Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel Körper

Hallo, ich bin Giuliano. Und ich möchte dir heute erklären, wie man die Teilverhältnisse von Strecken in einem Körper berechnen kann. Dazu betrachten wir uns eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche im Raum. Die Grundfläche wird von zwei Vektoren a und b aufgespannt. Und der Vektor c ist der Verbindungsvektor zwischen A und D. Die Oberfläche dieser Pyramide besteht aus vier Dreiecken. Von diesen Dreiecken kann man den sogenannten Schwerpunkt einzeichnen. Das möchte ich euch jetzt einmal zeigen. Hier seht ihr ein Dreieck. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. In dem Falle sind die Seitenhalbierenden, ja das sind die Strecken von den Eckpunkten zu dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, das heißt also hier, die Strecke von A nach Mittelpunkt von BC oder kurz M_BC, von B nach M_AC und von C nach M_AB. Und dieser Schnittpunkt dieser Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt. In dieser Abbildung siehst du jetzt zwei Schwerpunkte. Einmal den Schwerpunkt des Dreiecks BCD, den ich S_A nenne, weil er gegenüber vom Punkt A liegt und einmal den Schwerpunkt des Dreiecks ABC, der gegenüber von D liegt und deswegen S_D heißt. Und jetzt ist die Frage, wie teilt der Punkt S, der der Schnittpunkt dieser beiden Strecken ist, zwischen D und S_D und A und S_D? Wie teilt dieses S diese beiden Strecken? Das ist jetzt also das, was uns interessiert. Dazu brauchen wir erst einmal die Formel beziehungsweise die Gleichung Sternchen, die ich jetzt einmal anschreiben möchte. Dazu gehen wir von A nach A in Vektorenschreibweise, und zwar, wir gehen einmal von A nach S, von S nach D als nächstes. Da müsste ich jetzt eigentlich +SD schreiben. Ich kann aber genauso gut den Gegenvektor nehmen, DS und dann das Vorzeichen ändern, das ist eben genau dasselbe, -DS. Und jetzt machen wir dasselbe noch einmal. Ich könnte +DA schreiben, aber da schon der Vektor c von A nach D definiert ist, schreibe ich einfach -c gleich der Nullvektor, weil von A nach A habe ich mich ja eigentlich nicht wegbewegt. Genau. Und jetzt benutzen wir die Definition von Teilverhältnissen und drücken den Vektor AS und DS mit Hilfe dieser Gleichung aus, und zwar sieht das wie folgt aus: Die erste Gleichung ist, Vektor AS = x * Vektor AS_A, das heißt, mit dieser Zahl x, die wie hier vorne definiert ist, kann man herausfinden, wie das, wie S diese Strecke AS_A teilt in welchem Verhältnis. Das Gleiche machen wir für die, den Vektor DS mit einem y * DS_D. So und später wollen wir ein Gleichungssystem erhalten, wo nur noch x und y bekannt sind und der Rest, wo x und y unbekannt sind, und der Rest ist bekannt. Bekannt an dem Körper sind die drei Vektoren a, b, c. Und da haben wir eine spezielle Eigenschaft, auf die ich gleich eingehen möchte. Jetzt ist also unser Ziel, eine Gleichung zu erhalten, wo x und y vorhanden sind und a, b, c. Momentan haben wir also noch diese Verbindungsvektoren, die uns noch etwas stören, deswegen müssen wir die in weiteren Bedingungen umformen, so dass nur noch a und b dort steht. Um von A nach S_A zu gelangen, benutzen wir jetzt folgendes: Wir betrachten uns noch einmal hier unten das Dreieck mit dem Schwerpunkt. Man kann beweisen, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden genau im Verhältnis 2:1 teilt, das heißt, wie ihr hier in dem Beispiel seht, gilt, Verbindungsvektor AB = 2/3 AM_BC. Das nutzen wir jetzt genau hier in zwei Bedingungen aus. Also, um von A nach S_A zu gelangen, kann ich erst von A nach B laufen, also a + 2/3 * b zu dem Mittelpunkt von M_CD. Das ist genau die Bedingung, die ich hier unten eben ausnutze. Dasselbe können wir auch für DS_D machen. Um von D nach S_D zu gelangen, gehe ich erst einmal DS_D, genau, gehe ich erst einmal -c, also von D nach A. Und jetzt wollen wir von A nach S_D. Da kann ich aber auch schreiben, das ist 2/3 * AM_BC, also zum Mittelpunkt der Strecke zwischen B und C. Jetzt können wir oder jetzt müssen wir nur noch BM_CD und AM_BC mit Hilfe von a, b, c ausdrücken. Und dann können wir das alles einsetzen. Das fehlt uns jetzt noch, also BM_CD ist gleich, um von B nach M_CD zu gelangen, machen wir folgendes: Wir gehen erst einmal von B nach A, also minus den Vektor a, dann von A nach C +b. Und nun müssen wir folgendes machen: Jetzt müssen wir zum Mittelpunkt von C und D, das heißt, wir können von C nach D gehen und dann eben mal 1/2 multiplizieren, also von C nach D, erst von C nach A, das ist -b und dann von A nach D, das ist c. Das sieht dann eben so aus: -b + c * 1/2. Dasselbe machen wir mit AM_BC den Vektor. Wir gehen erst von A nach B. Das ist a. Und jetzt müssen wir die Hälfte der Strecke BC gehen, um von B nach C zu gelangen, D ist -a + b, also +1/2 - a + b. Und gleich möchte ich dir erklären, wie man diese Bedingungen dann in die obige Gleichung einsetzt und löst. Jetzt möchte ich mit dir ganz konkret das Teilverhältnis ausrechnen. Dazu kombinieren wir jetzt die Bedingung (1), (3) und (5) in die Bedingung Sternchen hinein. Also wir nehmen die Bedingung Sternchen und setzen erst einmal (1) und (2) jetzt ein. AS, also x * AS_A - y * DS_D - c = Nullvektor. Und jetzt nutzen wir die Bedingungen (3) und (5) und setzen die in AS_A ein und Bedingung (4) und (6), die wir für DS_D einsetzen, das heißt, x , ich mache mal bewusst eckige Klammer auf, a + 2/3 * Klammer auf. Jetzt müssen wir b in CD eingeben, also -a + b + 1/2 * (-b) + c, so, eckige Klammer zu, -y * eckige Klammer auf, DS_D kann ich wieder hier ausdrücken, -c + 2/3 (a + 1/2 * (-a + b)) - c = 0. Jetzt multiplizieren wir das Ganze einfach aus, und zwar sieht das wie folgt aus: Also wir multiplizieren die Klammern in den eckigen Klammern aus. Hier muss noch eine eckige Klammer hin, so, das heißt, a - 2/3a ist 1/3a, und genau. Wie geht es weiter? Hier fangen wir weiter an, also b - 1/2b ist 1/2b * 2/3 ist auch 1/3b, also 2/6 ist 1/3. Bei C passiert eigentlich genau dasselbe, 1/2 * c bleibt hier stehen * 2/3 ist +1/3c, eckige Klammer zu, -y * eckige Klammer auf. Wir sortieren hier auch nach a, b, c, das heißt, hier steht a + (-1/2a) ist 1/2a * 2/3 ist wieder 1/3a. 1/2 * b * 2/3 ist wieder 1/3b und am Ende -c, eckige Klammer zu, -c von vorhin gleich Nullvektor. Nun multiplizieren wir das Ganze aus und sortieren das Ganze nach a, b, c, das heißt alle Ausdrücke, wo ein a darin vorkommt, werden wir jetzt gemeinsam in einer Klammer schreiben, also wir werden a aus diesen Ausdrücken heraus klammern, das heißt a , hier bleibt übrig 1/3x. Hier bleibt übrig -1/3y, Klammer zu, +b * Klammer auf. Jetzt nehmen wir alle Ausdrücke, wo b vorkommt. Das ist einmal hier und einmal hier. Das heißt 1/3x, genauso wie bei a - 1/3y, das heißt hier haben wir identische Klammer erhalten. Als letztes bleibt noch c-Vektor mal, wo haben wir die ganzen Ausdrücke, das ist einmal hier, c, hier haben wir auch ein c und hier hinten haben wir auch noch ein c. Hier haben wir wieder 1/3x, hier allerdings haben wir -y * -c ist +y. Und hier hinten bleibt eine -1 übrig. Jetzt haben wir eine Bedingung, die von a, b und c abhängig ist und wir haben jeweils die Faktoren davor stehen. Jetzt gilt nach der, nach dem Bild hier oben, dass a, b, c, diese Pyramide aufspannt und, dass die linear unabhängig sein müssen, sonst können wir erst gar keinen Körper aufspannen. Und bei der linearen Unabhängigkeit gilt folgendes: a, b, c sind dann, genau dann linear unabhängig, wenn gilt, r * a + s * b + t * c = 0. Wenn diese drei Faktoren r, s und t alle gleichzeitig 0 sind, dann sind die linear unabhängig. Und genau das nutzen wir hier aus. r, s und t entspricht eben genau den Klammern, die wir hier haben. Und diese Klammern ergeben dann durch diese Bedingungen, die wir da stehen haben, ein Gleichungssystem. Die erste und die zweite Klammer sind gleich, dadurch kann ich eben eine Gleichung sparen, das heißt, da haben wir einfach stehen, 1/3x - 1/3y = 0. Und die zweite Gleichung, die wir erhalten, ist hier hinten, 1/3x + y - 1 = 0. Das sind die beiden Bedingungen, die wir erhalten. So, die erste Bedingung können wir ganz einfach umformen, +1/3y * 3 ist eben x = y. Das ist sehr schön. Und die zweite Bedingung, da stellen wir einfach noch die 1 auf die andere Seite, also 1/3x + y = 1. Und damit haben wir die beiden Gleichungssysteme. Jetzt setzen wir x = y in die zweite Gleichung ein und erhalten dadurch 1/3y + y = 1. Wenn wir das umformen, 1/3y + y sind 4/3y = 1, um 4/3 auf die andere Seite zu bekommen, müssen wir mit dem Kehrwert multiplizieren, das heißt mal 3/4 und erhalten zum Schluss y = x = 3/4. So, was hat das denn jetzt mit dem Teilungsverhältnis zu tun? Und zwar gucken wir noch einmal in die Definition zurück. Das heißt, wir wissen jetzt, dass bei diesen Bedingungen (1) und (2) gilt, AS = 3/4 * AS_A und anders herum für y auch = 3/4, und das Verhältnis ist nach der Definition eben 3:1, also das Teilungsverhältnis ist 3:1. Also S teilt die Strecke AS_A und DS_D genau im Verhältnis 3:1. Jetzt möchte ich noch einmal zusammenfassen, was wir heute gelernt haben: Wir haben am Anfang uns die Frage gestellt, wie man Teilungsverhältnisse in Körpern berechnen kann. Dazu haben wir diese Pyramide mit dreieckiger Grundfläche gesehen und die Schwerpunkte eingezeichnet und die beiden Verbindungsstrecken AS_A und DS_D haben den Schnittpunkt S. Und jetzt wollten wir wissen, wie S eben diese beiden Strecken teilt. Wir haben eine Bedingung aufgestellt, die den Nullvektor ergibt und durch verschiedene andere Bedingungen diese Bedingung nach xy aufgelöst, weil wir eben herausfinden wollten, was ist xy und dabei hat uns die lineare Unabhängigkeit der Vektoren a, b, c weitergeholfen, indem wir eben ein Gleichungssystem aufstellen konnten, wo wir x und y ganz konkret errechnen konnten. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal, dein Giuliano.