Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel Körper

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Grundlagen zum Thema Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel Körper
Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video lernst du nicht nur die Teilverhältnisse von Strecken in Körpern zu berechnen, sondern auch den Umgang mit Vektoren. Es geht um eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche. Die Oberfläche dieses Körpers besteht aus vier Dreiecken, die einen besonderen Punkt besitzen: den Schwerpunkt. Die Pyramide mit dreieckiger Grundfläche besitzt keine Diagonalen. Deswegen benutzen wir die Strecke eines Punktes mit dem Schwerpuntkt des gegenüberliegenden Dreiecks als künstliche Diagonale. Zwei dieser künstlichen Diagonalen haben einen Schnittpunkt S. Jetzt lernst du, in welchem Verhältnis der Punkt S diese künstlichen Diagonalen teilt. Die Idee ist, ein lineares Gleichunssystem zu lösen, welches zwei Variablen enthält, die das Teilverhältnis der Strecken angeben. Viel Spaß und Erfolg beim Lernen!
Transkript Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel Körper
Hallo, ich bin Giuliano. Und ich möchte dir heute erklären, wie man die Teilverhältnisse von Strecken in einem Körper berechnen kann. Dazu betrachten wir uns eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche im Raum. Die Grundfläche wird von zwei Vektoren a und b aufgespannt. Und der Vektor c ist der Verbindungsvektor zwischen A und D. Die Oberfläche dieser Pyramide besteht aus vier Dreiecken. Von diesen Dreiecken kann man den sogenannten Schwerpunkt einzeichnen. Das möchte ich euch jetzt einmal zeigen. Hier seht ihr ein Dreieck. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. In dem Falle sind die Seitenhalbierenden, ja das sind die Strecken von den Eckpunkten zu dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, das heißt also hier, die Strecke von A nach Mittelpunkt von BC oder kurz MBC, von B nach MAC und von C nach MAB. Und dieser Schnittpunkt dieser Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt. In dieser Abbildung siehst du jetzt zwei Schwerpunkte. Einmal den Schwerpunkt des Dreiecks BCD, den ich SA nenne, weil er gegenüber vom Punkt A liegt und einmal den Schwerpunkt des Dreiecks ABC, der gegenüber von D liegt und deswegen SD heißt. Und jetzt ist die Frage, wie teilt der Punkt S, der der Schnittpunkt dieser beiden Strecken ist, zwischen D und SD und A und SD? Wie teilt dieses S diese beiden Strecken? Das ist jetzt also das, was uns interessiert. Dazu brauchen wir erst einmal die Formel beziehungsweise die Gleichung Sternchen, die ich jetzt einmal anschreiben möchte. Dazu gehen wir von A nach A in Vektorenschreibweise, und zwar, wir gehen einmal von A nach S, von S nach D als nächstes. Da müsste ich jetzt eigentlich +SD schreiben. Ich kann aber genauso gut den Gegenvektor nehmen, DS und dann das Vorzeichen ändern, das ist eben genau dasselbe, -DS. Und jetzt machen wir dasselbe noch einmal. Ich könnte +DA schreiben, aber da schon der Vektor c von A nach D definiert ist, schreibe ich einfach -c gleich der Nullvektor, weil von A nach A habe ich mich ja eigentlich nicht wegbewegt. Genau. Und jetzt benutzen wir die Definition von Teilverhältnissen und drücken den Vektor AS und DS mit Hilfe dieser Gleichung aus, und zwar sieht das wie folgt aus: Die erste Gleichung ist, Vektor AS = x * Vektor ASA, das heißt, mit dieser Zahl x, die wie hier vorne definiert ist, kann man herausfinden, wie das, wie S diese Strecke ASA teilt in welchem Verhältnis. Das Gleiche machen wir für die, den Vektor DS mit einem y * DSD. So und später wollen wir ein Gleichungssystem erhalten, wo nur noch x und y bekannt sind und der Rest, wo x und y unbekannt sind, und der Rest ist bekannt. Bekannt an dem Körper sind die drei Vektoren a, b, c. Und da haben wir eine spezielle Eigenschaft, auf die ich gleich eingehen möchte. Jetzt ist also unser Ziel, eine Gleichung zu erhalten, wo x und y vorhanden sind und a, b, c. Momentan haben wir also noch diese Verbindungsvektoren, die uns noch etwas stören, deswegen müssen wir die in weiteren Bedingungen umformen, so dass nur noch a und b dort steht. Um von A nach SA zu gelangen, benutzen wir jetzt folgendes: Wir betrachten uns noch einmal hier unten das Dreieck mit dem Schwerpunkt. Man kann beweisen, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden genau im Verhältnis 2:1 teilt, das heißt, wie ihr hier in dem Beispiel seht, gilt, Verbindungsvektor AB = 2/3 AMBC. Das nutzen wir jetzt genau hier in zwei Bedingungen aus. Also, um von A nach SA zu gelangen, kann ich erst von A nach B laufen, also a + 2/3 * b zu dem Mittelpunkt von MCD. Das ist genau die Bedingung, die ich hier unten eben ausnutze. Dasselbe können wir auch für DSD machen. Um von D nach SD zu gelangen, gehe ich erst einmal DSD, genau, gehe ich erst einmal -c, also von D nach A. Und jetzt wollen wir von A nach SD. Da kann ich aber auch schreiben, das ist 2/3 * AMBC, also zum Mittelpunkt der Strecke zwischen B und C. Jetzt können wir oder jetzt müssen wir nur noch BMCD und AMBC mit Hilfe von a, b, c ausdrücken. Und dann können wir das alles einsetzen. Das fehlt uns jetzt noch, also BMCD ist gleich, um von B nach MCD zu gelangen, machen wir folgendes: Wir gehen erst einmal von B nach A, also minus den Vektor a, dann von A nach C +b. Und nun müssen wir folgendes machen: Jetzt müssen wir zum Mittelpunkt von C und D, das heißt, wir können von C nach D gehen und dann eben mal 1/2 multiplizieren, also von C nach D, erst von C nach A, das ist -b und dann von A nach D, das ist c. Das sieht dann eben so aus: -b + c * 1/2. Dasselbe machen wir mit AMBC den Vektor. Wir gehen erst von A nach B. Das ist a. Und jetzt müssen wir die Hälfte der Strecke BC gehen, um von B nach C zu gelangen, D ist -a + b, also +1/2 - a + b. Und gleich möchte ich dir erklären, wie man diese Bedingungen dann in die obige Gleichung einsetzt und löst. Jetzt möchte ich mit dir ganz konkret das Teilverhältnis ausrechnen. Dazu kombinieren wir jetzt die Bedingung (1), (3) und (5) in die Bedingung Sternchen hinein. Also wir nehmen die Bedingung Sternchen und setzen erst einmal (1) und (2) jetzt ein. AS, also x * ASA - y * DSD - c = Nullvektor. Und jetzt nutzen wir die Bedingungen (3) und (5) und setzen die in ASA ein und Bedingung (4) und (6), die wir für DSD einsetzen, das heißt, x , ich mache mal bewusst eckige Klammer auf, a + 2/3 * Klammer auf. Jetzt müssen wir b in CD eingeben, also -a + b + 1/2 * (-b) + c, so, eckige Klammer zu, -y * eckige Klammer auf, DSD kann ich wieder hier ausdrücken, -c + 2/3 (a + 1/2 * (-a + b)) - c = 0. Jetzt multiplizieren wir das Ganze einfach aus, und zwar sieht das wie folgt aus: Also wir multiplizieren die Klammern in den eckigen Klammern aus. Hier muss noch eine eckige Klammer hin, so, das heißt, a - 2/3a ist 1/3a, und genau. Wie geht es weiter? Hier fangen wir weiter an, also b - 1/2b ist 1/2b * 2/3 ist auch 1/3b, also 2/6 ist 1/3. Bei C passiert eigentlich genau dasselbe, 1/2 * c bleibt hier stehen * 2/3 ist +1/3c, eckige Klammer zu, -y * eckige Klammer auf. Wir sortieren hier auch nach a, b, c, das heißt, hier steht a + (-1/2a) ist 1/2a * 2/3 ist wieder 1/3a. 1/2 * b * 2/3 ist wieder 1/3b und am Ende -c, eckige Klammer zu, -c von vorhin gleich Nullvektor. Nun multiplizieren wir das Ganze aus und sortieren das Ganze nach a, b, c, das heißt alle Ausdrücke, wo ein a darin vorkommt, werden wir jetzt gemeinsam in einer Klammer schreiben, also wir werden a aus diesen Ausdrücken heraus klammern, das heißt a , hier bleibt übrig 1/3x. Hier bleibt übrig -1/3y, Klammer zu, +b * Klammer auf. Jetzt nehmen wir alle Ausdrücke, wo b vorkommt. Das ist einmal hier und einmal hier. Das heißt 1/3x, genauso wie bei a - 1/3y, das heißt hier haben wir identische Klammer erhalten. Als letztes bleibt noch c-Vektor mal, wo haben wir die ganzen Ausdrücke, das ist einmal hier, c, hier haben wir auch ein c und hier hinten haben wir auch noch ein c. Hier haben wir wieder 1/3x, hier allerdings haben wir -y * -c ist +y. Und hier hinten bleibt eine -1 übrig. Jetzt haben wir eine Bedingung, die von a, b und c abhängig ist und wir haben jeweils die Faktoren davor stehen. Jetzt gilt nach der, nach dem Bild hier oben, dass a, b, c, diese Pyramide aufspannt und, dass die linear unabhängig sein müssen, sonst können wir erst gar keinen Körper aufspannen. Und bei der linearen Unabhängigkeit gilt folgendes: a, b, c sind dann, genau dann linear unabhängig, wenn gilt, r * a + s * b + t * c = 0. Wenn diese drei Faktoren r, s und t alle gleichzeitig 0 sind, dann sind die linear unabhängig. Und genau das nutzen wir hier aus. r, s und t entspricht eben genau den Klammern, die wir hier haben. Und diese Klammern ergeben dann durch diese Bedingungen, die wir da stehen haben, ein Gleichungssystem. Die erste und die zweite Klammer sind gleich, dadurch kann ich eben eine Gleichung sparen, das heißt, da haben wir einfach stehen, 1/3x - 1/3y = 0. Und die zweite Gleichung, die wir erhalten, ist hier hinten, 1/3x + y - 1 = 0. Das sind die beiden Bedingungen, die wir erhalten. So, die erste Bedingung können wir ganz einfach umformen, +1/3y * 3 ist eben x = y. Das ist sehr schön. Und die zweite Bedingung, da stellen wir einfach noch die 1 auf die andere Seite, also 1/3x + y = 1. Und damit haben wir die beiden Gleichungssysteme. Jetzt setzen wir x = y in die zweite Gleichung ein und erhalten dadurch 1/3y + y = 1. Wenn wir das umformen, 1/3y + y sind 4/3y = 1, um 4/3 auf die andere Seite zu bekommen, müssen wir mit dem Kehrwert multiplizieren, das heißt mal 3/4 und erhalten zum Schluss y = x = 3/4. So, was hat das denn jetzt mit dem Teilungsverhältnis zu tun? Und zwar gucken wir noch einmal in die Definition zurück. Das heißt, wir wissen jetzt, dass bei diesen Bedingungen (1) und (2) gilt, AS = 3/4 * ASA und anders herum für y auch = 3/4, und das Verhältnis ist nach der Definition eben 3:1, also das Teilungsverhältnis ist 3:1. Also S teilt die Strecke ASA und DSD genau im Verhältnis 3:1. Jetzt möchte ich noch einmal zusammenfassen, was wir heute gelernt haben: Wir haben am Anfang uns die Frage gestellt, wie man Teilungsverhältnisse in Körpern berechnen kann. Dazu haben wir diese Pyramide mit dreieckiger Grundfläche gesehen und die Schwerpunkte eingezeichnet und die beiden Verbindungsstrecken ASA und DSD haben den Schnittpunkt S. Und jetzt wollten wir wissen, wie S eben diese beiden Strecken teilt. Wir haben eine Bedingung aufgestellt, die den Nullvektor ergibt und durch verschiedene andere Bedingungen diese Bedingung nach xy aufgelöst, weil wir eben herausfinden wollten, was ist xy und dabei hat uns die lineare Unabhängigkeit der Vektoren a, b, c weitergeholfen, indem wir eben ein Gleichungssystem aufstellen konnten, wo wir x und y ganz konkret errechnen konnten. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal, dein Giuliano.
Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel Körper Übung
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Gib die Vektorgleichungen an, welche für die Berechnung der Teilungsverhältnisse in einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche verwendet werden.
TippsDu kannst dir alle Vektorzüge an dem obigen Bild verständlich machen.
Das Ziel ist ein lineares Gleichungssystem in $x$ und $y$, welches du durch die lineare Unabhängigkeit von $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ erhältst.
Verwende die Definition des Teilungsverhältnisses einer Strecke.
Es gilt
- $\frac23$ ist das Teilungsverhältnis, in welchem die Seitenhalbierenden in einem Dreieck sich schneiden und
- $M_{CD}$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{CD}$ sowie
- $M_{BC}$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$.
LösungEs gelten die folgenden Vektorgleichungen, welche aus dem Bild abzuleiten sind:
1. $\vec{AS}=x\cdot \vec{AS_A}$, wobei $x$ das Teilungsverhältnis ist, in welchem $S$ die Strecke $\overline{AS_A}$ teilt.
2. $\vec{DS}=y\cdot \vec{DS_D}$, wobei $y$ das Teilungsverhältnis ist, in welchem $S$ die Strecke $\overline{DS_D}$ teilt.
3. $\vec{AS_A}=\vec a+\frac23\vec{BM_{CD}}$.
- Dabei ist $\frac23$ das Teilungsverhältnis, in welchem die Seitenhalbierenden in einem Dreieck sich schneiden und
- $M_{CD}$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{CD}$.
- Dabei ist $\frac23$ das Teilungsverhältnis, in welchem sich die Seitenhalbierenden in einem Dreieck schneiden und
- $M_{BC}$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$.
6. $\vec{AM_{BC}}=\vec a+\frac12(-\vec a+\vec b)$
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Berechne das Teilungsverhältnis, in welchem die Strecken $\overline{AS_A}$ und $\overline{DS_D}$ sich schneiden.
TippsDas Ziel ist eine Gleichung mit den Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ zu erhalten und die lineare Abhängigkeit der drei Vektoren zu nutzen.
Die drei Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ sind linear unabhängig. Das heißt
$r\cdot\vec a+s\cdot\vec b+t\cdot\vec c=\vec 0$ ist äquivalent zu
$r=s=t=0$.
LösungEs gilt:
$\vec{AA}=\vec{AS}-\vec{DS}-\vec c=\vec0$.
Unter Verwendung der Teilungsverhältnisse (1) und (2) erhält man
$x\cdot \vec{AS_A}-y\cdot\vec{DS_D}-\vec c=\vec0$.
Nun wird mit den Gleichungen (3) und (4) umgeformt zu
$x\cdot \left(\vec a+\frac23\vec{BM_{CD}}\right)-y\cdot\left(-\vec c+\frac23\vec{AM_{BC}}\right)-\vec c=\vec0$.
Wenn man die Gleichungen (5) und (6) verwendet, stehen in der Vektorgleichung nur noch die linear unabhängigen Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$:
$x\cdot \left(\vec a+\frac23\left(-\vec a+\vec b+\frac12\left(-\vec b+\vec c\right)\right)\right)-y\cdot\left(-\vec c+\frac23\left(\vec a+\frac12\left(-\vec a+\vec b\right)\right)\right)-\vec c=\vec0$.
Nun können alle Klammern ausmultipliziert werden und die Terme mit den Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ zusammengefasst werden:
$\begin{aligned} x\cdot \left(\vec a+\frac23\left(-\vec a+\vec b+\frac12\left(-\vec b+\vec c\right)\right)\right)-y\cdot\left(-\vec c+\frac23\left(\vec a+\frac12\left(-\vec a+\vec b\right)\right)\right)-\vec c &=\vec0\\ x\cdot \left(\vec a+\frac23\left(-\vec a+\vec b-\frac12\vec b+\frac 12\vec c\right)\right)-y\cdot\left(-\vec c+\frac23\left(\vec a-\frac12\vec a+\frac12\vec b\right)\right)-\vec c &=\vec0\\ x\cdot \left(\vec a+\frac23\left(-\vec a+\frac12\vec b+\frac 12\vec c\right)\right)-y\cdot\left(-\vec c+\frac23\left(\frac12\vec a+\frac12\vec b\right)\right)-\vec c &=\vec0\\ x\cdot \left(\vec a-\frac23\vec a+\frac13\vec b+\frac 13\vec c\right)-y\cdot\left(-\vec c+ \frac13\vec a+\frac13\vec b\right)-\vec c &=\vec0\\ x\cdot \left(\frac13\vec a+\frac13\vec b+\frac 13\vec c\right)-y\cdot\left(-\vec c+ \frac13\vec a+\frac13\vec b\right)-\vec c &=\vec0\\ \frac13 x\cdot\vec a+\frac13 x\cdot\vec b+\frac 13x\cdot\vec c+y\cdot\vec c-\frac13 y\cdot\vec a-\frac13 y\cdot\vec b-\vec c &=\vec0\\ \vec a\left(\frac13 x-\frac13 y\right)+\vec b\left(\frac13 x-\frac13 y\right)+\vec c\left(\frac13 x+y-1\right)&=\vec 0 \end{aligned}$
Da die Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ linear unabhängig sind, folgt damit:
$\begin{aligned} &\text{I}&\frac13 x-\frac13 y=0\\ &\text{II}&\frac13 x+y-1=0. \end{aligned}$
Die erste Gleichung ist äquivalent zu $x=y$. Dies kann in der zweiten Gleichung eingesetzt werden und führt zu:
$\begin{aligned} \frac13x+x-1&=0\\ \frac43 x-1&=0&|&+1\\ \frac43x&=1&|&\cdot \frac34\\ x&=\frac34. \end{aligned}$
Somit ist auch $y=\frac34$. Nach der Definition des Teilungsverhältnisses ist dies $3:(4-3)=3:1$.
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Stelle die Vektorgleichungen auf, welche für die Berechnung des Teilungsverhältnisses der Diagonalen in einem Quader benötigt werden.
TippsSchau dir die Darstellung der einzelnen Vektoren als Vektorzug in der obigen Zeichnung an.
Es werden alle drei Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ benötigt.
Da die betrachteten Punkte Eckpunkte des Quaders sind, müssen bei den Vektorzügen keine Teilungsverhältnisse berücksichtigt werden.
LösungDas Teilungsverhältnis sei gegeben durch $0<x<1$ für die Strecke $\overline{AG}$ sowie $0<y<1$ für $\overline{EC}$. Dann gilt
- $\vec{AS}=x\cdot\vec{AG}$ und
- $\vec{ES}=y\cdot\vec{EC}$.
- $\vec{AG}=\vec a+\vec b+\vec c$ sowie
- $\vec{EC}=\vec a-\vec b+\vec c$.
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Berechne das Teilungsverhältnis der Diagonalen in einem Quader.
TippsVerwende die lineare Unabhängigkeit der Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$.
Die Umformungen führen zu einem Gleichungssystem in $x$ und $y$.
Wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ gilt
$r\cdot\vec a+s\cdot\vec b+t\cdot\vec c=\vec 0$
ist äquivalent zu $r=s=t=0$.
LösungDiese Gleichungen werden zu der Berechnung benötigt:
- $\vec{AS}-\vec{ES}-\vec b=\vec0$,
- $\vec{AS}=x\cdot\vec{AG}$, wobei $0<x<1$,
- $\vec{ES}=y\cdot\vec{EC}$, wobei $0<y<1$,
- $\vec{AG}=\vec a+\vec b+\vec c$ sowie
- $\vec{EC}=\vec a-\vec b+\vec c$.
$x\cdot\vec{AG}-y\cdot\vec{EC}-\vec b=\vec0$.
Nun können die Vektoren $\vec{AG}$ sowie $\vec{EC}$ mit Hilfe der Gleichungen (4) und (5) ersetzt werden:
$x\cdot\left(\vec a+\vec b+\vec c\right)-y\cdot\left(\vec a-\vec b+\vec c\right)-\vec b=\vec0$.
In dieser Gleichung werden auf der linken Seite die Klammern aufgelöst und die Terme nach den Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ geordnet:
$\begin{align*} x\cdot\left(\vec a+\vec b+\vec c\right)-y\cdot\left(\vec a-\vec b+\vec c\right)-\vec b&=\vec0\\ x\cdot\vec a+x\cdot\vec b+x\cdot\vec c-y\cdot\vec a+y\cdot\vec b-y\cdot\vec c-\vec b&=\vec0\\ \vec a(x-y)+\vec b(x+y-1)+\vec c(x-y)&=\vec 0. \end{align*}$
Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ kann also folgendes Gleichungssystem in $x$ und $y$ hergeleitet werden:
$\begin{align*} &\text{I}&x-y=0\\ &\text{II}&x+y-1=0. \end{align*}$
Die erste Gleichung ist äquivalent zu $x=y$. Dies kann in der zweiten Gleichung eingesetzt werden:
$\begin{align*} x+x-1&=0&|&+1\\ 2x&=1&|&:2\\ x&=\frac12. \end{align*}$
Es gilt also $x=y=\frac12$.
Das bedeutet, dass die Diagonalen sich im Verhältnis $1:1$ schneiden. Also genau in der Mitte. Dies wurde hier für $2$ Diagonalen nachgewiesen. Es gilt, dass alle $4$ Raumdiagonalen eines Quaders sich in einem Punkt schneiden, welcher jede der Diagonalen halbiert.
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Gib die Definition des Teilungsverhältnisses an.
TippsMach dir das Teilungsverhältnis anhand einer Skizze klar.
Beachte: Wenn eine Strecke im Verhältnis $2:1$ geteilt wird, so liegen $2+1=3$ Teile der Strecke vor.
LösungUm das Teilungsverhältnis einer Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $T$ zu bestimmen, muss dieser auf der Geraden durch die beiden Endpunkte der Strecke gehen. Das bedeutet: $\vec{AT}$ und $\vec{AB}$ sind kollinear.
Dann kann das Teilungsverhältnis für $0<\frac ab<1$ wie folgt definiert werden:
$|a| : (|b|-|a|) ~\Leftrightarrow~\vec{AT}=\frac ab\cdot \vec{AB}$.
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Weise nach, dass der Punkt $M$ die Strecke $\overline{AB}$ halbiert.
TippsWenn zwei Vektoren kollinear sind, so bedeutet dies, dass der eine sich als Vielfaches des Anderen darstellen lässt, also
$\vec{AT}=\frac ab \cdot \vec{AB}$.
Daraus lässt sich das Teilungsverhältnis der Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt ablesen. Es beträgt:
$|a|:(|b|-|a|)$.
Der Verbindungsvektor zweier Punkte $C$ und $D$ ist gegeben durch die Differenz der Ortsvektoren $\vec v$ und $\vec u$.
Welches Teilungsverhältnis liegt vor, wenn ein Punkt genau in der Mitte einer Strecke liegt?
LösungDer Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten $A$ und $B$, also der Strecke zwischen diesen beiden Punkten, ist gegeben durch:
$M\left(\frac{a_1+b_1}2|\frac{a_2+b_2}2|\frac{a_3+b_3}2\right)$.
Dies kann wie folgt gezeigt werden:
Zunächst stellt man die Verbindungsvektoren
$\vec{AM}=\begin{pmatrix} \frac{b_1-a_1}2\\ \frac{b_2-a_2}2\\ \frac{b_3-a_3}2 \end{pmatrix}$ sowie $\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$ auf.
Es gilt
$\vec{AM}=\begin{pmatrix} \frac{b_1-a_1}2\\ \frac{b_2-a_2}2\\ \frac{b_3-a_3}2 \end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}=\frac12\vec{AB}$.
Also teilt der Punkt $M$ die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $1:(2-1)=1:1$.
Das bedeutet, dass $M$ genau in der Mitte zwischen $A$ und $B$ liegt.
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