir quadratische Gleichungen in Normalform erkennen.
1) Klammern sind aufgelöst.
2) Summanden sind nach $x$-Potenzen geordnet.
3) Alle Summanden stehen auf einer Seite der Gleichung.
4) Vor dem $x^2$ steht der Faktor $1$.
Solange eines dieser Merkmale nicht erfüllt ist, ist eine Gleichung noch nicht in Normalform.
In dieser Aufgabe sollst du bestimmen, ob eine quadratische Gleichung in Normalform ist. Das machen wir am besten, indem wir prüfen, ob die Gleichungen die genannten Kriterien für die Normalform erfüllen. Die Gleichungen $x^2+2x-15=0$ und $x^2-200=0$ erfüllen die genannten Kriterien und liegen somit in der Normalform vor.
Die Gleichung $(x-3)(x+5) = 0 $ ist demnach nicht in Normalform, denn es sind noch Klammern vorhanden. Lösen wir diese auf, ergibt sich hier die Normalform der Gleichung $(x-3)(x+5) = 0 \rightarrow x^2 +2x-15 = 0 $.
Auch liegt die quadratische Gleichung $x^2-4x-9=9$ nicht in der Normalform vor, da nicht alle Summanden auf einer Seite der Gleichung stehen. Durch die Subtraktion von $9$ auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die Normalform $x^2-4x-18=0$.
Wir können also durch Auflösen der Klammern und geschicktes Umformen eine quadratische Gleichung in die Normalform überführen.
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Bestimme $p$ und $q$ für die angegebenen Gleichungen.
TippsWir erhalten $p$ und $q$, indem wir zunächst einmal die Normalform herstellen.
Die Werte für $p$ und $q$ lesen wir aus der Normalform der Gleichung ab. $p$ ist der Wert vor dem $x$ und $q$ der Term ohne $x$.
Achte beim Ablesen unbedingt auf die Vorzeichen, diese gehören zu $p$ und $q$ dazu.
LösungDie Werte $p$ und $q$ benötigen wir etwa, um quadratische Gleichungen mit der $pq$-Formel zu lösen.
Wir erhalten diese Werte, indem wir zunächst einmal die Normalform herstellen. Alle Klammern müssen also aufgelöst und die Summanden nach $ x$-Potenzen geordnet werden. Außerdem müssen alle Summanden auf einer Seite der Gleichung stehen. Vor dem quadratischen Glied $x^2$ muss der Faktor $1$ stehen.
Dazu können sehr unterschiedliche Umformungen erforderlich sein, wie du im folgenden Beispiel sehen kannst:
$(x+4)^2 = 2(2x+5,5)$
Als Erstes lösen wir die Klammern auf. Der Ausdruck $(x+4)^2$ ist mit der ersten binomischen Formel zu lösen. $2(2x+5,5)$ klammern wir einfach aus. So erhalten wir:
$x^2+8x+16 = 4x+11$.
Nun bringen wir alle Summanden auf eine Seite, indem wir $ -4x$ und $-11$ rechnen und fassen anschließend zusammen.
$x^2+8x+16 - 4x-11= 0 \rightarrow x^2 +4x +5 = 0$
Da wir vor dem $x^2$ bereits eine $1$ als Faktor haben, müssen wir keine weitere Umformung durchführen. Die Normalform der quadratischen Gleichung $(x+4)^2 = 2(2x+5,5)$ lautet demnach $x^2 +4x +5 = 0$.
Die Werte für $p$ und $q$ lesen wir aus der Normalform der Gleichung ab. $p$ ist der Wert vor dem $x$ und $q$ der Term ohne $x$. Achte beim Ablesen unbedingt auf die Vorzeichen, diese gehören zu $p$ und $q$ dazu.
In unserem Beispiel $x^2 +4x +5 = 0$ lesen wir also ab: $p = 4$ und $q = 5$.
Nach diesem Vorbild kannst Du auch die weiteren Beispiele lösen.
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Hallo Silvana,
ich nehme an, du meinst die Umformung bei 4:45 zur Gleichung II.
x²-40x=-400 Hier rechne ich auf beiden Seiten +400, sodass sich ergibt
x²-40x+400=0
Viele Grüße, Steve
wie hast du die -400 auf die andere seite bekommen?
Hallo Hatira20,
jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren:
x * x = x²
x * 5 = 5x
-3 * x = - 3x
-3 * 5 = - 15
Zusammen: x² + 5x - 3x - 15 = x² + 2x - 15
Viele Grüße
(x-3)×(x+5)=0. Wie kommt ihr beim ausklammern auf x²+2x-15=0 bei mir würde es x²+3x-15=0 sein. Fehler oder habe ich was verpasst?