Tangente an einen Kreis konstruieren

Tangente an einen Kreis konstruieren Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Tangenten an einem Kreis.

  Tipps

  Das ist die Zeichnung einer Tangente an einem Kreis.

  Das französische Verb „passer“ bedeutet „vorbeigehen“. Das Wort „Passante“ hat den gleichen Ursprung.

  Lösung

  Diese Aussagen sind wahr:

  • Zwischen dem Radius und der Tangente eines Kreises liegt immer ein rechter Winkel.

  Das ist eine der Bedingungen für eine Tangente an einem Kreis.

  • Eine Passante an einem Kreis berührt den Kreis nicht.

  Eine Passante ist per Definition eine Gerade, die den Kreis nicht berührt.

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Eine Tangente an einem Kreis berührt den Kreis in genau zwei Punkten.

  Eine der Bedingungen für eine Tangente an einem Kreis ist, dass sie den Kreis in genau einem Punkt berührt.

  • Eine Sekante an einem Kreis berührt den Kreis in genau einem Punkt.

  Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten.

  • Jede Tangente ist auch eine Sekante.

  Eine Sekante schneidet einen Kreis in zwei Punkten. Eine Tangente berührt den Kreis an genau einem Punkt.

• Gib wieder, wie man Tangenten an einem Kreis konstruiert.

  Tipps

  Die Tangente soll im rechten Winkel zum Radius des Kreises stehen. Deshalb muss zuerst der Radius eingezeichnet werden.

  Um die Tangente zu konstruieren, muss man zwei Punkte auf dem verlängerten Radius finden, die den gleichen Abstand vom Berührpunkt haben.

  Die Tangente ist dann die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten auf dem verlängerten Radius.

  Lösung

  Eine Tangente an einem Kreis kannst du wie folgt konstruieren:

  • Zuerst verlängerst du den Radius des Kreises durch den Punkt, an dem die Tangente anliegen soll.
  • Danach findest du zwei Punkte auf dem verlängerten Radius, die den gleichen Abstand vom Berührpunkt haben. Dazu zeichnest du zwei Kreissegmente mit gleichem Radius um den Berührpunkt, die den verlängerten Radius des ursprünglichen Kreises schneiden.
  • Die Tangente ist dann die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten auf dem verlängerten Radius. Diese Mittelsenkrechte bildest du, indem du mit dem Zirkel jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente um die zwei gefundenen Punkte auf dem verlängerten Radius zeichnest.
  • Durch die Schnittpunkte der beiden Kreissegmente zeichnest du eine Gerade. Das ist die Tangente an diesem Kreis.

• Erkläre, wie man Tangenten an einen Kreis durch einen Punkt außerhalb des Kreises konstruiert.

  Tipps

  Um eine Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten zu bestimmen, zeichnet man jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente um die beiden Punkte. Die Gerade durch die Schnittpunkte der Kreissegmente ist die Mittelsenkrechte.

  Ein Kreis, der nur als Mittel zum Zweck gezeichnet wird, nennt man Hilfskreis.

  Lösung

  Die Konstruktion einer Tangenten an einem Punkt außerhalb eines Kreises funktioniert folgendermaßen:

  • Zuerst verlängert man den Radius durch den Punkt $P$. Dazu zeichnet man eine Gerade durch den Kreismittelpunkt $M$ und den Punkt $P$.

  Diese Gerade ist das erste Hilfsmittel auf dem Weg zur Konstruktion unserer Tangenten.

  • Danach konstruiert man eine Mittelsenkrechte zwischen den Punkten $P$ und $M$. Dazu zeichnet man mit dem Zirkel jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente um die beiden Punkte und verbindet die Schnittpunkte.

  Im nächsten Schritt müssen wir den Mittelpunkt der Punkte $P$ und $M$ bestimmen. Dazu benötigen wir die Mittelsenkrechte der beiden Punkte. Diese erhalten wir durch das Verbinden der Schnittpunkte der Kreissegmente.

  • Im Anschluss wird der Mittelpunkt der Strecke zwischen $P$ und $M$ markiert. Danach zeichnet man einen Hilfskreis um diesen Mittelpunkt, der durch die Punkte $P$ und $M$ verläuft.

  Mit diesem Hilfskreis können wir jetzt die Tangente bestimmen. Warum das funktioniert, kannst du mit dem Satz des Thales nachvollziehen.

  • Zuletzt zeichnet man Geraden durch den Punkt $P$ und die Schnittpunkte des ursprünglichen Kreises mit dem Hilfskreis. Das sind die Tangenten an dem Punkt $P$ außerhalb des Kreises.

  Nach dem Satz des Thales erfüllen die so gezeichneten Geraden genau zwei Bedingungen: Sie berühren den Kreis in genau einem Punkt und stehen im rechten Winkel zum Radius, und das sind die Bedingungen für Tangenten.

• Erkläre, wie man eine Tangente an einem Kreis konstruiert.

  Tipps

  So sieht die Konstruktion direkt vor dem Einzeichnen der Tangente aus.

  Lösung

  Die Schritte für die Konstruktion einer Tangente an einem Kreis sind wie folgt:

  • Zuerst verlängert man den Radius des Kreises durch den Punkt, an dem die Tangente anliegen soll.

  Der verlängerte Radius ist die erste Hilfe auf dem Weg zur Konstruktion einer Tangenten.

  • Dann findet man zwei Punkte auf dem verlängerten Radius, die den gleichen Abstand vom Berührpunkt haben.

  Um die Tangente zu ermitteln, verwendet man das Verfahren zum Bestimmen einer Mittelsenkrechten. Damit man die richtige Mittelsenkrechte bestimmt, sucht man zwei Punkte, die den gleichen Abstand vom gewünschten Berührpunkt haben.

  • Im Anschluss zeichnet man mit dem Zirkel jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente um die zwei gefundenen Punkte auf dem verlängerten Radius.

  • Verbindet man die Schnittpunkte der Kreissegmente durch eine Gerade, dann hat man die Mittelsenkrechte dieser beiden Punkte gefunden.

  Nachdem man die richtigen Punkte gefunden hat, wendet man das Verfahren zum Bestimmen einer Mittelsenkrechten an.

  • Diese Mittelsenkrechte ist die gesuchte Tangente.

  Da der Kreisrand genau in der Mitte zwischen den zuvor bestimmten Punkten liegt und die Mittelsenkrechte zudem senkrecht auf dem Radius steht, ist dies eine Tangente an dem Berührpunkt.

• Bestimme die Eigenschaften der Geraden an einem Kreis.

  Tipps

  Sekanten und Passanten können in beliebiger Richtung zum Radius des Kreises stehen.

  Lösung

  Die erste Gerade heißt Tangente:

  • Sie berührt den Kreis in einem Punkt.
  • Sie liegt im rechten Winkel zum Radius des Kreises.

  Die zweite Gerade heißt Passante:

  • Sie schneidet den Kreis nie.

  Die dritte Gerade heißt Sekante:

  • Sie schneidet den Kreis in zwei beliebigen Punkten.

• Erschließe die Begründung der Konstruktion der Tangenten.

  Tipps

  Der Satz des Thales macht Aussagen über rechtwinklige Dreiecke in Halbkreisen.

  Lösung

  Der Satz des Thales besagt, dass man aus den Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises und einem beliebigen weiteren Punkt $C$ auf diesem Halbkreis ein Dreieck bilden kann und dieses Dreieck bei $C$ immer einen rechten Winkel haben muss.

  Bei der Konstruktion einer Tangenten an einen Punkt außerhalb des Kreises nutzt man den Satz des Thales: Man konstruiert einen Halbkreis mit den Punkten $P$ und $M$ als Endpunkte des Durchmessers.

  In diesen Halbkreis kann man nun ein Dreieck aus den Punkten $P$, $M$ und einem beliebigen weiteren Punkt auf dem konstruierten Halbkreis konstruieren: Man wählt den Schnittpunkt $B$ des Halbkreises mit dem ursprünglichen Kreis, da hier die Tangente anliegen soll.

  Die Strecke von $P$ zu $B$ des gewählten Dreiecks erfüllt jetzt zwei wichtige Bedingungen:

  • Sie berührt den ursprünglichen Kreis in genau einem Punkt.
  • Sie liegt im rechten Winkel zum Radius des ursprünglichen Kreises.

  Das sind genau die beiden Bedingungen für die Konstruktion einer Tangente. Hier wurde ein Satz der Mathematik geschickt angewendet, sodass man das gewünschte Ergebnis erhält.