Von der Parameterform in die Normalenform (ohne Kreuzprodukt) – Aufgabe 2

Von der Parameterform in die Normalenform (ohne Kreuzprodukt) – Aufgabe 2 Übung

• Beschreibe die Ebenengleichung in Parameter- und in Normalenform.

  Tipps

  Wenn du zwei Vektoren skalar miteinander multiplizierst, erhältst du eine Zahl.

  Beachte, dass die $0$ auf der rechten Seite der Normalenform eine Zahl ist und nicht der Nullvektor.

  Wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst, können zwei Dinge passieren:

  • Der Vektor wird verlängert oder verkürzt.
  • Der Vektor ändert die Orientierung. Dies passiert, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst.

  Ein Verbindungsvektor ist ein Vektor zwischen zwei Punkten:

  $\vec{AB}=\vec b-\vec a$

  Lösung

  Wir schauen uns die beiden verwendeten Darstellungsformen von Ebenen an. Wir starten mit der Parameterform.

  Die Parameterform

  $E:\vec x=\vec a+r\cdot \vec b+s\cdot \vec c$

  Jeder Punkt $\vec x$ (bzw. der Ortsvektor jedes Punktes) der Ebene lässt sich durch diese Parameterform darstellen. Die Bedeutungen der Variablen sind hier aufgelistet:

  • $\vec a$ ist ein(!) Stützvektor, also der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene.
  • $\vec b$ sowie $\vec c$ sind Richtungsvektoren. Diese sind übrigens ebenfalls nicht eindeutig.
  • Die beiden reellen Zahlen $r$ und $s$ werden als Parameter bezeichnet.

  Die Normalenform

  $E:(\vec x-\vec p)\star \vec n=0$

  Auch hier steht $\vec x$ für einen beliebigen Punkt der Ebene. Die Gleichung zeigt an, dass der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten der Ebene senkrecht zu dem Normalenvektor verläuft.

  Hier siehst du die Auflistung der Variablen:

  • $\vec p$ ist ein Punkt der Ebene (bzw. ein Ortsvektor, welcher zu einem Punkt der Ebene führt).
  • $\vec n$ ist ein Normalenvektor der Ebene.

  Der Normalenvektor (auch dieser ist nicht eindeutig!) steht senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene.

  Der Operator $\star$ zeigt an, dass die beiden Vektoren skalar miteinander multipliziert werden. Das Ergebnis einer Skalarmultiplikation ist eine Zahl.

• Gib die Ebene in Normalenform an.

  Tipps

  Eine Ebene in Normalenform ist gegeben durch $E:(\vec x-\vec p)\star\vec n=0$.

  Dabei ist

  • $\vec p$ der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und
  • $\vec n$ der Normalenvektor.

  Du erhältst zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Das bedeutet, dass du eine Unbekannte (hier nicht $n_3$) frei wählen kannst.

  Für $n_1 = 1$ kommst du zu dem Gleichungssystem

  $\left| \begin{array}{ccccccccccc} 1&+&n_2&+&n_3&=&0\\ 1&+&n_2&+&2n_3&=&0 \end{array}\right|$

  Lösung

  Hier siehst du die Ebenengleichung in Normalenform.

  Wir suchen den Normalenvektor:

  $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$

  Für diesen gilt, dass er senkrecht zu beiden Richtungsvektoren steht. Das jeweilige Skalarprodukt muss also $0$ sein:

  • $\vec b\perp\vec n~\Leftrightarrow~\vec b\star \vec n=0$
  • $\vec c\perp\vec n~\Leftrightarrow~\vec c\star \vec n=0$

  Dies führt zu folgenden Gleichungen:

  • $\vec b\star \vec n=0 \Leftrightarrow n_1+n_2+n_3=0$
  • $\vec c\star \vec n=0 \Leftrightarrow n_1+n_2+2n_3=0$

  Da hier zwei Gleichungen mit drei Unbekannten vorliegen, kann eine Unbekannte frei gewählt werden Wir wählen hier $n_1=1$.

  Übrigens: Ganz so frei ist die Wahl nicht. Wählst du hier zum Beispiel $n_3$ frei, erhältst du keine Lösungen für $n_1$ und $n_2$. Außerdem musst du bei der Wahl immer beachten, dass du nicht $0$ wählen darfst.

  Durch die Wahl $n_1 = 1$ kommst du zu dem folgenden Gleichungssystem:

  $\left| \begin{array}{ccccccccccc} 1&+&n_2&+&n_3&=&0\\ 1&+&n_2&+&2n_3&=&0 \end{array}\right|$

  Forme dieses Gleichungssystem so um, dass jeweils auf der einen Seite $n_2$ alleine steht:

  $\left| \begin{array}{ccccccccccc} n_2&=&-1&-&n_3\\ n_2&=&-1&-&2n_3\\ \end{array}\right|$

  Da die beiden linken Seiten übereinstimmen, müssen auch die rechten Seiten übereinstimmen:

  $-1-n_3=-1-2n_3$

  Addiere auf beiden Seiten $1$ sowie $2n_3$. So erhältst du $n_3=0$ und damit $n_2=-1-0=-1$. Der Normalenvektor lautet also:

  $\vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$

  Damit kann die Ebene in Normalenform angegeben werden:

  $E: \left(\vec x-\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

• Entscheide, welche(r) der Vektoren Normalenvektor der Ebene sind (ist).

  Tipps

  Prüfe, ob das Skalarprodukt des Vektors mit den beiden Richtungsvektoren jeweils $0$ ist.

  Wenn ein Vektor senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht, dann gilt dies auch für jedes Vielfache dieses Vektors.

  Schaue dir nochmal an einem Beispiel an, wie ein Skalarprodukt berechnet wird:

  $\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}=1\cdot 2+2\cdot 1+3\cdot2=2+2+6=10$

  • Du multiplizierst die Koordinaten zeilenweise.
  • Du addierst die entstandenen Produkte.
  • Das Ergebnis ist eine Zahl.

  Lösung

  Wie kannst du prüfen, ob ein gegebener Vektor $\vec n$ Normalenvektor einer Ebene in Parameterform ist?

  Der Vektor $\vec n$ muss senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren stehen. Die Richtungsvektoren siehst du hier:

  $\vec b=\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$ sowie $\vec c=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$

  Hier siehst du nun, wie man einen Normalenvektor berechnet. Der allgemeine Normalenvektor lautet:

  $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$

  Zur Berechnung ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

  $\left| \begin{array}{ccccccccccc} &&2n_2&+&n_3&=&0\\ n_1&+&3n_2&+&n_3&=&0 \end{array}\right|$

  Wähle in der oberen Gleichung $n_3=2$. Dann ist $n_2=-1$. Setze diese beiden Koordinaten nun in die untere der beiden Gleichungen ein: $n_1-3+2=0$. Dies führt zu $n_1=1$.

  Damit gilt:

  $\vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 2 \end{pmatrix}$

  Da dieser Vektor senkrecht auf beide Richtungsvektoren steht, gilt dies auch für jedes Vielfache des Vektors.

  Es gilt $(k\cdot \vec u)\star\vec v=k\cdot (\vec u\star\vec v)$.

  Somit ist auch dieser Vektor ein Normalenvektor der Ebene:

  $\begin{pmatrix} -1 \\1\\ -2 \end{pmatrix}$

  Alle übrigen Vektoren aus der Aufgabe sind keine Normalenvektoren der Ebene.

  Hinweis: Für diese Aufgabe musst du nicht zwingend einen Normalenvektor berechnen. Du kannst die zur Auswahl stehenden Vektoren auch prüfen, indem du das Skalarprodukt dieser mit den Richtungsvektoren ausrechnest. Ergibt es $0$, handelt es sich um einen Normalenvektor.

• Leite die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene her.

  Tipps

  Gegeben seien folgende Vektoren:

  $\vec b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$

  Dann ist $\vec b\star \vec n=b_1\cdot n_1+b_2\cdot n_2+b_3\cdot n_3$.

  Da der Normalenvektor senkrecht zu beiden Richtungsvektoren steht, muss das Skalarprodukt jeweils gleich $0$ sein.

  Du erhältst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Das bedeutet, dass du eine Unbekannte frei wählen kannst.

  Lösung

  Der Normalenvektor in allgemeiner Form lautet:

  $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$

  Dieser muss folgende Gleichungen erfüllen:

  • $\vec b\star \vec n=0$
  • $\vec c\star \vec n=0$

  Dies führt zu dem folgenden Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten:

  $\left| \begin{array}{ccccccccccc} n_1&+&2n_2&+&n_3&=&0\\ 2n_1&-&n_2&-&n_3&=&0 \end{array}\right|$

  Addiere die beiden Gleichungen. So kannst du $n_3$ eliminieren und erhältst eine Gleichung mit zwei Unbekannten: $3n_1+n_2=0$

  Wähle $n_2=3$. (Hinweis: Du kannst auch anders wählen. Durch diese Wahl vermeidest du das Rechnen mit Brüchen.) Dann ist $3n_1+3=0$. Subtrahiere nun $3$ und dividiere durch $3$. Dies führt zu $n_1=-1$.

  Setze zuletzt $n_1=-1$ sowie $n_2=3$ in einer der beiden Ausgangsgleichungen ein:

  $-1+2\cdot 3+n_3=0$, also $5+n_3=0$.

  Subtrahiere nun $5$, so erhältst du $n_3=-5$.

  Der Normalenvektor der Ebene ist dann:

  $\vec n=\begin{pmatrix} -1 \\ 3\\ -5 \end{pmatrix}$

  Damit ist die Ebenengleichung in Normalenform gegeben durch:

  $E:\left(\vec x-\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ -3 \end{pmatrix}\right)\star \begin{pmatrix} -1 \\ 3\\ -5 \end{pmatrix}=0$

• Bestimme, was für $\vec p$ eingesetzt werden soll.

  Tipps

  Hier siehst du einen Normalenvektor der Ebene:

  $\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$

  $\vec p$ ist ein Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt.

  Dies entspricht dem Stützvektor.

  Bei der Parametergleichung werden die Richtungsvektoren mit den Parametern multipliziert. Der Stützvektor steht „alleine“.

  Lösung

  Der Vektor $\vec p$ in der Normalenform ist ein Vektor, der zu einem beliebigen Punkt der Ebene führt. Dies entspricht dem Stützvektor der Ebene in der Parameterform.

  Damit gilt:

  $\vec p=\begin{pmatrix} 3 \\ 5\\ 1 \end{pmatrix}$

  Der etwas aufwändigere Teil ist die Bestimmung des Normalenvektors. In diesem Beispiel ist ein Normalenvektor gegeben durch:

  $\vec n=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$

  Diesen kannst du berechnen, indem du entweder das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) benutzt oder indem du ein Gleichungssystem mit Hilfe des Skalarproduktes aufstellst. Genauer wird dies in anderen Aufgaben erklärt.

• Ermittle eine Ebenengleichung in Normalenform.

  Tipps

  Den Stützvektor kannst du direkt aus der Parametergleichung übernehmen.

  Stelle ein Gleichungssystem auf. Dieses erhältst du, indem du den Normalenvektor mit jedem der Richtungsvektoren multiplizierst. Das Skalarprodukt muss $0$ sein.

  Der Normalenvektor ist bis auf Kollinearität eindeutig. Das heißt, dass mit jedem Normalenvektor auch ein beliebiges Vielfaches dieses Vektors eine Normalenvektor ist.

  Lösung

  Der Stützvektor der Ebene ist:

  $\vec a=\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}$

  Diesen kannst du direkt übernehmen. Es folgt:

  $E:\left(\vec x-\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\right)\star\vec n=0$

  Nun fehlt nur noch der Normalenvektor. Da dieser senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht, erhältst du das folgende Gleichungssystem:

  $\left| \begin{array}{ccccccccccc} -n_1&+&n_2&+&2n_3&=&0\\ 2n_1&+&n_2&+&3n_3&=&0 \end{array}\right|$

  Du kannst $n_2$ eliminieren, indem du von der unteren Gleichung die obere subtrahierst. Dies ergibt:

  $3n_1+n_3=0$

  Wähle nun $n_3=-3$, dann ist $3n_1-3=0$. Addition von $3$ und Division durch $3$ führt zu $n_1=1$.

  Durch Einsetzen dieser Koordinaten in eine der beiden Gleichungen erhältst du $-1+n_2-6=0$, also $n_2=7$.

  Damit hast du alle Koordinaten des Normalenvektors bestimmt und kannst schließlich die Normalenform angeben:

  $E:\left(\vec x-\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 1 \\ 7\\ -3 \end{pmatrix}=0$

  Übrigens: Auch jedes Vielfache des Normalenvektors ist ebenfalls Normalenvektor der Ebene.