Von der Parameterform in die Normalenform – Erklärung

Hallo. Man kann die Darstellung einer Ebene von der Parameterform in die normale Form umformen. Die Ebene bleibt dieselbe, sie wird nur anders dargestellt. Um das zu erreichen, kann man zunächst einen normalen Vektor suchen, also einen Vektor, der senkrecht zur Ebene ist.Hier ist eine Ebene, die geht natürlich hier noch weiter und so sieht ein Vektor aus, der senkrecht dazu ist. Eine Ebene in Parameterform besteht aus einem Stützvektor und 2 Richtungsvektoren. Und wenn man das Kreuzprodukt dieser beiden Richtungsvektoren bildet, entsteht ein Vektor, der senkrecht zu der Ebene ist. Aber, da das Kreuzprodukt in Schulen oftmals nicht besprochen wird, trotzdem aber Ebenen von der Parameterform in die normale Form umgewandelt werden sollen, zeige ich eine andere Methode. Ein Vektor, der senkrecht zu einer Ebene ist, ist auch senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren. Umgekehrt ist das auch richtig, denn ein Vektor, der senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren ist, ist auch senkrecht zur Ebene. Und genau so einen brauchen wir für die normale Form. Ein Vektor, dessen Skalaprodukt mit den beiden Richtungsvektoren der Parameterform gleich 0 ist, ist ein solcher Vektor. Deshalb suchen wir einen Vektor n1, n2, n3, der multipliziert mit den beiden Richtungsvektoren jeweils 0 ergibt. Schreibt man die beiden Skalaprodukte aus, entsteht ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen, welches in der Regel viele Lösungen hat. Das ist auch gut so, denn es gibt ja noch viele Vektoren, die zu einer Ebene senkrecht sind. Ein normaler Vektor muss ja nur eine bestimmte Richtung haben und die Länge dabei ist egal, solange sie nicht gleich 0 ist. Wir können nun für n1 eine Zahl einsetzen, dann entsteht ein Gleichungssystem mit 2 Variablen, nämlich n2 und n3. Und das können wir dann wie gewohnt lösen. Aber welche Zahl setzen wir für n1 ein? Entweder die Ebene ist parallel zur 1. Koordinatenachse, also so, dann muss n1 gleich 0 sein, denn der normale Vektor hat dann keine Ausdehnung in Richtung dieser Achse.  Oder die Ebene ist nicht parallel zur 1. Koordinatenachse, dann kann man irgendeine andere Zahl für n1 einsetzen. Hat man den normalen Vektor gefunden, muss man nur noch den Stützvektor der Parameterform für p einsetzen und fertig ist die Normalform der Ebene.