Tangente an einen Kreis konstruieren
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Grundlagen zum Thema Tangente an einen Kreis konstruieren
Inhalt
- Wie sich eine Tangente an einen Kreis konstruieren lässt
- Beispiel – Paulines Shuttleroute
- Was ist eine Tangente?
- Konstruktion einer Tangente an einen Kreis
- Konstruktion einer Tangente durch einen Berührpunkt
- Konstruktion einer Tangente durch einen außerhalb liegenden Punkt
- Zusammenfassung zur Konstruktion einer Tangente an einen Kreis
Wie sich eine Tangente an einen Kreis konstruieren lässt
In diesem Text wird erklärt, wie man eine Tangente an einen Kreis konstruieren kann. Das sehen wir uns anhand des folgenden Beispiels an.
Beispiel – Paulines Shuttleroute
Pauline steuert ihr Firmenshuttle von einem Planeten zum nächsten und muss unterwegs Päckchen abwerfen. Da ihr Navigationssystem ausgefallen ist, muss sie heute ihre Route selbst festlegen. Dazu muss sie Tangenten an einen Kreis konstruieren. Sicherlich kennst du Tangenten aus Mathe. Hier schauen wir uns das allgemeine Vorgehen zum Konstruieren von Tangenten am Kreis an.
Was ist eine Tangente?
Wir betrachten zunächst die Definition einer Tangente:
Eine Tangente $t$ an einen Kreis ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Und wie heißt der Punkt, an dem die Tangente den Kreis berührt? Natürlich Berührpunkt! Wir bezeichnen den Berührpunkt mit $B$. Die Tangente $t$ bildet mit dem Radius $r$ zwischen $B$ und dem Mittelpunkt $M$ einen rechten Winkel.
Aber wie kann man eine Tangente konstruieren? Das schauen wir uns im Folgenden an.
Konstruktion einer Tangente an einen Kreis
Um eine Tangente durch einen Punkt an einem Kreis zu konstruieren, unterscheiden wir zwei Fälle:
Konstruktion einer Tangente durch einen Berührpunkt
Wollen wir die Tangente durch einen vorgegebenen Berührpunkt konstruieren, gehen wir wie folgt vor:
- Wir zeichnen den Radius $r$ durch den Berührpunkt ein und verlängern ihn zu einer Geraden.
- Auf dieser Geraden fällen wir mithilfe des Zirkels ein Lot durch den Berührpunkt.
Dieses Lot steht senkrecht auf dem Radius und berührt den Kreis in genau einem Punkt, dem Berührpunkt. Wir haben damit also die Tangente $t$ eingezeichnet.
Konstruktion einer Tangente durch einen außerhalb liegenden Punkt
Wollen wir die Tangente durch einen bestimmten Punkt $P$ außerhalb des Kreises konstruieren, gehen wir wie folgt vor:
- Wir verbinden den Kreismittelpunkt mit dem Punkt $P$.
- Darauf konstruieren wir mithilfe des Zirkels die Mittelsenkrechte. Diese schneidet die Strecke $\overline{MP}$ in ihrem Mittelpunkt.
- Durch den Mittelpunkt zeichnen wir einen Kreis, der durch $M$ und $P$ verläuft. Dieser schneidet den ursprünglichen Kreis in zwei Punkten: $B_1$ und $B_2$.
- Wir zeichnen eine Gerade durch $P$ und $B_1$ und eine weitere Gerade durch $P$ und $B_2$.
Diese beiden Geraden sind die Tangenten $t_1$ und $t_2$ an den Kreis, die beide durch $P$ verlaufen. Dies können wir erkennen, indem wir noch die beiden Radien an $B_1$ und $B_2$ einzeichnen. Da die Geradenabschnitte jeweils ein Dreieck in einem Halbkreis erzeugen, muss nach dem Satz des Thales ein rechter Winkel zwischen $t_1$ und $r_1$ bzw. zwischen $t_2$ und $r_2$ vorliegen. Wir haben also die Tangenten $t_1$ und $t_2$ konstruiert.
Zusammenfassung zur Konstruktion einer Tangente an einen Kreis
Um die Konstruktion von Tangenten an einem Kreis zu zeigen, haben wir zunächst den Begriff der Tangente erläutert. Anschließend haben wir Tangenten am Kreis in zwei Beispielen konstruiert. Wenn du zum Thema Kreis und Tangente noch mehr Aufgaben suchst, wirst du auf dieser Seite fündig. Hier gibt es außerdem noch Arbeitsblätter und Übungen zum Konstruieren einer Tangente an einen Kreis.
Transkript Tangente an einen Kreis konstruieren
Pauline hat ihren absoluten Traumberuf gefunden: Im getunten Firmenshuttle steuert sie von einem Planeten zum nächsten und muss zwischendurch nur kurz ihre Päckchen abwerfen. Aber heute hat ihr Navi den Geist aufgegeben - deshalb plant sie ihre Routen diesmal mit Zirkel und Lineal! Sie wird so Tangenten an einem Kreis konstruieren! Schauen wir uns mal an, was eine Tangente an einem Kreis eigentlich ist! Zu einem gegebenen Kreis ist eine Tangente eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Der wird deshalb gerne als Berührpunkt B bezeichnet, während die Tangente mit klein t bezeichnet wird. Die Tangente eines Kreises hat außerdem eine besondere Eigenschaft: Wenn wir den Radius r vom Mittelpunkt zum Berührpunkt verbinden, dann stellen wir fest, dass zwischen der Tangente und dem Radius ein rechter Winkel liegt. Und das ist immer so - egal durch welchen Berührpunkt die Tangente verläuft. Und wie sieht es mit dieser Geraden aus? Ist sie eine Tangente? Sie berührt unseren Kreis in keinem einzigen Punkt. Sie wird deshalb Passante genannt. - Und diese? Nein, das ist auch keine Tangente! Denn sie hat gleich zwei Berührpunkte - oder in diesem Fall besser gesagt Schnittpunkte mit dem Kreis. Man nennt sie Sekante. Denk immer dran: nur Geraden mit genau einem Berührpunkt mit dem Kreis sind Tangenten! - so wie diese hier! Gut - jetzt können wir Pauline helfen! Hier ist der erste Planet, den sie beliefern möchte und zwar an diesem Punkt. Den Planeten stellen wir vereinfacht als Kreis um seinen Mittelpunkt M dar. Und den Zustellort markieren wir als Punkt B auf dem Kreisrand. Wir wollen jetzt die geradlinige Flugroute durch den Punkt B, also die Tangente durch einen Berührpunkt konstruieren. Dafür zeichnen wir uns den Radius r ein und verlängern ihn zu einer Geraden. Mithilfe eines Zirkels fällen wir nun im Punkt B ein Lot. Dafür markieren wir auf mit dem Zirkel zwei Schnittstellen im gleichen Abstand zu B auf der Geraden. Um diese zeichnen wir jeweils zwei Kreissegmente mit dem gleichen Radius und durch deren Schnittpunkte verläuft das Lot. Diese neue Gerade steht nun senkrecht auf dem Radius und berührt den Kreis in genau einem Punkt, nämlich B. Also ist dies unsere gesuchte Tangente! Großartig! Pauline hat die Flugroute perfekt getroffen, tangiert die Oberfläche nur knapp im Berührpunkt lässt ein hübsches Päckchen da und fliegt schon weiter zum nächsten Planeten! Bei diesem darf Pauline die Bestellung einfach überall auf dem Planeten abwerfen. Schnell überlegt sie sich die bequemste Flugroute. Paulines momentanen Standpunkt markieren wir als Punkt P - diesmal wollen wir also die Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises konstruieren. Wieder verbinden wir den Mittelpunkt mit dem Punkt P, zeichnen also einen verlängerten Radius. Mithilfe unseres Zirkels konstruieren wir nun darauf die Mittelsenkrechte. Dafür ziehen wir um P zwei Kreissegmente und mit dem gleichen Radius auch um M. Mittels der Geraden durch die Schnittpunkte erhalten wir nämlich den Mittelpunkt der Strecke zwischen M und P. Um diesen neuen Punkt zeichnen wir einen Hilfskreis, der durch M und P verläuft. Dieser Hilfskreis schneidet den ursprünglichen Kreis in zwei Punkten: wir nennen sie B_1 und B_2. Wir zeichnen durch B_1 und unseren Punkt P eine Gerade und genauso durch B_2 und P. Diese beiden Geraden sind nämlich genau die gesuchten Tangenten t_1 und t_2 durch den Punkt P. Der Vollständigkeit halber ergänzen wir uns noch die beiden Radien. Aber warum funktioniert das eigentlich? Schauen wir uns einmal diesen Halbkreis hier an: Diese Geradenabschnitte hier bilden ein Dreieck - und nach dem Satz des Thales liegt dann hier ein rechter Winkel. Auf der anderen Seite klappt es natürlich genauso. Und somit steht fest, dass wir hier wirklich zwei Tangenten konstruiert haben! Fassen wir noch einmal zusammen: Bei der Konstruktion von Tangenten an einem Kreis unterscheidest du zwischen zwei Fällen: Der erste ist die eindeutige Tangente durch einen Berührpunkt des Kreises! Hier verlängerst du den Radius über den Berührpunkt hinaus und fällst darauf ein Lot im Berührpunkt. Fertig ist deine Tangente! Im Fall, dass deine Tangente durch einen Punkt ausßerhalb des Kreises verlaufen soll ist der Anfang ähnlich. Du verlängerst wieder den Radius des Kreises - diesmal genau bis zu deinem Punkt. Nun bestimmst du mittels Mittelsenkrechten den Mittelpunkt dieser Strecke- fällst also auch wieder ein Lot. Ein Hilfskreis um diesen Mittelpunkt, der durch M verläuft liefert dir zwei Schnittpunkte mit dem dir gegebenen Kreis. Die Gerade durch diese Punkte und die Gerade durch diese Punkte sind dann deine gesuchten Tangenten! Pauline wundert sich nach dem Abliefern schon ein bisschen, warum ihr kein genauer Zustellort gegeben wurde und was sind das eigentlich für Geräusche? Whah! Das ist ja Gerade nochmal gut gegangen.
Tangente an einen Kreis konstruieren Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Kreistangenten.
TippsHier siehst du eine Kreistangente.
Das französische Verb „passer“ bedeutet „vorbeigehen“. Das Wort „Passante“ hat den gleichen Ursprung.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- Zwischen dem Radius und der Tangente eines Kreises liegt immer ein rechter Winkel.
- Eine Passante berührt den Kreis nicht.
Diese Aussagen sind falsch:
- Eine Tangente an einen Kreis berührt den Kreis in genau zwei Punkten.
- Eine Sekante berührt den Kreis in genau einem Punkt.
- Jede Tangente ist auch eine Sekante.
-
Gib wieder, wie man Tangenten an einen Kreis konstruiert.
TippsDie Tangente soll im rechten Winkel zum Radius des Kreises stehen. Deshalb muss zuerst der Radius eingezeichnet werden.
Um die Tangente zu konstruieren, muss man zwei Punkte auf dem verlängerten Radius finden, die den gleichen Abstand vom Berührpunkt haben.
Die Tangente ist dann die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten auf dem verlängerten Radius.
LösungEine Tangente an einen Kreis kannst du wie folgt konstruieren:
- Zuerst verlängerst du den Radius des Kreises durch den Punkt, an dem die Tangente anliegen soll.
- Danach findest du zwei Punkte auf dem verlängerten Radius, die den gleichen Abstand vom Berührpunkt haben. Dazu zeichnest du zwei Kreissegmente mit gleichem Radius um den Berührpunkt, die den verlängerten Radius des ursprünglichen Kreises schneiden.
- Die Tangente ist dann die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten auf dem verlängerten Radius. Diese Mittelsenkrechte erhältst du, indem du mit dem Zirkel jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente mit gleichem Radius um die zwei gefundenen Punkte auf dem verlängerten Radius zeichnest.
- Durch die Schnittpunkte der beiden Kreissegmente zeichnest du eine Gerade. Das ist die gesuchte Tangente an den Kreis.
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Erkläre, wie man Tangenten an einen Kreis durch einen Punkt außerhalb des Kreises konstruiert.
TippsUm eine Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten zu bestimmen, zeichnet man jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente mit gleicher Radius um die beiden Punkte. Die Gerade durch die Schnittpunkte der Kreissegmente ist die Mittelsenkrechte.
Ein Kreis, der nur als Mittel zum Zweck gezeichnet wird, nennt man Hilfskreis.
LösungDie Konstruktion einer Tangenten durch einen Punkt außerhalb eines Kreises funktioniert folgendermaßen:
- Zuerst verlängert man den Radius durch den Punkt $P$. Dazu zeichnet man eine Gerade durch den Kreismittelpunkt $M$ und den Punkt $P$.
- Danach konstruiert man eine Mittelsenkrechte zwischen den Punkten $P$ und $M$. Dazu zeichnet man mit dem Zirkel jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente mit gleichem Radius um die beiden Punkte und verbindet die Schnittpunkte.
- Im Anschluss wird der Mittelpunkt der Strecke zwischen $P$ und $M$ markiert. Danach zeichnet man einen Hilfskreis um diesen Mittelpunkt, der durch die Punkte $P$ und $M$ verläuft.
- Zuletzt zeichnet man Geraden durch den Punkt $P$ und die Schnittpunkte des ursprünglichen Kreises mit dem Hilfskreis. Das sind die Tangenten durch den Punkt $P$ außerhalb des Kreises.
-
Erkläre, wie man eine Tangente an einen Kreis konstruiert.
TippsSo sieht die Konstruktion direkt vor dem Einzeichnen der Tangente aus.
LösungDie Schritte für die Konstruktion einer Tangente an einem Kreis sind wie folgt:
- Zuerst verlängert man den Radius des Kreises durch den Punkt, an dem die Tangente anliegen soll.
- Dann findet man zwei Punkte auf dem verlängerten Radius, die den gleichen Abstand vom Berührpunkt haben.
- Im Anschluss zeichnet man mit dem Zirkel jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente um die zwei gefundenen Punkte auf dem verlängerten Radius.
- Verbindet man die Schnittpunkte der Kreissegmente durch eine Gerade, dann hat man die Mittelsenkrechte dieser beiden Punkte gefunden.
- Diese Mittelsenkrechte ist die gesuchte Tangente.
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Bestimme die Eigenschaften der Geraden an einem Kreis.
TippsSekanten und Passanten können in beliebiger Richtung zum Radius des Kreises stehen.
LösungDie erste Gerade heißt Tangente:
- Sie berührt den Kreis in einem Punkt.
- Sie liegt im rechten Winkel zum Radius des Kreises.
- Sie schneidet den Kreis nie.
- Sie schneidet den Kreis in zwei beliebigen Punkten.
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Erschließe die Begründung für die Konstruktion der Tangenten.
TippsDer Satz des Thales macht Aussagen über rechtwinklige Dreiecke in Halbkreisen.
LösungDer Satz des Thales besagt, dass man aus den Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises und einem beliebigen weiteren Punkt $C$ auf diesem Halbkreis ein Dreieck bilden kann und dieses Dreieck bei $C$ immer einen rechten Winkel haben muss.
Bei der Konstruktion einer Tangenten an einen Punkt außerhalb des Kreises nutzt man den Satz des Thales: Man konstruiert einen Halbkreis mit den Punkten $P$ und $M$ als Endpunkte des Durchmessers.
In diesen Halbkreis kann man nun ein Dreieck aus den Punkten $P$, $M$ und einem beliebigen weiteren Punkt auf dem konstruierten Halbkreis zeichnen: Man wählt den Schnittpunkt $B$ des Halbkreises mit dem ursprünglichen Kreis, da hier die Tangente anliegen soll.
Die Strecke von $P$ zu $B$ des gewählten Dreiecks erfüllt jetzt zwei wichtige Bedingungen:
- Sie berührt den ursprünglichen Kreis in genau einem Punkt.
- Sie liegt im rechten Winkel zum Radius des ursprünglichen Kreises.
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